12
.docIV. ФУНКЦИИ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ
§ 10. Основы дифференцирования функции двух переменных
Частная производная от функции по переменной x – это предел
.
Частная производная от функции по переменной y – это предел
.
Соответствующие обозначения: и , или же и .
Производная – это скорость изменения функции при малом изменении переменной x, когда переменная y постоянна. Очевидно, – новая функция.
При поиске считаем, что y – это число, выраженное буквой (параметр). Тогда получаем функцию одной переменной , а производную от неё находим по правилам дифференцирования функции одной переменной.
Так же – это скорость изменения функции при малом изменении y и постоянном x, а при поиске составляем функцию и дифференцируем её как функцию одной переменной.
Пример 1. Частные производные от функции :
;
.
Пример 2. Найдём частные производные от функции :
;
.
В 1-м случае вынесли постоянный множитель , не зависящий от x, а во 2-м случае – множитель , не зависящий от y.
Пример 3. Для функции найдём
;
.
Полный дифференциал показывает, как примерно изменится функция, если увеличить x на величину и одновременно y – на величину (если или , то речь об уменьшении x или y).
Пример 4. Найдём полный дифференциал функции в общем виде и в точке :
а) – при получается производная степенной функции;
б) – при получается производная показательной функции.
Таким образом, в общем виде , или, если вынести общий множитель, .
Чтобы найти полный дифференциал в точке, подставив её координаты и , тогда .
Смысл результата. Пусть надо найти, например, значение функции в точке , или, что то же самое, найти величину .
Если взять точку , то . При переходе в точку N изменение аргументов составило и (разность старых и новых координат).
Полный дифференциал в точке M (не в N!)
равен приращению функции при переходе из точки в .
Поэтому . Более точно, .
Пример 5. Найдём для нескольких функций полные дифференциалы в общем виде и в конкретной точке M:
а) пусть ; , тогда
.
Дифференциал в общем виде
;
в точке M будет
.
б) пусть даны и ; тогда
.
Дифференциал в общем виде:
;
в точке:
;
в) если даны и , то
;
.
Упростим числители:
; .
В полном дифференциале вынесем общий множитель:
,
подставим координаты точки:
,
или .
Так, чтобы найти , считаем , затем и , после чего
и соответственно .
Пример 6. При помощи полного дифференциала найдём значение функции при (угол выражен в радианах).
Подберём точку как можно ближе к , чтобы в ней легко вычислялось значение . Это точка : .
Частные производные в общем виде:
, ,
а в точке будет , и .
Значит, около точки функция меняется примерно так же, как меняется переменная x. В нашем случае .
Новое значение функции .
Более точное значение почти совпадает с приближённым. Отличие вызвано тем, что , а не 1;
Ответ: .
Пример 7. При помощи полного дифференциала найдём .
Представим это число как значение функции в точке . При этом и , а для таких аргументов функцию легко посчитать: .
Итак, , , , .
Тогда при и .
Для частные производные
; .
В точке M и , тогда
(функция растёт в 2 раза быстрее, чем 2-й аргумент).
Итак, .
Ответ: (более точное значение равно ).
ЧП1. Найдите частные производные для функций
1) а) ; б) ;
в) ; г) ;
2) а) ; б) ;
в) ; г) ;
3) а) ; б) ;
в) ; г) ;
4) а) ; б) ;
в) ; г) ;
5) а) ; б) ;
в) ; г) ;
6) ;
7) .
ЧП2. Найдите полные дифференциалы функций в указанной точке:
1) а) ; б) ;
в) ; г) ;
2) а) ; б) ;
в) ; г) ;
3) а) ; б) ;
в) г) .
ЧП3. Найдите при помощи полного дифференциала приближённые значения
1) а) ; б) ; в) ; г) ;
2) а) ; б) ; в) ; г) ;
3) а) ; б) ; в) ; г) ;
4) а) ; б) ; в) ; г) .
Экстремум функции двух переменных
Точка M называется точкой минимума функции , если можно указать открытую область D (часть плоскости xOy), в которой значение – наименьшее из всех. Более строго, M – точка минимума, если существует D, что
а) (точка входит в эту область и не принадлежит её границе);
б) (в любой другой точке этой же области значение функции меньше, чем в интересующей нас точке).
При замене на условие получим определение точки максимума.
Например, – точка минимума функции , поскольку в ней , а в любой другой точке .
Схема поиска точек экстремума для функции
1) Найдём и , затем – точки , где обе производные равны 0;
2) найдём 2-е производные , т.е. соответственно ;
3) координаты точки подставим во 2-е производные. Получим числа
;
4) если , в точке экстремума нет. Если , то смотрим, каков знак A:
если , то – точка минимума,
если же , то – точка максимума;
5) если в оказалось, что , необходимы другие методы решения, выходящие за рамки пособия (разложение в ряд Тейлора);
6) таким же образом 3-й, 4-й и 5-й шаги выполняем для остальных точек.
Пример 8. Найдём экстремумы функции .
1) решаем систему
(уравнения решены независимо, и подходят все сочетания координат);
2) находим 2-е производные
;
;
;
Проверяем точку , подставив и :
3) ; ; ;
4) , экстремума в нет.
Проверяем точку , подставив и :
3) ; ; ;
4) , экстремум в есть.
Поскольку , то данный экстремум – это минимум. Можно найти его значение .
Ответ: минимум при и , равный –50.
Пример 9. Исследуем на экстремум функцию .
1) Находим решаем систему
Здесь .
У 2-го уравнения 3 корня: –1, 0 и 1, но координаты зависимы:
если , то ,
если , то ,
если , то .
Получаем 3 точки: ;
2) берём 2-е производные
; ; ;
проверяем точку :
3) ; ; ;
4) , в есть экстремум, а поскольку , то этот экстремум – минимум. Его значение ;
проверяем точку :
3) ; ; ;
4) , экстремума в нет.
Легко видеть, что для точки результаты те же, что и для .
Ответ: минимум, равный –2, при и , а также при и .
Замечание 1. Если в записи функции поменять все знаки, точки минимума станут точками максимума, и наоборот. При этом координаты точек не изменятся. Так, из примера 9 следует, что для получим максимум, равный 2, при и , а также при и .
Если же к функции добавить (или отнять) любое число, изменится лишь значение экстремума, но не его тип. Так, у функции окажется максимум при и , а также при и , равный 2+50=52.
ЧП4. Найдите точку экстремума функции при указанных параметрах a, b. Найдите значение функции в этой точке и определите тип экстремума:
а) a = 2; b = 3; б) a = 3; b = 2; в) a = 2; b = 5; г) a = 5; b = 4;
д) a = 6; b = 1; е) a = 1; b = 2; ж) a = 0; b = 4; з) a = 3; b = 0.
ЧП5. Найдите точку экстремума функции при указанных параметрах a, b. Найдите значение функции, определите тип экстремума:
а) a = 2; b = 3; б) a = 3; b = 2; в) a = 2; b = 5; г) a = 5; b = 4;
д) a = 6; b = 1; е) a = 1; b = 2; ж) a = 0; b = 4; з) a = 3; b = 0.
Замечание 2. Функции двух переменных ведут себя сложнее, чем функции одной переменной. Так, при решении задач на экстремум:
а) даже у непрерывных функций могут быть несколько точек максимума и ни одной точки минимума (или наоборот);
б) все стационарные точки могут оказаться седловыми точками, из которых функция растёт при изменении x и убывает при изменении y (или наоборот). Тем самым у функции не окажется ни максимума, ни минимума.