ИЗБРАННЫЕ ВОПРОСЫ ТЕОРИИ ЧИСЕЛ (110

a1 ak 1 a2 ak 2 .

..............

ak a2k

Это означает, что получилась чистая периодическая дробь с k – цифрами

n1, 10 1 обращается в смешанную периодическую дробь, в которой число цифр после запятой до периода определяется числом , где – наибольшее из чисел и , число цифр в периоде определяется числом k

, где k – порядок числа 10 по модулю n1 , т. е. k – наименьшее натуральное число, удовлетворяющее сравнению: 10k 1 mod n1 .

Теорема 4. Несократимая дробь m может быть представлена в виде n

конечной десятичной дроби в том и только в том случае, когда в разложение её знаменателя на простые множители входят лишь простые числа 2 и 5 , т. е. когда n 2 5 .

10

Получаем дробь 114 , при обращении в десятичную равна чистой периодической дроби с двумя цифрами в периоде.

десятичную равна смешанной периодической дроби. Число цифр после запятой до периода равно 1, как наибольшее среди показателей 2 и 5 в разложении числа 665. Определим число цифр в периоде:

133 7 19 7 19 6 18 108 .

Показатель числа 10 по модулю 133 будем искать среди делителей числа

108, т. е. 1, 2, 3, 4, 6, 12, 18, 36, 54.

101 10 mod 133 ;

102 100 33 mod 133 ; 103 330 69 mod 133 ; 104 690 25 mod 133 ;

106 33 25 825 27 mod 133 ; 1012 272 729 69 mod 133 ; 1018 27 69 1863 1 mod 133 .

Таким образом, число цифр в периоде равно 18.

Итак, дробь 149 при обращении в десятичную равна смешанной

665

периодической дроби с одной цифрой после запятой до периода, и с восемнадцатью цифрами в периоде.

11

Уп р а ж н е н и я

1)Какие из следующих дробей могут быть представлены в виде конечных десятичных дробей? Объясните почему:

а) 1243 , б) 15516 , в) 3780 , г) 60059 ;

2) Какие из следующих дробей могут быть представлены в виде чисто периодических десятичных дробей:

а) 74149 , б) 3083 , в) 113227 , г) 1098 ; 3) Какие из следующих дробей могут быть представлены в виде

смешанных периодических дробей:

2. Нахождение остатков при делении на данное число

Остаток и частное при делении на данное число можно получать с помощью алгоритма деления. Однако при больших числах применение алгоритма деления приводит к длинным вычислениям. Во многих случаях можно значительно проще получить результат, используя свойства сравнений. Так как каждое целое число может быть представлено в виде суммы или разности целых чисел, в виде степени или суммы степеней, то достаточно научиться быстро находить остаток от деления суммы, разности, степени, суммы степеней на некоторое число m .

Из теории сравнений известно, что целое число a и остаток r от деления a на число m принадлежит одному и тому же классу по модулю m , т. е. a r (mod m) . Остаток r является наименьшим неотрицательным вычетом числа a по модулю m .

Пусть r1, r2 , ..., rn – остатки от деления чисел a1, a2 , ..., an на m .

Тогда:

12

нахождением остатка от деления числа r1 r2 ... rn на m .

Если r1 r2 ... rn m , то r1 r2 ... rn и будет искомым остатком.

Вычитая, например, второе сравнение (1) из первого почленно, получим: a1 a2 (r1 r2 ) (mod m)

(можно и наоборот, тогда a2 a1 (r2 r1 ) (mod m) ). Вывод аналогичен предыдущему.

2) Умножая почленно сравнения (1), получим сравнение: a1a2 ...an r1r2 ...rn (mod m) .

Отсюда вытекает утверждение, аналогичное утверждению пункта а).

3) Если a1 a2 ... an a , то получим:

an r n (mod m) .

Следовательно, нахождение остатка от деления a n на m сводится к нахождению остатка от деления r n на m . Задача упрощается, но при больших m и n может оказаться всё же трудоёмкой. Остановимся на наиболее употребительных приёмах, применяющихся в этом случае.

а) Последовательное возведение в степень сравнения r r (mod m) с

последовательной заменой правой части получающегося сравнения абсолютно наименьшими вычетами по модулю m . Перемножение соответствующих сравнений (см. пример 2).

13

б) Если r и m взаимно просты, т. е. (r , m) 1, то можно

воспользоваться теоремой Эйлера (в случае m p теоремой Ферма). По теореме Эйлера,

r (m) 1(mod m) .

Разделим далее n на (m) с остатком:

n (m)q k .

Тогда получим:

практически, не вызывает затруднений.

в) Если m p – число простое, то можно воспользоваться свойствами (и таблицами) индексов. Имеем:

r n x (mod p) .

Решая это сравнение, находим последовательно

n ind r ind x (mod p 1), x l (mod p) .

Наименьший неотрицательный вычет из этого класса чисел по модулю p –

искомый остаток, он равен l .

Примеры

1. Найдем наименьший неотрицательный остаток от деления числа n ( 5622 179 346 ) 923 на 23.

Находим остатки от деления на 23 чисел: 5622 179 346 5455 и 923; получим соответственно 4 и 3. Далее, так как 4 3 12 , то n 12 (mod 23) . Искомый остаток r 12 .

2. Найдем наименьший неотрицательный остаток от деления числа n ( 63157 25028 ) 926 на 12.

14

54 1(mod 12) и потому 528 1(mod 12). Теорема Эйлера непосредственно

к 228 не применима, т. к. числа 2 и 12 не являются взаимно простыми. Но

15

необходимо и достаточно, чтобы Q делилось на m . Теорема доказана.

В качестве следствий из общего признака Паскаля вытекают различные признаки делимости. Рассмотрим некоторые из них (наиболее часто используемые в практике).

Следствие 1. Пусть m – делитель числа g 1 . Для того чтобы число,

записанное в g-ичной системе счисления, делилось на m , необходимо и

сформулированного признака вытекают известные признаки делимости на

9 и 3.

17

Следствие 2. Пусть m – делитель числа g 1. Для того чтобы число,

записанное в g-ичной системе счисления, делилось на m , необходимо и достаточно, чтобы разность между суммами цифр на четных и нечетных местах делилась на m .

признак делимости на 11: для того, чтобы число делилось на 11, необходимо и достаточно, чтобы разность между суммами цифр на четных и нечетных местах делилась на 11. Например, число 25697058 не делится на 11, так как разность (2 6 7 5) (5 9 0 8) 20 22 2 не делится на 11.

Число 905784 делится на 11.

Следствие 3. Пусть m – делитель числа g k . Для того чтобы число,

записанное в g-ичной системе счисления, делилось на m , необходимо и

Из ( ) вытекает утверждение следствия.

18