4747
.pdfМинистерство образования и науки Российской Федерации
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования «Хабаровская государственная академия экономики и права»
Кафедра математики и математических методов в экономике
Е.А. Мясников
ПРАКТИКУМ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ
Часть 1
Хабаровск 2012
УДК 51 (075.8)
ББК 11
М 99
Мясников Е. А. Практикум по математическому анализу. Часть 1 : учеб. пособие / Е. А. Мясников. – Хабаровск : РИЦ ХГАЭП, 2012. – 100 с.
Содержание пособия соответствует государственным образовательным стандартам дисциплин «Математика» и «Математический анализ» для бакалаврантов 1-го курса обучения. Предназначено для самостоятельных и аудиторных практических занятий. Включает общие схемы решения задач, образцы решения примеров разной сложности, задания для самостоятельной работы.
Составлено для бакалаврантов экономических вузов всех направлений подготовки, будет полезно студентам, обучающимся заочно, и всем, кто желает изучить или повторить курс математики самостоятельно.
Рецензенты:
А.Г. Зарубин, д-р физ.-мат. наук, профессор, зав. каф. прикладной математики и информатики ТОГУ;
В.Я. Прудников, канд. физ.-мат. наук, доцент каф. прикладной математики ДВГУПС.
Утверждено издательско-библиотечным советом академии
вкачестве учебного пособия
©Мясников Е.А., 2012
©Хабаровская государственная академия экономики и права, 2012
2
Предисловие
Цель пособия – помочь студентам 1-го курса освоить решение стандартных задач математического анализа.
Знание теории без практического применения в математике ценится невысоко, и серьёзное изучение её невозможно без систематической самостоятельной работы, основная часть которой – решение задач.
Сборники заданий по математике в основном создавались, когда преподаватель, составив вначале простейшие примеры, сам показывал решение, разбирал трудные вопросы и давал указания к домашней работе. Это было возможно при достаточном объёме аудиторных часов.
Теперь же, когда почти вся практическая работа выполняется студентами самостоятельно, особенности составления сборников приводят к тому, что студенты часто не знают, с чего начать работу – методы решения соседних задач могут существенно отличаться. По той же причине решение очередной задачи не помогает в выполнении следующей и потому быстро забывается. Кроме того, уровень первых же заданий нередко слишком высок, и студент переходит к более понятным дисциплинам.
Цель большинства задачников – научить студентов думать, однако такое умение (и не только в математике) предполагает знание простейших закономерностей и правил. Решение интересных и нестандартных задач невозможно без способности разбираться с простыми вопросами, доведённой до автоматизма.
В этом случае освоение сложной задачи сводится не к случайному поиску путей решения, а разбивается на последовательность стандартных действий, ни одно из которых не вызовет трудностей – пусть даже сам порядок действий окажется весьма необычен.
Пособие составлено по принципу постепенного усложнения. Изучение темы начинается с простых примеров, затем они усложняются, но в чём именно – обычно очевидно, чтобы разбираться именно с возникшей трудностью, а не начинать заново думать, на какую тему задача.
Каждый параграф имеет двухбуквенный код. Задачи, собранные под значком типа ИЧ1 или ОИ2, относятся к очередному вопросу темы. Если вопрос достаточно прост, под буквами перебираются возможные ситуации. Важные частные случаи нумеруются цифрами.
3
Задания даны «с запасом», и метод решения может стать вполне понятным до конца очередной группы примеров.
Образцы решения обычно даны перед заданием, если схема мало зависит от конкретного примера, и после задания – если надо показать отличия в методах.
Ответы, как правило, предложены там, где проверка требует большого времени, а сам ответ достаточно краток. Если же правильность решения или ошибка видны сразу (как при дифференцировании функций), проще обратиться к преподавателю или сверить ответы с группой.
Некоторые темы всё же не исчерпываются готовой схемой и предполагают предварительную работу на занятиях, с немедленным выяснением непонятных мест – например, построение графиков. Для них образцы решения не даны.
Там, где в изложении возникало противоречие между краткостью и строго-
стью |
оформления, выбор сделан в пользу |
первого. |
Например, записи вида |
y 2 |
2 3 5 правильнее читать как y 2 2 |
3 y 2 |
5 . Пособие не учебник, |
преследует более скромные цели, и решение задач желательно совместить с изучением теории. В этом помогут разработки, выпущенные на кафедре МММЭ, доступные учебники, лекции собственного или любого другого преподавателя.
Впособии не предлагаются варианты заданий для самостоятельных и контрольных работ. Преподаватель, ведущий занятия, составит их намного удачнее, зная уровень подготовки группы, программу и темы, на которые следует обратить особое внимание. Тем не менее всегда можно составить задание в виде списка номеров задач.
Основная задача пособия по отношению к преподавателю – дать возможность спокойно и последовательно изложить теоретические сведения и показать практическое применение математики в специальности, а не отвлекаться на многочисленные способы решения задач, подобранных под конкретную тему.
В1-й части учтены темы математического анализа, входящие в программу 1-го семестра для бакалаврантов экономических вузов. В зависимости от направления подготовки часть тем можно оставить на факультативное изучение. Не включены темы «Применение производной в задачах оптимизации» и «Условный экстремум функции двух переменных», изложенные в [8].
Автор желает студентам успехов в изучении математического анализа и заранее благодарен за любые вопросы, замечания и сообщения о недостатках пособия. Высказать их можно по адресу: ХГАЭП, ауд. 511, кафедра МММЭ.
4
I.ЗАДАЧИ ЭЛЕМЕНТАРНОЙ МАТЕМАТИКИ
§1. Линейная функция. Уравнение прямой. Парабола
Линейная функция |
y |
kx |
b |
называется также линейной зависимостью |
или |
линейной регрессией. Уравнение |
y kx b подчёркивает, что y зависит от x, |
а не |
|||
наоборот. Уравнение |
Ax |
By |
C |
0 , напротив, указывает на равноправие пере- |
менных и применяется, когда линейная комбинация образует новую величину, например, производственные затраты.
Любая линия (не только прямая) пересекает ось абсцисс (ось OX), когда y 0 , а ось ординат (ось OY) – если x 0 . Поэтому для поиска точек пересечения линии с системой координат подставляем эти значения по очереди в уравнение линии, находим другую координату и тем самым – точку пересечения.
|
С точки зрения математического анализа запись y x |
|
kx b точнее. Приня- |
||||||||||||||||||
тая форма записи y |
kx |
|
b связана с традициями аналитической геометрии. |
||||||||||||||||||
|
ЛФ1. Отметьте точки в декартовой системе координат: |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
1) |
A 1; 0 , |
B 2; 0 , C |
|
1; 0 , |
D 2; 0 , |
E 0,5; 0 , |
F 2,5; 0 , |
M 1 3; 0 , |
N |
4 3; 0 ; |
|||||||||||
2) |
A 0;1 , |
B 0; 3 , C 0; |
1 , |
D 0; |
2 , |
E 0; 0,5 , |
F 0;1,5 , |
M 0;1 3 , |
N 0; |
2 3 ; |
|
||||||||||
3) |
A 1;1 , B 1; 1 , C 1;1 , D 1; 1 , E 2; 2 , F 2; 2 , M 2; 2 , N 2; 2 ; |
||||||||||||||||||||
4) |
A 2; 3 , B 3; 2 , C 2; 3 , D 3; 2 , E 2; 3 , F 2; 3 , M 3; 2 , N 3; 2 . |
||||||||||||||||||||
|
ЛФ2. Постройте прямые, параллельные осям координат: |
|
|
|
|
||||||||||||||||
1) |
а) |
y |
1; |
б) |
y |
1; |
в) |
y |
2 ; |
г) |
y |
3; |
д) |
y |
1 3 ; |
е) |
y |
0,5 ; |
|||
2) |
а) |
x |
1; |
б) |
x |
1; |
в) |
x |
2 ; |
г) |
x |
3; |
д) |
x |
1 3 ; |
е) |
x |
0,5 . |
|||
Как выглядят прямые x |
|
0 и y |
0 ? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
ЛФ3. Постройте прямые, определив точки пересечения с осями координат: |
||||||||||||||||||||
1) |
а) x y 1; |
|
|
б) x y 1; |
в) x y |
|
1; |
|
|
г) x y |
|
1 ; |
|||||||||
2) |
а) x y 2 ; |
|
|
б) x y 2 ; |
в) x y |
|
2 ; |
|
|
г) x y |
|
2 ; |
|||||||||
3) |
а) 2x y 4 ; |
|
|
б) 2x y 4 ; |
в) 2x y |
4; |
|
|
г) 2x y |
|
4 ; |
||||||||||
4) |
а) x 2y 4 ; |
|
|
б) x 2y 4 ; |
в) x 2 y |
4; |
|
|
г) x 2 y |
|
4 ; |
||||||||||
5) |
а) 2x 3y 6 ; |
|
б) 2x 3y 6 ; |
в) 2x 3y |
6 ; |
|
|
г) 3y 2x 6 ; |
|||||||||||||
6) |
а) 3x 4y 24 ; |
|
б) 4x 3y 24 ; |
в) 3x 4 y 24 ; |
|
г) 4x 3y 24 . |
5
Пример 1. Построим прямую x |
y |
|
|
5 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Если x |
0 , то 0 y |
5, |
откуда |
y |
|
|
5 и соответственно |
y |
5 . Значит, пря- |
||||||||||||||
мая пересекает ось OY (на которой x |
0 ) в точке y |
5 . |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
Если же |
y |
0 , то x |
0 |
5 , |
откуда x |
5 . Поэтому прямая пересекает ось OX |
|||||||||||||||||
(на которой y |
0 ) в точке x |
5 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Отмечаем на оси OX точку |
x |
5 , на оси OY точку |
y |
5 и проводим пря- |
|||||||||||||||||||
мую, проходящую через эти точки. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Пример 2. Построим прямую 3x |
7 y |
42: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
а) если x |
|
0 , то 3 0 |
7y |
42, откуда 7y |
42 и y |
6 ; |
|
|
|
|
|||||||||||||
б) если y |
|
0 , то 3x |
7 0 |
42 , откуда 3x |
42 и x |
14 . |
|
|
|
|
|||||||||||||
Отмечаем на оси OX точку x |
|
14 , |
на оси OY точку y |
6 , и проводим прямую, |
|||||||||||||||||||
проходящую через точки. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
ЛФ4. Постройте прямые, заданные уравнением с угловым коэффициентом: |
|||||||||||||||||||||||
1) а) y x ; |
|
б) y |
x ; |
|
|
в) y x 1; |
г) y x 1; |
д) y 1 x ; |
|||||||||||||||
2) а) y 2x ; |
б) y |
2x ; |
|
|
в) y 2x 1; |
г) y 2x 1; |
д) y 1 2x ; |
||||||||||||||||
3) а) y 3x ; |
б) y |
3x ; |
|
|
в) y 3x 4; |
г) y 3x 4 ; |
д) y 4 3x ; |
||||||||||||||||
4) а) y |
x |
; |
|
б) y |
|
x |
; |
|
|
в) y |
x |
|
1; |
г) y |
x |
|
1; |
д) y 1 |
x |
. |
|||
2 |
|
2 |
|
|
2 |
|
2 |
|
2 |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Пример 3. Построим прямую y |
2x |
5 : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
а) пусть x |
0 , тогда y |
2 0 |
5 |
5 . Отмечаем точку A 0; 5 ; |
|
|
|||||||||||||||||
б) пусть x |
2 , тогда y |
|
2 |
2 |
|
|
5 1. Отмечаем точку B |
2; 1 . |
|
|
Прямая проходит через А и В (и продолжается в обе стороны).
Замечание. При слишком близких значениях x прямая получится неточно. Не следует также брать x, при которых получается большое (по модулю) значение y.
ЛФ5. Постройте прямые, обращая внимание на зависимость расположения прямой от знака и величины коэффициентов:
1) |
а) y 2x 3; |
б) y 2x 3; |
в) y 3 |
2x ; |
г) y |
2x 3; |
|||||||||
|
д) y 3x 2 ; |
e) |
y |
3x 2 ; |
ж) y 2 3x ; |
з) y |
3x 2 ; |
||||||||
2) |
а) |
y |
3x 4 ; |
б) y 3x 4 ; |
в) |
y |
4 |
3x ; |
г) y |
3x |
4 ; |
||||
|
д) y 4x 3; |
e) |
y |
4x |
3 ; |
ж) y 3 4x ; |
з) |
y |
4x 3; |
||||||
3) |
а) |
y |
2x 1 ; |
б) y 3x |
1; |
в) |
y |
|
3x 1; |
г) |
y |
3x |
2 ; |
6
д) y |
3x 1; |
e) y |
|
3x 2 ; |
|
ж) y 3x 2 ; |
|
з) y 3x 2; |
|
||||||||||||
4) а) y |
x |
1; |
б) y |
|
x |
1; |
|
в) y |
x |
1 ; |
|
г) y |
|
x |
2 |
; |
|||||
2 |
|
3 |
|
3 |
|
|
3 |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
д) y |
|
x |
|
1; |
e) y |
|
x |
|
2 ; |
|
ж) y |
x |
2 ; |
|
з) |
y |
x |
|
2 . |
|
|
|
3 |
|
|
3 |
|
|
3 |
|
3 |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
ЛФ6. Постройте параболы любым способом: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
1) а) y x2 |
|
2 ; |
б) y x2 |
|
2 ; |
|
в) y |
x2 |
2 ; |
г) y |
|
x 2 |
2 ; |
||||||||
д) y |
2x 2 ; |
|
e) |
y |
2x2 |
|
1 ; |
|
ж) y |
0,5x2 ; |
|
з) |
y |
0,5x 2 |
2 ; |
||||||
2) а) y x2 |
|
3 ; |
б) y x2 |
|
3 ; |
|
в) y |
x 2 |
3 ; |
г) y |
|
x2 |
3 ; |
||||||||
д) y |
3x2 ; |
|
|
e) |
y |
3x2 |
|
2 ; |
|
ж) y |
0,5x2 ; |
|
з) |
y |
2 |
0,5x2 ; |
|||||
3) а) y 2x 2 |
|
4 ; |
б) y 3x2 |
|
4 ; |
|
в) y 4 2x 2 ; |
|
г) y 4 3x2 ; |
||||||||||||
д) y 2x2 |
|
6 ; |
e) y 3x2 |
|
6 ; |
|
ж) y 6 2x 2 ; |
з) y 6 3x2 ; |
|||||||||||||
4) а) y |
1 x2 |
|
2 ; |
б) y |
|
1 x2 |
1; |
в) y 2 |
1 x2 ; |
г) y 1 |
1 x2 |
; |
|||||||||
|
3 |
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
4 |
|
|
д) y |
1 x2 |
|
3 ; |
e) y |
|
1 x2 |
2 ; |
ж) y 3 |
1 x2 |
; |
з) y 2 |
1 x2 . |
|||||||||
|
3 |
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
4 |
|
Пример 4. Построим параболу y |
8 |
2x2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Если x |
0 , то y |
8 |
2 02 |
8 . Парабола пересекает ось OY в точке y |
8 . |
||||||||||||||||
Чтобы найти точки пересечения с осью OX, решаем уравнение 8 |
2x2 |
0 , |
|||||||||||||||||||
получаем точки x1 |
2 и x2 |
|
2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Перед квадратом стоит знак «–». |
|
10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Значит, ветви направлены вниз. |
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В уравнении отсутствует линейное |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
слагаемое px, |
поэтому вершина нахо- |
-2 -3 |
-2 |
-1 |
0 |
|
1 |
|
2 |
3 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
дится на оси OY. Общий вид параболы |
-6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
дан на рисунке 1. Ось OY проходит че- |
-10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
рез точку x |
|
0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рисунок 1 – Парабола y |
8 |
2x2 |
|||||||
ЛФ7. Постройте параболы, указав вершину и точки пересечения с осями ко- |
|||||||||||||||||||||
ординат (если такие точки есть): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
1) а) y x2 |
|
2x 8 ; |
|
б) y x2 |
2x 8 ; |
в) y 2x x2 |
8 ; |
|
|
|
|
||||||||||
г) y 8 x2 |
2x; |
|
д) x y 2 |
2 y 8 ; |
е) x 2 y y 2 |
|
8 ; |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2) а) y x2 |
3x 4 ; |
|
|
б) y x 2 |
|
3x 4 ; |
|
в) y 3x x 2 |
4 ; |
|
|
|
|
|||||||||||
|
г) y 4 x2 |
3x; |
|
|
д) x y 2 |
|
3y 4 ; |
|
е) x 3y y 2 |
4 ; |
|
|
|
|
||||||||||
3) а) y 2x2 |
|
x 3 ; |
|
|
б) y 2x2 |
|
|
x 3 ; |
|
в) y 2x2 |
5x 3; |
|
|
|
|
|||||||||
|
г) y 2x2 |
|
5x 3; |
|
|
д) x 2 y 2 |
|
|
y 3 ; |
|
е) x 2 y 2 |
5y 3 ; |
|
|
|
|
||||||||
4) а) y 3x2 |
|
2x 1; |
|
|
б) y 3x2 |
|
|
2x 1; |
в) y 3x2 |
4x 1 ; |
|
|
|
|
||||||||||
|
г) y 3x2 |
|
4x 1; |
|
|
д) x 3y 2 |
|
|
2 y 1; |
е) x 3y 2 |
4 y 1. |
|
|
|
|
|||||||||
|
Пример 5. Построим параболу y |
|
x 2 |
2x 8 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
Пусть x |
0 , тогда y |
|
|
02 |
2 |
0 |
8 |
8 . Парабола пересекает ось OY в точке |
|||||||||||||||
y |
8. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решим уравнение x2 |
|
|
2x |
8 |
0. Получим точки x |
2 и x |
2 |
4 . В них пара- |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
бола пересекает ось OX. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
Когда парабола задана уравнением |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
y |
ax2 |
bx |
c , её вершина находится |
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
по формуле |
x0 |
|
b |
. В нашем случае |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
2a |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
a |
1, b |
2 , поэтому x0 |
|
|
|
2 |
2 |
|
|
1. |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
2 1 2 |
|
|
-2 -3 |
-2 |
-1 |
0 |
1 |
|
2 |
3 |
4 |
5 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
Соответственно, |
y0 |
2 |
2 1 |
8 |
|
|
9 , |
-4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
и вершина – в точке M 1; |
|
9 . |
|
|
|
|
-6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
-8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ветви идут вверх – перед квадратом |
-10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
в уравнении стоит знак «+». Ось OY |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
проходит через x |
0 (рисунок 2). |
|
|
|
Рисунок 2 – Парабола y |
x 2 |
2x |
8 |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
Пример 6. Построим параболу x |
|
2 y 2 |
3y |
5 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
Ветви направлены по горизонтали, поскольку x квадратично зависит от y. |
|||||||||||||||||||||||
При этом перед квадратом в уравнении стоит знак «+» и ветви идут в положи- |
||||||||||||||||||||||||
тельном направлении – вправо. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пусть x |
0 , тогда 2 y2 |
3y |
5 0 . Решение уравнения – точки |
y |
5 |
и |
|
||||||
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
y2 1, в них парабола пересекает ось OY. |
|
|
|
|||
Если y |
0 , то x 2 02 |
3 0 |
5 и парабола пересекает ось OX в x |
5 . |
|
|
8
|
Вершину находим по формуле |
y0 |
|
|
|
b |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
2a |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
при a |
2, b |
3 , поэтому y0 |
|
3 |
|
|
3 |
. |
|
|
||||||||||
2 |
2 |
|
4 |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
При этом x0 |
2 |
3 2 |
3 |
3 |
|
5 |
|
49 |
. |
|||||||||||
4 |
|
4 |
|
|
8 |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
Вершина параболы находится в точке |
|||||||||||||||||||
M |
|
3 |
; |
|
49 |
(рисунок 3). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
4 |
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
-10 |
-5 |
-1 0 |
5 |
10 |
15 |
20 |
|
|
|
-2 |
|
|
|
|
|
|
|
-3 |
|
|
|
|
|
|
|
-4 |
|
|
|
|
|
|
|
-5 |
|
|
|
|
|
Рисунок 3 – Парабола x |
2 y 2 |
3y |
5 |
§ 2. Элементарные преобразования графиков
Пусть на некотором промежутке (интервале или отрезке) построен график функции f x . Тогда на основе этого графика:
1) |
а) график функции |
f |
x |
p получается сдвигом вправо на p единиц; |
|
б) график функции |
f |
x |
p получается сдвигом влево на p единиц; |
|
в) график функции |
f |
x |
P получается сдвигом вверх на P единиц; |
|
г) график функции |
f |
x |
P получается сдвигом вниз на P единиц. |
Эти преобразования называются сдвигом графика; |
||||
2) |
а) график функции |
f |
kx |
получается сжатием в k раз вдоль оси ОХ |
|
( в k раз приближается к оси OY); |
|||
|
б) график функции Kf |
x |
получается растяжением в K раз вдоль оси OY |
( в K раз отдаляется от оси ОХ).
Эти преобразования называются растяжением графика;
3) кроме того,
а) график функции f xполучается отражением от оси OX;
б) график функции f x получается отражением части, лежащей ниже оси ОХ, относительно этой оси. Затем график под осью ОХ удаляется. Часть, лежащая выше оси OX, не меняется.
9
Область определения функции (если таковой областью не служит вся числовая ось) меняется в случаях 1а, 1б и 2а; область значений – в остальных случаях.
|
ЭП1. Постройте график функции |
|
f0 |
|
x . При помощи элементарных преобра- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
зований постройте графики функций |
fk |
|
x . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1) |
f |
0 |
x |
|
|
x2 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а) f |
1 |
|
x |
|
|
x 1 2 ; |
|
|
|
|
|
б) f |
2 |
x |
|
|
x 2 2 ; |
в) f |
3 |
x |
|
x2 |
1; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
г) |
f |
4 |
x |
|
|
x2 |
1 ; |
|
|
|
|
|
|
д) |
f |
5 |
x |
|
0,5x2 ; |
|
|
|
|
|
е) |
f |
6 |
x |
2x2 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
ж) |
|
f |
7 |
x |
|
|
|
|
x2 ; |
|
|
|
|
|
з) |
f |
8 |
x |
|
|
0,5x 2 ; |
и) |
f |
9 |
x |
|
2 x |
1 2 ; |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
к) |
f |
10 |
x |
|
|
2x2 |
1 ; |
|
|
|
|
л) |
f |
11 |
x |
|
|
|
|
|
|
x 2 2 ; |
м) |
f |
12 |
x |
1 |
|
|
|
|
0,5x2 ; |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2) |
f0 |
x |
|
|
|
|
|
x ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
а) f1 x |
|
|
|
|
x 2 ; |
|
|
|
|
|
б) f2 x |
|
|
|
|
x 2 ; |
в) f3 x |
|
|
|
x 2 ; |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
г) f4 x |
|
|
|
|
x |
1 ; |
|
|
|
|
|
д) f5 x |
2 |
|
|
|
x ; |
|
|
|
|
|
|
|
е) f6 x |
0,5 |
|
|
|
|
x ; |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
ж) f7 x |
|
|
|
|
|
|
|
x ; |
|
|
|
|
|
з) f8 x |
|
|
2 x ; |
|
|
|
|
|
и) f9 x |
|
2 x 2 ; |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
к) f10 x |
|
|
|
|
|
|
|
x 2 ; |
|
|
л) f11 x |
|
|
|
|
|
x 2 1 ; |
м) f12 x |
|
|
2 x 2 1; |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3) |
f0 |
x |
|
|
cos x ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
а) |
f1 |
|
x |
|
cos x |
|
|
|
; |
|
б) |
f2 |
x |
|
|
cos x |
|
|
|
|
|
; |
в) |
f3 |
x |
cos x |
1; |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
г) f4 x |
|
cos x 1 ; |
|
|
д) f5 x |
|
2 cos x ; |
е) f6 x |
0,5cos x ; |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ж) |
|
f7 |
x |
|
|
|
|
cos x ; |
|
|
з) |
f8 |
x |
|
|
2 cos x ; |
и) |
f9 |
x |
|
2 cos x |
|
|
|
|
|
; |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
к) |
f10 |
x |
|
|
|
|
cos x |
|
; |
л) |
f11 |
x |
|
|
2 cos x |
1; |
м) |
f12 |
x |
|
|
2 cos x |
|
|
|
|
|
1 ; |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
4 |
4 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
4) |
f0 |
x |
|
|
1 |
(правая ветвь); |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
а) f1 x |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
б) f2 x |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
в) f3 x |
1 |
|
|
|
|
1; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
г) f4 x |
|
1 |
1; |
|
|
|
|
|
|
|
д) f5 x |
|
2 |
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
е) f6 x |
|
1 |
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
ж) f7 x |
|
|
|
|
|
2 |
; |
|
|
|
|
|
|
|
з) f8 x |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
2 ; |
|
и) f9 x |
|
2 |
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
1 |
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
к) f10 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
; |
|
|
|
|
л) f11 x |
1 |
|
2 |
|
|
|
; |
|
м) f12 x |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
. |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
1 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10