Открытые многоканальные системы дифференцированного обслуживания поликомпонентных потоков (90

Система уравнений (28) используется, если задана абсолютная пропускная способность по каждому типу заявок, система (29) – если требуемая производительность задана в относительных единицах. Так как правые части уравнений являются функциями от m и Е, решение системы в той или иной форме относительно данных переменных дает значения числа обслуживающих устройств и ограничения длины очереди, удовлетворяющие заданным требованиям. Методику решения данной задачи можно представить в виде блок-схемы, приведенной на рис. 2.

В разделах 2.3 – 2.6 сформулированы частные модели СМО данного класса: комбинация моделей M/M/m, M/M/m:E, M/M/m:0; комбинация моделей M/M/m, M/M/m:E; комбинация моделей M/M/m, M/M/m:0; комбинация моделей M/M/m:E, M/M/m:0, а также решение задачи организации обслуживания в СМО, описываемых частными моделями.

В главе 3 исследован характер поведения числовых и временных характеристик полученной модели СМО. Поскольку в реальных СМО обычно всегда присутствуют требования, которые дожидаются обслуживания до конца, в качестве базовой модели принята классическая модель М/М/m. Добавляя последовательно к базовой модели потоки требований 2-го и 3-го типов, исследовано сначала влияние каждой составляющей входного потока требований на характеристики производительности СМО, а затем и поведение характеристик общей комбинированной модели.

В разделе 3.1 исследовано поведение характеристик модели СМО - комбинации моделей M/M/m и M/M/m:0.

Вероятность простоя системы (нулевого состояния) имеет монотонно убывающий характер и при достижении точки с абсциссой 1 m обращается в нуль. По мере роста приведенной интенсивности 3 потока требований третьего типа начальное значение вероятности нулевого состояния СМО (при1 0) стремительно приближается к нулю. Такой характер поведения вероятности нулевого состояния свидетельствует о том, что неэффективные простои СМО возможны только при малых значениях интенсивностей входных потоков.

Вероятность полной загрузки накопителя (ПЗН) имеет монотонно возрастающий характер и при достижении точки 1 m становится равной 1. По ме-

ре увеличения приведенной интенсивности 3 начальное значение вероятности увеличивается, уменьшая крутизну кривых. В предельном случае при3 вероятность ПЗН равна 1 и не зависит от 1.

Вероятность немедленного обслуживания (НО) вновь прибывшей заявки имеет прямо противоположный вероятности ПЗН характер поведения, а графи-

12

ки её являются зеркальным отображением кривых вероятности ПЗН. Данное обстоятельство вытекает из условия нормировки. Вновь прибывшая заявка обслуживается немедленно, если свободно хотя бы одно обслуживающее устройство. Положительная сторона возрастания этой характеристики в том, что чем она больше, тем меньше очередь. С другой стороны, высокая вероятность немедленного обслуживания означает, что на момент поступления заявки значительная доля обслуживающих устройств простаивает. Наиболее оптимальной является ненулевая, но и не высокая вероятность немедленного обслуживания.

В данной СМО только заявки 1-го типа ожидают обслуживания в очереди. Вероятность ожидания обслуживания вновь прибывшей заявкой в очереди монотонно возрастает по мере увеличения приведенной интенсивности 1 и

достигает единицы только при нулевом значении 3. Такое возрастание объясняется тем, что с увеличением интенсивности входного потока требований падает число свободных обслуживающих устройств. По мере увеличения приведенной интенсивности 3 предельное значение вероятности ожидания при

1 m уменьшается, изменяя наклон кривых. Несмотря на то, что заявки 1-го типа дожидаются обслуживания до конца, при 3 вероятность ожидания практически не зависит от 1 и равна 0, т. к. в этом случае приведенная интен-

сивность 1 пренебрежительно мала по отношению к 3. Чем больше вероятность ожидания, тем меньше вероятность простоя обслуживающих устройств и больше число заявок, которые будут обслужены. Однако высокая вероятность ожидания благоприятна в том случае, если в системе не происходит переполнения очереди.

Вероятность отказа в обслуживании вновь прибывшей заявке в целом имеет слабо возрастающий характер и увеличивается по мере роста приведенной интенсивности 3. В предельных случаях при 3 0 и 3 вероятность отказа не зависит от интенсивности 1 и равна соответственно 0 и 1. Чем меньше вероятность отказа, тем большая доля заявок из общего входного потока будет обслужена.

Относительная пропускная способность СМО имеет прямо противоположный вероятности отказа характер поведения, а графики ее являются зеркальным отображением семейства кривых вероятности отказа.

Среднее число требований, находящихся под обслуживанием, носит монотонно возрастающий характер и в точке 1 m достигает максимального значения, равного числу обслуживающих устройств m. По мере увеличения приведенной интенсивности 3 начальное значение данного параметра увеличивается с понижением скорости возрастания, и в предельном случае, при бесконечном 3, принимает постоянное значение m независимо от интенсивности потока 1. Среднее число требований под обслуживанием, деленное на число обслуживающих устройств m, дает коэффициент загрузки СМО. Чем больше коэффициент загрузки, тем эффективнее система. Однако повышение коэффициента загрузки СМО не должно быть следствием чрезмерного увеличения ин-

13

тенсивности входного потока требований, вызывающего переполнение очереди или сплошные отказы в обслуживании.

Средняя длина очереди имеет монотонно возрастающий характер, резкое возрастание наблюдается в окрестности точки 1 m. Такое бесконечное возрастание объясняется переполнением очереди при приближении приведенной интенсивности 1 к значению m. Всякое изменение интенсивности потока 3 на характер поведения средней длины очереди влияет незначительно, поскольку при наличии очереди в системе заявки 3-го типа получают отказ. Чем больше очередь, тем больше заявок будет обслужено, но при этом не должно происходить переполнения очереди.

В разделе 3.2 исследовано поведение характеристик модели СМО - комбинации моделей M/M/m и M/M/m:Е.

Вероятность простоя системы имеет монотонно убывающий характер и при достижении точки с абсциссой 1 m обращается в нуль. По мере роста приведенной интенсивности 2 потока требований второго типа начальное значение вероятности нулевого состояния СМО (при 1 0) стремительно приближается к нулю. Такой характер поведения вероятности нулевого состояния свидетельствует о том, что неэффективные простои СМО возможны только при малых значениях интенсивностей входных потоков.

При наличии во входном потоке требований одного типа вероятность неполной загрузки накопителя (НЗН) ведет себя неоднозначно. Некоторое запаздывание в возрастании объясняется тем, что при малых значениях 1 ещё не заняты все обслуживающие устройства. При дальнейшем возрастании интенсивности входного потока занимаются все устройства, но остаются свободные места в накопителе ёмкостью Е, поэтому вероятность НЗН имеет возрастающий характер. Однако, при больших значениях 1 в окрестности точки 1 m плавно возрастающий характер вероятности НЗН меняется на резко убывающий, поскольку в этом случае накопитель заполняется почти полностью. Добавление во входной поток требований других типов приводит к ненулевому начальному значению вероятности НЗН. По мере увеличения интенсивности общего входного потока экстремум смещается влево, а затем и вовсе исчезает, вероятность НЗН приобретает монотонно убывающий характер. Дальнейшее бесконечное увеличение нагрузки со стороны входного потока приводит к полной загрузке накопителя и нулевому значению вероятности НЗН.

Вероятность полной загрузки накопителя имеет монотонно возрастающий характер и при достижении точки 1 m становится равной 1. По мере увели-

чения приведенной интенсивности 2 начальное значение вероятности увели-

чивается, уменьшая крутизну кривых. В предельном случае при 2 вероят-

ность ПЗН равна 1 и не зависит от 1.

Вновь прибывшая заявка обслуживается немедленно, если свободно хотя бы одно обслуживающее устройство. Чем больше вероятность НО, тем меньше очередь. С другой стороны, высокая вероятность немедленного обслуживания

14

означает, что на момент поступления заявки значительная доля обслуживающих устройств простаивает. Наиболее оптимальной является ненулевая, но и не высокая вероятность немедленного обслуживания.

Вероятность ожидания обслуживания вновь прибывшей заявкой в очереди монотонно возрастает по мере увеличения приведенной интенсивности 1 и

достигает единицы только при нулевом значении 2 . Такое возрастание объясняется тем, что с увеличением интенсивности входного потока требований падает число свободных обслуживающих устройств. Добавление во входной поток требований других типов приводит к ненулевому начальному значению вероятности ожидания. По мере увеличения интенсивности общего входного потока экстремум смещается влево, а затем и вовсе исчезает, вероятность ожидания приобретает слабо убывающий характер. Несмотря на то, что заявки 1-го типа дожидаются обслуживания до конца, при 2 вероятность ожидания практически не зависит от 1 и равна 0, т. к. в этом случае приведенная интен-

сивность 1 пренебрежительно мала по отношению к 2 . Чем больше вероятность ожидания, тем меньше вероятность простоя обслуживающих устройств и больше число заявок, которые будут обслужены. Однако высокая вероятность ожидания благоприятна в том случае, если в системе не происходит переполнения очереди.

Вероятность отказа в обслуживании вновь прибывшей заявке в целом имеет возрастающий характер и увеличивается по мере роста приведенной интенсивности 2 . В предельных случаях при 2 0 и 2 вероятность отка-

за не зависит от интенсивности 1 и равна соответственно 0 и 1. Чем меньше вероятность отказа, тем большая доля заявок из общего входного потока будет обслужена.

Относительная пропускная способность СМО имеет прямо противоположный вероятности отказа характер поведения, а графики ее являются зеркальным отображением семейства кривых вероятности отказа.

Среднее число требований, находящихся под обслуживанием, носит монотонно возрастающий характер и в точке 1 m достигает максимального значения, равного числу обслуживающих устройств m. По мере увеличения приведенной интенсивности 2 начальное значение данного параметра увеличивается с понижением скорости возрастания, и в предельном случае, при бесконечном 2 , принимает постоянное значение m независимо от интенсивности потока 1. Среднее число требований под обслуживанием, деленное на число обслуживающих устройств m, дает коэффициент загрузки СМО. Чем больше коэффициент загрузки, тем эффективнее система. Однако повышение коэффициента загрузки СМО не должно быть следствием чрезмерного увеличения интенсивности входного потока требований, вызывающего переполнение очереди или сплошные отказы в обслуживании.

Средняя длина очереди имеет монотонно возрастающий характер, резкое возрастание наблюдается в окрестности точки 1 m. Такое бесконечное воз-

15

растание объясняется переполнением очереди при приближении приведенной интенсивности 1 к значению m. По мере увеличения интенсивности 2 начальное значение средней длины очереди увеличивается, и в предельном случае, при 2 , достигает значения, равного числу мест в накопителе Е. Чем больше очередь, тем больше заявок будет обслужено, но при этом не должно происходить переполнения очереди.

Вразделе 3.3 исследовано поведение характеристик модели СМО - комбинации моделей M/M/m, M/M/m:Е, M/M/m:0. Характеристики общей комбинированной модели качественно схожи с характеристиками предыдущей модели СМО - комбинации моделей M/M/m, M/M/m:Е.

Графики показывают, что введение во входной поток заявок 3-го типа, которые обслуживаются только при наличии свободных обслуживающих устройств, не оказывает существенного влияния на характер поведения характеристик системы. Подобное исследование позволяет лишь качественно оценить производительность системы при изменении интенсивности входного потока требований, но не позволяет оценить необходимое число обслуживающих устройств и мест в накопителе для эффективной работы СМО.

Вглаве 4 исследован нестационарный режим работы открытых систем дифференцированного обслуживания поликомпонентных потоков.

Вразделе 4.1 приводится программа, по которой осуществляется имитационное моделирование СМО в системе GPSS World.

Вразделе 4.2 приводятся результаты численных экспериментов, в рамках которых исследован нестационарный режим функционирования данных систем. Полученные зависимости числовых и временных характеристик СМО от времени моделирования описываются одной формулой:

как для общей комбинированной модели, так и для всех частных моделей, приведенных в разделах 2.3 – 2.6, но с разными значениями коэффициентов a, b, c в каждом отдельном случае. Выявлено, что квазистационарный режим в СМО подобного типа устанавливается приблизительно за 100 единиц модельного времени, равных среднему времени обслуживания заявки одним обслуживающим устройством.

Результаты имитационного моделирования на ЭВМ приведены в таблице

16

В таблице 1 n,l,tож - значения параметров, вычисленные по математиче-

ской модели, а n~, ~l , ~tож - результаты выполнения программы имитационного моделирования.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

Поcтроены математические модели СМО нового типа – открытых многоканальных систем дифференцированного обслуживания поликомпонентных потоков в стационарном режиме функционирования.

Усовершенствован метод аналитического моделирования СМО, основанный на применении математического аппарата цепей Маркова, путем введения новых вероятностных характеристик, таких как вероятность неполной загрузки накопителя, вероятность полной загрузки накопителя и вероятность немедленного обслуживания. Данные характеристики играют роль базисных параметров, через которые выражаются вероятностные характеристики, а также первые и вторые моменты числовых и временных характеристик стационарного режима функционирования СМО как в общем, так и в вырожденном случае, когда общие формулы при m имеют неопределенность.

Исследован характер поведения вероятностных, а также числовых и временных характеристик стационарного режима в системах дифференцированного обслуживания поликомпонентных потоков с применением полученных аналитических моделей и вычислительного эксперимента.

Разработана программа имитационного моделирования открытых систем дифференцированного обслуживания поликомпонентных потоков и проведён цикл численных экспериментов, в рамках которых исследован нестационарный режим функционирования данных систем и получена общая формула зависимости числовых и временных характеристик таких СМО от времени в нестационарном режиме. Выявлено, что квазистационарный режим в СМО подобного типа устанавливается приблизительно за 100 единиц модельного времени, равных среднему времени обслуживания заявки одним обслуживающим устройством.

Разработана методика организации обслуживания подобных СМО, в рамках которой предложен численный алгоритм, позволяющий по известным в качестве исходных данных интенсивностям входных потоков требований разных типов рассчитать необходимое число каналов и мест в очереди для получения требуемой производительности.

Полученные результаты могут быть использованы для оценки производительности существующих систем подобной структуры, а также при разработке проектов модернизации или строительства объектов, работающих по принципу систем массового обслуживания.

17

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

Публикации в журналах, рекомендованных ВАК:

1.Кирпичников А.П., Титовцев А.С. Открытая одноканальная система массового обслуживания с отказами и неограниченной очередью.// Вестник Казанского технологического университета. – 2006. – №4. – C. 78 – 85.

2.Кирпичников А.П., Титовцев А.С. Системы массового обслуживания с отказами и неограниченной очередью. // Обозрение прикладной и промышленной математики. – 2007. – Т. 14 - Вып. 5. – C. 893 – 896.

3.Кирпичников А.П., Титовцев А.С. Методика оптимальной организации систем массового обслуживания с отказами и очередью. // Обозрение прикладной и промышленной математики. – 2008. – Т. 15 - Вып. 6. – С. 1090 – 1091.

4.Кирпичников А.П., Титовцев А.С. Системы обслуживания с неоднородным входным потоком требований, отказами и очередью.// Вестник Казанского технологического университета. – 2011. – №5. – C. 154 – 161.

Публикации в сборниках трудов всероссийских и международных научных конференций:

5.Кирпичников А.П., Титовцев А.С. Математическая модель открытой одноканальной системы массового обслуживания с ограниченной очередью. // Материалы Всероссийской научно-технической конференции «Современные проблемы математики и естествознания» - Нижний Новгород, ННИМЦ «Диалог», 2006, С.10.

6.Кирпичников А.П., Титовцев А.С. Математическая модель открытой одноканальной системы массового обслуживания с потерями и неограниченной очередью. // Материалы Всероссийской научно-технической конференции «Современные проблемы математики и естествознания» - Нижний Новгород, ННИМЦ «Диалог», 2006, С.10.

7.Кирпичников А.П., Титовцев А.С. Открытая многоканальная система массового обслуживания с потерями и неограниченной очередью. // Сборник трудов XX Международной научной конференции «Математические методы в технике и технологиях ММТТ-20». – Т.6. – Ярославль, ЯГТУ, 2007, С.217 – 220.

8.Кирпичников А.П., Титовцев А.С. Математическая модель открытых систем массового обслуживания с отказами и очередью. // Материалы Всероссийской научно-технической конференции «Современные проблемы математики и естествознания» - Нижний Новгород, ННИМЦ «Диалог», 2007, С.12 -16.

9.Титовцев А.С., Кирпичников А.П. Многолинейные системы массового обслуживания с потерями и очередью. // Сборник трудов пятой международной научно-практической конференции «Исследование, разработка и применение высоких технологий в промышленности». – Т.12. - Санкт-Петербург, изд-во Политехнического университета, 2008, С. 121 – 127.

10.Кирпичников А.П., Титовцев А.С. Многолинейные системы массового обслуживания с отказами и очередью. // XII Международная научная конференция им. академика М. Кравчука – Киев, 2008. – С. 69.

18

Соискатель______________________ А.С. Титовцев

Офсетная лаборатория Казанского государственного технологического университета

420015, Казань, К.Маркса,68

19