Введение в комбинаторный анализ учебно-методическое пособие

Неупорядоченная n, k -выборка без повторений элементов называ-

ется сочетанием.

Неупорядоченная n, k -выборка с повторениями элементов называ-

ется сочетанием с повторениями.

Например, 1, 2, 3 и 3, 1, 2 – одно и то же сочетание из трех элементов, взятых из множества 10 цифр. Другим сочетанием из этого множества является 1, 2, 4. Число всех сочетаний без повторений из n элементов по k

обозначается Cnk , а с повторениями C kn .

Утверждение 2.1

Число всех перестановок Pn из n элементов равно n!.

Доказательство

Выбираем последовательно из n элементов первый, второй и т. д. до n-го элемента. Первым можно выбрать любой из элементов, вторым – любой из n 1 оставшихся элементов, и т. д. Для n-го элемента остается одна возможность. По правилу произведения все элементы последовательно можно выбрать n n 1 n 2 ...3 2 1 n! способами. Утверждение доказано.

Рассмотрим перестановки с повторениями. Предположим, что не все n элементов перестановки различны, а элемент a1 повторяется n1 раз, a2 n2 раз, ak nk раз, при этом n n1 n2 ... nk . Число перестановок

Доказательство

Будем считать совпадающими те перестановки, в которых на одинаковых местах стоят одинаковые элементы. При этом перестановка одина-

11

ковых элементов не дает новой перестановки. Тогда элемент a1 можно переставить n1! раз с такими же элементами, a2 n2! раз, …, ak nk ! раз. Тогда по правилу произведения для каждой из перестановок есть n1!n2 !...nk ! перестановок, совпадающих с ней. Значит, число различных перестановок с повторениями из данных элементов в n1!n2 !...nk ! раз меньше, чем число перестановок без повторений. Доказано.

Утверждение 2.3

Число размещений Ank n n 1 n 2 ... n k 1 , n k 0.

Доказательство

Первый элемент можно выбрать n способами, второй n 1 способами, а когда выбирается k-й элемент, невыбранными будут n k элементов, а значит для k-го элемента остается на один способ больше этого значения, т. е. k-й элемент можно выбрать n k 1 способами. По правилу произведения получается требуемый результат.

Для размещений с повторениями доказательство проводится аналогично, следует заметить, что в этом случае для выбора каждого из k элементов имеется n возможностей выбора. Таким образом, справедливо следующее утверждение.

Утверждение 2.4

Число размещений с повторениями Akn nk .

Доказательство

Образуем все возможные неупорядоченные подмножества, содержащие k элементов, их число равно Cnk . Затем из каждого полученного подмножества перестановкой его элементов получим все упорядоченные

12

Напомним, что 0! 1, поэтому можно подсчитывать и Cn0 . Рассмотрим подробнее сочетания с повторениями. В них каждый из

k элементов принадлежит к одному из n типов, причем k может быть больше n. Из элементов (1, 2, 3), например, можно составить такие двухэлементные сочетания с повторениями:

11, 12, 13, 22, 23, 33.

Утверждение 2.6

Число сочетаний с повторениями Ckn Cnk k 1 .

Доказательство

Каждое сочетание полностью определяется, если указано, сколько элементов каждого из n типов в него входит. Поставим в соответствие каждому сочетанию последовательность 0 и 1, составленную по такому правилу: напишем подряд столько 1, сколько элементов первого типа входит в сочетание (если их нет, то ничего не пишем). Далее поставим 0, после него напишем столько 1, сколько элементов второго типа входит в сочетание, и т.д. (после элементов последнего, n-го типа 0 не ставим). Например, написанным выше сочетаниям из трех цифр по две будут соответствовать последовательности 1100, 1010, 1001, 0110, 0101, 0011.

Таким образом, каждому сочетанию из n по k соответствуют последовательности из k единиц и n 1 нулей, т. е. Cnk k 1 .

13

Упражнения

2.1.Сколько перестановок можно составить из букв О, Р, Т? Сколько среди них осмысленных русских слов? А математических терминов?

2.2.Выписать все перестановки из букв И, К, С.

2.3.Сколько четырехзначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4 без повторения? Выписать все.

2.4.Сколько трехзначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4 без повторения? Выписать все.

2.5.Сколько сочетаний по 3 различные цифры можно составить из цифр 1, 2, 3, 4? Выписать все.

2.6.Сколько размещений по 2 цифры с повторениями можно составить из цифр 1, 2, 3? Выписать все.

2.7.Выписать все перестановки с повторениями из букв слова МАМА.

2.8.Сколько сочетаний по две цифры с повторениями можно составить из цифр 1, 2, 3, 4?

2.9.Составить программы для ЭВМ: вычисление перестановок, размещений, сочетаний без повторений и с повторениями элементов.

14

3. Примеры решения задач на соединения

При решении комбинаторных задач на подсчет числа соединений следует, прежде всего, правильно выбрать тип соединений. Отметим, что перестановки отличаются лишь порядком элементов, переставляются все n элементов множества. Размещения и сочетания различаются тем, что для размещений учитываются и состав элементов, и их порядок; для сочетаний важен лишь состав элементов. Необходимо также определить, допустимо ли в задаче повторение элементов.

Задача 3.1

В фирменном поезде «Кама» 17 вагонов. Сколькими способами можно распределить по вагонам 17 проводников, если за каждым из вагонов закрепить одного проводника?

Решение

Способы распределения проводников различаются только порядком, поэтому их число является количеством перестановок из 17 элементов:

P17 17! 355 687 428 096 000.

Задача 3.2

Сигнальщик использует 1 красный, 2 синих, 3 зеленых и 1 белый флаг по одному разу. Сколько различных сигналов он может передать, меняя порядок флагов?

Решение

Сигнальщик использует все 7 флагов, цвета повторяются, поэтому необходимо применить формулу числа перестановок с повторениями:

P7 1, 2, 3, 1 1!2!3!1!7! 420 .

15

Задача 3.3

Сколькими различными способами можно выбрать из 40 человек, присутствующих на собрании, председателя, заместителя председателя, секретаря и председателя счетной комиссии?

Решение

Из 40 человек выбирается 4 с различными функциями. Четырехэлементные множества отличаются и по составу элементов (выбранными могут быть разные люди) и по порядку (разные функции). Поэтому применяем формулу числа размещений из 40 элементов по 4:

A404 40 39 38 37 2 193 360 .

Задача 3.4

Сколькими различными способами можно избрать из 15 человек делегацию в составе 3 человек?

Решение

Из 15 человек выбирается 3 человека, функции у них не различаются, поэтому подмножества различаются лишь по составу элементов. Применяем формулу числа сочетаний из 15 по 3:

C153 15 143! 13 455 .

Отметим, что рациональнее сначала сократить дробь, а затем производить умножение.

Задача 3.5

Шкаф камеры хранения можно закодировать с помощью четырехзначного числа десятичной системы исчисления. Сколькими способами можно выбрать это число?

16

Решение

Каждую из 4 цифр числа можно выбрать 10 способами. Порядок цифр существенен, а повторения цифр возможны, значит, необходимо применить формулу числа размещений с повторениями из 10 по 4:

A4 104 10 000 .

10

Аналогичные задачи решают при передаче цифровой информации. При этом используются последовательности определенной длины r: a1, a2 , ...,ar , элементы которых могут быть 0 или 1. Тогда максимальное число различных сигналов (слов), которые можно представить с помощью 0 или 1, равно числу размещений с повторениями из 2 элементов по r:

Ar2 2r .

Задача 3.6

Воранжерее имеются цветы 10 наименований. Сколькими способами можно составить букет из 19 цветов?

Решение

Вбукет могут войти несколько цветов одного наименования, это повторения. Порядок значения не имеет, значит, это сочетания из 10 по 19 с повторениями:

C1910 C2819 6 906 900.

Во многих задачах приходится учитывать правила сложения и умножения, а также другие рассуждения.

Задача 3.7

Автомобильные номера состоят из одной, двух или трех букв (используются 32 буквы) и четырех цифр. Найти число таких номеров.

Решение

Возможны три случая, для них применим правило суммы. Для одной буквы возможно 32 случая, а для четырех цифр – 104 случаев (размещения

17

с повторениями). Здесь применим правило произведения. Итак, для одной буквы имеется 320000 случаев. Для двух букв имеется 322 случаев (размещения с повторениями). Тогда по правилу произведения для двух букв и четырех цифр имеем 322 104 случаев. Аналогично для трех букв и четырех цифр будет 323 104 способов. Суммируем все способы, получаем

32 322 323 104 338 240 000 способов.

Задача 3.8

Сколько ожерелий можно составить из 7 различных бусин?

Решение

Число ожерелий будет меньше, чем число перестановок из 7 элементов. Во-первых, если мы будем разрывать ожерелье в разных местах, то мы получим различные перестановки. Это значит, что ожерелий будет в 7 раз меньше, чем 7!. Во-вторых, ожерелье можно и перевернуть, значит, их

будет еще в два раза меньше. Итак, общее число ожерелий 77!2 360 .

Задача 3.9

Решить неравенство C10x 1 3C10x .

Решение

Рассмотрим область допустимых значений для x. В левой части неравенства x – целое число из промежутка 1; 11 , в правой части x целое число из промежутка 0; 10 . Следовательно, x целое число из промежут-

18

4x 334 , x 334 8 14 .

Учитывая ограничения, наложенные на x, получаем: x 9, x 10.

Упражнения

3.1.Сколькими способами можно составить трехцветный полосатый флаг (горизонтального расположения), если имеется материал 5 различных цветов?

3.2.Сколько словарей нужно издать, чтобы можно было непосредственно выполнять переводы с любого из 5 языков (русского, английского, немецкого, французского, испанского) на любой другой из этих 5 языков?

3.3.У одного человека есть 7 книг по математике, у другого 9 книг. Сколькими способами они могут обменять две книги одного на две книги другого?

3.4.Сколько команд участвовало в турнире, если известно, что каждая команда сыграла с каждой из остальных по одной игре, а всего было проведено 66 игр?

3.5.Из колоды, содержащей 52 карты, вынули 10 карт. Во скольких случаях среди этих карт окажется: а) ровно один туз; б) ровно два туза; в) хотя бы один туз; г) не менее двух тузов;

3.6.Сколько перестановок можно сделать из цифр 1,2,3,4,5,6, начинающихся с цифр 45?

3.7.Сколько способов встать в хоровод имеется у 7 девушек?

3.8.Несколько человек садятся за круглый стол. Два способа рассадки считаются совпадающими, если каждый человек имеет одних и тех же соседей в обоих случаях (расположение неважно).

19

Сколькими различными способами можно рассадить 7 человек? Решить задачу для n человек.

3.9.Сколько различных слов можно получить, переставляя все буквы в слове «математика»? В слове «парабола»?

3.10.Подсчитать (возможно, с помощью ЭВМ) число перестановок с повторениями в словах «параллелограмм» и «параллелепипед».

3.11.В почтовом отделении продаются открытки 10 сортов. Сколькими способами можно купить в нем 12 открыток? 8 открыток? 8 различных открыток?

3.12.В кондитерском магазине продавались 4 сорта пирожных (наполеоны, эклеры, буше и песочные). Сколькими способами можно купить 7 пирожных?

3.13.У англичан принято давать детям несколько имен. Сколькими способами можно назвать мальчика, если общее число мужских имен равно 300, а ему дают не более 3 имен?

3.14.В некотором государстве не было жителей с одинаковым набором зубов. Определить наибольшую численность населения государства, если наибольшее число зубов равно 32.

3.15.Из группы, состоящей из 7 мужчин и 4 женщин, надо выбрать 6 человек так, чтобы среди них было не менее 2 женщин. Сколькими способами можно это сделать?

3.16.Четверо студентов сдают экзамен. Сколькими способами могут быть поставлены им оценки, если известно, что «неудовлетворительно» не получил никто?

3.17.Сколько букв можно изобразить азбукой Морзе, состоящей из точек и тире, если каждая буква содержит не более 5 символов?

3.18.В русскоязычном селении проживает 2000 жителей. Доказать, что по крайней мере двое из них имеют одинаковые инициалы. (В

20