Повышающий и понижающий операторы в квантовой механике (90

Теперь можно переписать оператор Гамильтона через повышающий и понижающий операторы

Сравнивая (25) и (26), получим для коммутатора

[ˆa, aˆ+] = 1.

Для нахождения спектра собственных функций с помощью понижающего (повышающего) оператора необходимо найти коэффициенты Nn−, (Nn+), для этого используем

это можно записать в виде

Перемножая операторы в обратном порядке, получим значения равные единице при Nk = 0 и нулю при Nk = 1, что можно записать, как

Сравнивая (34) и (35), получим

aˆkaˆ+k + aˆ+k aˆk = 1.

В случае i 6= k действие операторов aˆ+i aˆk и aˆkaˆ+i отличаются знаком и их сумма равна нулю; общий результат можно записать, как

aˆiaˆk + aˆkaˆi = aˆ+i aˆ+k + aˆ+k aˆ+i = 0.

Таким образом, мы видим, что операторы aˆi и aˆk ( или aˆ+k ) с i =6 k оказываются антикоммутативными, между тем как в случае статистики Бозе они коммутировали друг с другом. Это различие вполне естественно. В случае статистики Бозе операторы aˆi и aˆk были совершенно независимы; каждый из операторов aˆi действовал только на одну переменную Ni, причем результат воздействия не зависел от значений остальных чисел заполнения. В случае же статистики Ферми результат воздействия оператора aˆi зависит не только от самого числа Ni, но и от чисел заполнения всех предыдущих состояний. Поэтому действие различных операторов aˆi, aˆk не может рассматриваться как независимое.

Теорема Паули устанавливает связь спина и статистики. Частицы с целочисленным спином (бозоны) подчиняются статистике Бозе и коммутационным соотношениям (32), а частицы с полуцелым спином (фермионы) подчиняются статистике Ферми и антикоммутационным соотношениям (36).

5Квантование свободного электромагнитного поля

Рассмотрим электромагнитное поле как объект, характеризуемый бесконечным, но дискретным набором переменных, такое описание позволит непосредственно применить обычный аппарат квантовой механики.

Свободное электромагнитное поле описывается векторным потенциа-

~

лом A(~r, t), удовлетворяющим условию поперечности

Как известно, в классической электродинамике переход к описанию с помощью дискретного ряда переменных осуществляется путём рассмотрения поля в некотором большом, но конечном объёме пространства V . Поле в конечном объёме может быть разложено на бегущие плоские вол-

ны, так что его потенциал можно представить рядом вида

√

Суммирование производится по бесконечному дискретному набору значений волнового вектора (его трёх компонент kx = 2Aπ nx, ky = 2Bπ ny, kz = 2Cπ nz) и поляризациям α. В конечный объём V = ABC ( A, B, C

– линейные размеры в "ящике") укладывается целое число узлов, узлы в начале и конце объёма. Вектор ~ek,α – единичный вектор перпен-

~

дикулярный волновому вектору k в силу условия (37). Существует два независимых вектора (поляризации α = 1, 2), удовлетворяющих

~

k~ek,α = 0, ~ek,α~ek,β = δα,β.

d

α(ρ + dρ)ψ0 = 0,

решая которое, получим

ψ0 = Ce−ρ2/2,

где C – нормировочный коэффициент, который можно найти из условия нормировки.

Общее выражение для энергии найдем из выражения (19), откуда сле-

откуда следует, что константа равна

r

(2l + 1)! cl = 2πl!l!22l+1 .

Теперь можно записать собственные функции для различных значений l так

Нахождения спектра собственных функций сведется в дальнейшем к действию на эти функции понижающего оператора, например

3 Гармонический осциллятор

Гармонический осциллятор задаётся стационарным уравнением Шрёдингера

ˆ

Hψn = Enψn,

Подставляя эти соотношения в (45) и учитывая c2k2 = ωk2, получим следующее выражение

Сравнивая (43) и (46), получим окончательное выражение для полной энергии поля

Заметим, что выражение (47) полной энергии похоже на оператор Гамильтона (30) для осциллятора.

Необходимо, однако, сделать еще преобразование, чтобы уравнения

приобрели вид, аналогичный каноническому. Для этого перейдём от пе-

ременных ck,α(t),ck,α(t) к их комбинациям

Для нахождения функции Гамильтона надо вычислить полную энергию через новые переменные (48). Для этого подставим (49) в (47). После простых преобразований получим

~

k,α

Таким образом, функция Гамильтона распадается на сумму независимых членов, каждый из которых содержит только по одной паре величин Qk,α, Πk,α. Каждый такой член соответствует бегущей волне с определенными волновым вектором и поляризацией, причем имеет вид функции Гамильтона одномерного гармонического осциллятора.

Как известно из классической механики, для уравнения Гамильтона справедливо

Проверим эти соотношения для выражения (50). Для этого возьмём выражения (48), продифференцируем по времени и сравним с производными от функции Гамильтона (50)

Уравнение распадается на систему двух обыкновенных дифференциальных уравнений

решением которой является

Φ = ceiλφ,

X = c(sin Θ)λ.

Общее решение тогда можно записать, как

ψll(Θ, φ) = Cl(sin Θ)λeiλφ.

Учитывая, что это решение является собственной функцией оператора третьей проекции момента импульса и, следовательно, должно удовле-

ˆ

творять уравнению Mzψll = ~lψll, откуда получается, что λ = l. Итоговое выражение для общего решения

ψll(Θ, φ) = Cl(sin Θ)leilφ.

Константу Cl найдём, используя условие нормировки волновых функций

Z Z

ψllψlldΩ = |cl|2 (sin Θ)2l+1dΘdφ.

Здесь для вычисления мы воспользуемся хорошо известным интегралом

и

(l + 1) = l!

после подстановки которых получаем

Z (sin Θ)2l+1dΘdφ = l!l!22l+1 , (2l + 1)!

Найдем повышающий и понижающий операторы к оператору третьей

ˆ

проекции момента импульса Mz. Для этого соотношение (4) перепишем в виде

ˆ

где повышающий оператор M+ будем искать в виде линейной комбинации двух оставшихся проекций момента импульса

ˆ ˆ ˆ

M+ = αMx + βMy,

здесь α, β – постоянные коэффициенты.

ˆ

Подставляя M+ в выражение (13), получим

i~(αMy − βMx) = æαMx + æβMy,

здесь мы воспользовались соотношением (9). Приравнивая коэффициенты у одинаковых операторов в правой и левой части выражения, в результате получим алгебраическую систему уравнений

Приравнивая определитель системы нулю

найдем соотношение

~2 − æ2 = 0,

решением которого является æ2 = ~2, откуда следует для решения системы уравнений β = iα.

С учетом полученных результатов повышающий и понижающий операторы можно записать как

которых имеет энергию ~ω и импульс ~n~ω/c. Соотношение между импульсом и энергией фотона – такое, каким и должно быть в релятивистской теории для частицы с нулевой массой покоя и движущейся со скоростью света. Числа заполнения Nk,α приобретают смысл чисел фотонов

~

с данными импульсами k и поляризациями ~eα. Свойство поляризации фотона аналогично понятию спина у других частиц.

Легко увидеть, что развитый в предыдущей главе математический формализм находится в полном согласии с представлением об электромагнитном поле как о совокупности фотонов; это не что иное, как применение аппарата вторичного квантования к системе фотонов. В этом подходе роль независимых переменных играют числа заполнения состояний, а операторы действуют на функции этих чисел. При этом основную роль играют операторы ”уничтожения” и ”рождения” частиц, соответственно уменьшающие или увеличивающие на единицу числа заполнения. Именно такими операторами и являются cˆk,α, cˆ+k,α: оператор cˆk,α уничтожает фотон в состоянии k, α, а cˆ+k,α – рождает фотон в этом состоянии.

Как известно, свойства квантовой системы приближаются к классическим в тех случаях, когда велики квантовые числа, определяющие стационарные состояния системы. Для свободного электромагнитного поля (в заданном объеме) это означает, что должны быть велики квантовые числа осцилляторов, т. е. числа фотонов Nk,α. Поэтому важно, что фотоны подчиняются статистике Бозе. В математическом формализме теории связь статистики Бозе со свойствами классического поля проявляется в правилах коммутации операторов cˆk,α, cˆ+k,α. При больших Nk,α, когда велики матричные элементы этих операторов, можно пренебречь единицей в правой части перестановочного соотношения (53), в результате чего получится

cˆk,αcˆ+k,α ≈ cˆ+k,αcˆk,α,

т. е. эти операторы перейдут в коммутирующие друг с другом класси-

ческие величины ck,α,ck,α, определяющие классические напряженности поля.

6Справочные материалы

6.1Шаровые функции

Шаровые функции Ylm(Θ, φ) являются решением уравнения Лежанд-

ра

где l – целые положительные числа, область переменных 0 ≤ φ < 2π, 0 ≤ Θ ≤ π.

При каждом значении l существует 2l +1 решений, которые представ-

где m – целое число, ограниченное следующими значениями

m = 0, ±1, ±2, ..., ±l; l = 1, 2, 3...

всего 2l + 1 значений. Знаком |m| обозначено абсолютное значение числа m. Функция Pl|m|(cosΘ) – присоединенный полином Лежандра определяется так

при этом Pl(x) есть полином Лежандра:

и убедиться, что Pl(−x) = (−1)lPl(x).

После чего можно переписать операторы проекций моментов импульса

(7) в сферической системе координат, как

Существует другой способ получить эти выражения, которым мы рекомендуем воспользоваться самостоятельно любопытным студентам. Для этого нужно взять выражение (6) и записать его в сферической системе координат, далее сделать переход от ортов сферической системы координат к ортам декартовой системы координат.

В дальнейших вычислениях нам понадобится оператор квадрата момента импульса, для чего найдем квадраты проекций момента импульса. Опуская промежуточные вычисления, которые всё же рекомендуем проделать самостоятельно, получим следующие выражения