5514

1

b1

0

0

0

x1

f1

a2

1 b2

0

0

x2

f2

0

a3

1

b1

0

x3

f3

.

0

0

an-1

1 bn-1

xn 1

fn 1

0

0

0

0 an

1 xn

fn

Идея метода прогонки состоит в следующем.

Очевидно,

что если

x1 , x2 , , xn

– набор конечных чисел, а в нашем

случае

– решение системы,

то

можно

подобрать

такие

наборы чисел

1 ,

2 , , n

и

1 ,

2 , n

,

что для каждой пары

xk , xk 1

будет выполнено

соотношение

xk

k

1 xk

1

k 1

или, что то же самое, для пары

xk 1 , xk

будет выполнено соотношение

xk

1

k xk

k .

(4.1)

Подставив это соотношение в k-е уравнение ak xk 1

xk

bk xk 1

fk ,

получим

ak

k xk

k

xk

bk xk 1

fk ,

откуда xk

bk

xk 1

fk

ak

k

. Таким образом,

ak

k

1

ak

k

1

bk

и

f k

ak k

.

k 1

ak

1

k 1

ak

k

k

1

Поскольку

из

1-го

уравнения

x1

b1 x2

f1

можно

выразить

x1

b1 x2

f1 , получаем

2

b1 и

2

f1 .

Коэффициенты b1

и

f1

известны; зная их, находим

2

и

2 ; затем по фор-

мулам пересчёта находим

3

и

3

и так до

n и

n включительно. Заметим, что

1 ,

1 для решения не нужны.

В силу представления (4.1) необходимо знать xn , чтобы найти xn 1 и затем

все переменные до

x1 включительно.

Чтобы найти xn ,

в последнее уравнение

an xn 1

xn

fn

подставим

xn

1

n xn

n .

Получив an

n xn

n

xn

fn , нахо-

дим

xn

f n

an

n

.

an n

1

2. Найти 2

b1

и

2

f1 ;

3. Найти

bk

и

f k

ak

k

для k

2,3, ,n

1;

k

1

ak

1

k 1

ak

1

k

k

Надо выполнить следующие действия:

4. Найти x

f n

an

n

;

n

an

1

n

5. Найти xk

k

1 xk

1

k 1

для k

n 1,n 2, ,1.

Замечание. Традиционная ошибка, особенно при решении в EXCEL – на

последнем шаге вместо рекурсивной формулы

xk

k 1 xk 1 k 1 пользоваться

неверным соотношением x

f k

ak

k

.

k

ak

k 1

Из формул видно, что для решения методом прогонки надо, чтобы для

всех k от 2 до n выполнялось условие ak k 1 . Это неравенство гарантированно

5x1 4 x2

5,

2 x1 5x2 x3

1,

x2 2 x3

2.

Решение.

1-й шаг: Разделим 1-е уравнение на a11 5 , 2-е на a22 5 и 3-е

на a33 2 , получим

x1 0,8x2

1,

0,4x1 x2

0,2 x3

0,2,

0,5x2

x3

1

1

0,8

0

x1

1

0,4

1

0,2

x2

0,2 .

0

0,5

1

x3

1

2-й шаг: Из 1-го уравнения

2

0,8,

2

1 .

3-й шаг:

0,2

0,2

5

и

0,2

0,4 1

0,2

5

.

3

0,4

0,8

1

0,68

17

3

0,4

0,8

1

0,68

17

4-й шаг:

x3

1

0,5

5 /17

1.

0,5

5 /17

1

5-й шаг.

x2

5

1

5

0 , затем x1

0,8 0

1

1.

17

17

Ответ: x1

1,

x2

0, x3

1.

З а м е ч а н и е. Пример носит демонстрационный характер. Разумеется,

здесь

достаточно

выразить

x1

1

0,8x2

и

x3

1 0,5x2

и

подставить

во

2-е

уравнение:

0,4 1 0,8x2

x2

0,2

1

0,5x2

0,2 ,

откуда

0,58x2

0,2

0,2

и потому

x2

0 и,

следовательно,

x1

1 0,8

0

1

и

x3

1

0,5 0

1. Метод прогонки эффективен для систем высокого порядка,

а

Пусть дана система уравнений

AX

F , где определитель матрицы

A отличен от нуля. Оказывается, в этом случае матрицу можно представить

в виде произведения двух треугольных матриц, а именно, в виде

a11

a12

a1n

1 0

0

u11

u12

u1n

a21

a22

a2n

l21

1

0

0

u22

u2n .

(5.1)

an1

an 2

ann

ln1

ln2

1

0

0 unn

(верхняя).

Если в системе AX F матрица A представлена в виде (5.1),

то есть

как произведение A LU , то систему можно записать в виде L U

X F ,

или L U X F , что то же самое.

AX F

LU X F

L UX

F LZ

F , где UX Z .

Тем самым решение системы AX

F можно свести к трём действиям:

1)

представить матрицу A в виде произведения A

LU ;

2)

решить систему LZ

F относительно столбца Z;

3)

решить систему UX

Z относительно столбца X.

рицы на треугольные множители также не представляет особых трудностей.

Посмотрим в общем виде, как разложить матрицу на множители.

Пусть

для

известных

элементов

aij

матрицы

A

надо найти числа

l21, l31, , ln,n 1

и u11, u12 , , unn , чтобы выполнялось матричное равенство (5.1). За-

пишем его так:

1 0 0

u11

u12

u1n

a11

a12

a1n

l21

1

0

0

u22

u2n

a21

a22

a2n .

(5.2)

ln1

ln 2 1

0

0 unn

an1

an 2 ann

Будем по очереди умножать строки матрицы L на столбцы матрицы U и

приравнивать к соответствующим элементам матрицы A.

1. Произведение 1-й строки L и 1-го столбца U показывает, что u11

a11 .

Умножая остальные

строки

L на 1-й столбец U,

получаем, что l21u11

a21 ,

l31u11

a31 ,

и

так

до

ln1u11

an1 ,

откуда

соответственно

l21

a21

, l31

a31

, , ln1

an1

.

u11

u11

u11

34

l31u12

l32u22

a32

l32

1

a32

l31u12

;

u22

l41u12

l42u22

a42

l42

1

a42

l41u12

;

u22

…

ln1u12

ln 2u22

an 2

ln 2

1

an 2

ln1u12 .

u22

3. Из произведения 1-й строки L и 3-го столбца U получаем u13

a13 . Далее

при помощи 2-й и 3-й строк L находим u23

и u33 :

l21u13

u23

a23 u23 a23

l21u13 ;

l31u13

l32u23

u33

a33

u33

a33

l31u13

l32u23 .

теперь, умножая 4-ю и последующие строки L на всё тот же 3-й столбец,

из получаемых уравнений находим l43, l53, , ln3 :

l41u13

l42u23

l43u33

a43

l43

1

a43

l41u13

l42u23

;

u33

l51u13

l52u23

l53u33

a53

l53

1

a53

l51u13

l52u23

;

u33

…

ln1u13

ln 2u23

ln 3u33

an 3

ln 3

1

an 3

ln1u13

ln 2u23 .

u33

Теперь запишем систему LZ

F :

1

0

0

z1

f1

z

f ,

l21

1

0

z2

f 2

l 1

z 1

z

2

f

2

,

21 1

ln1

ln2 1

zn

f n

ln1z1 ln2 z2 zn f n .

Из

1-го

уравнения

сразу

z1

f1 . Затем

из

2-го

уравнения

находится

z2

f2 l21z1 , далее

из

3-го

уравнения находим

z3

f3

l31z1

l32 z2 , и т.д.

Наконец,

из последнего уравнения получаем zn

fn

ln1 z1

ln 2 z2

lnn 1 zn 1 .

Столбец Z получен.

Из системы U

X

Z надо найти столбец X. Запишем подробно:

u11

u12 u1n

x1

z1

u11x1

u12x2

u1n xn

z1,

0 u22

u2n

x2

z2

u

22

x

2

u

2n

x

n

z

2

,

0

0

unn

xn

zn

unn xnn

zn .

Из последнего уравнения имеем, что

x

zn

. Из предпоследнего урав-

n

unn

нения u

x

u

x

z

находится

x

zn 1

un

1,n xn

, и т.д., пока из 1-го

n 1

n

n 1

n 1

n 1,n 1

n 1,n

un

1,n

1

уравнения не получим, что

x1

1

z1

u12 x2

u13x3

u1n xn .

u11

Тем

самым

получим

решение

исходной

системы

в

виде набора

x1; x2 ; xn .

Все действия легко программируются и не требуют поиска каких-

5.2. Общая схема решения системы методом L-U разложения

1-й шаг: поиск матриц-множителей L и U.

Для каждого столбца с номером j, где j меняется от 1 до n,

1)

находим u1 j

a1 j ;

2)

по

всем

строкам

с

номерами

i от

2

до

j

находим

i

1

uij

aij

lik ukj ;

k

1

3)

по

всем строкам

с

номерами

i

от

j+1

до

n

находим

1

j 1

lij

aij

lik ukj .

u jj

k 1

2-й шаг: вычисление элементов столбца Z.

1)

z1

f1 ;

2)

для всех k от 2 до n находим zk

fk

lk1z1

lk 2 z2

lk ,k 1zk 1 .

36

3-й шаг: вычисление элементов столбца X.

1) xn

zn

;

unn

2)

для

k

от

n

1

до

1

находим

xk

1

zk uk ,k 1 xk 1

uk ,k 2 xk 2

ukn xn .

ukk

Пример 1. Решим методом L-U разложения систему 2-го порядка

5x

6 y

8,

7 x

9 y

10.

Решение. Здесь A

5

6 , F

8 .

Найдём матрицы L

1

0

и

7

9

10

l21

1

U

u11

u12

0

u22

1

0

u11

u12

5

6

l21

1

0

u22

7

9

u11

5,

u11

5,

u11

5,

u11

5,

u12

6,

u12

6,

u12

6,

u12

6,

l21u11

7,

5l21

7,

l21

1,4,

l21

1,4,

l21u12

u22 9

6l21

u22 9

6 1,4

u22 9

u22

0,6.

1

0

5

6

x

8 .

1,4

1

0

0,6

y

10

Обозначим произведение

5

6

x

как неизвестный столбец

s

,

0

0,6

y

t

тогда получается система

1

0

s

8

. Записав её в виде уравнений

1,4

1

t

10

1s 0t 8,

1,4s 1t 10,

сразу видим, что s 8 , и тогда t

10

1,4 8

1,2 .

Теперь, вспомнив происхождение неизвестных s и t, решаем систему

37

5

6

x

8

, т.е.

5x

6 y 8,

0

0,6

y

1,2

0x

0,6 y

1,2.

Из 2-го уравнения

имеем,

что

y

2 . Тогда

из 1-го находим х:

5x 6 2 8 5x 20 x 4.

Итак, решение системы – числа x

4, y

2 .

По общей схеме система решалась бы так:

1) при помощи 1-го столбца матрицы U ( j

1)

1.1)

u11

5 ;

1.2)

других ui1

в 1-м столбце нет;

1.3)

l

1

7

0

1,4 ;

21

5

2) при помощи 2-го столбца матрицы U ( j

2 )

2.1)

u12

6 ;

2.2)

меняя i от 2 до j

2 , находим u22

a22 l21u12 , т.е.

u22

9

1,4

6

0,6 ;

2.3)

строк с номерами от 3 до 2 не существует;

3) ищем величины z1, z2 :

z1

f1

z1

8 ;

z2

f2

l21z1

z2

10

1,4 8

z2

1,2 ;

4) находим неизвестные:

x2

z2

x2

1,2

x2 2 ;

u22

0,6

x

1

z u x

x

1

8 6

2

x

4 .

2

2

1

u11

1

12

1

5

Ответ: x

4, y 2 .

2 x1

x2 3x4 9,

4 x1

8x2

7 x3 5x4

3,

6 x1

3x2

2 x3 10x4

42,

8x1

16x2

59x3 20x4 36.

2

1

0

3

9

4

8

7

5

3