Пределы последовательностей и функций

π x

sin

π x

lim (1 − x ) tg

= {0 ∞ }=

lim (1−

x )

2 =

x→

1

2

→x

1

cos π x

2

π x

1−

x

0

=

sin

= 1,

при x =

1

= lim

=

=

2

π x

x→ 1

0

cos

2

=

y = x −1,

= lim

− y

=

π

y →

0, =x

+y

1

y→ 0 cos

( y +1)

2

− y

−

π

y

1

2

= lim

= lim

2

=

=

.

π

π

π

π

y→ 0

→y 0

−

π

π

cos

y

+

sin

y

2

2

2

2

2

Ответ:

2

.

π

Второй замечательный предел используют для раскрытия неоп-

ределенности

вида1∞ .

При

нахождении

пределов вида

lim ϕ

( x ) ψ

( x) = C следует иметь в виду, что:

x→

a

1) если существуют конечные пределы

lim ϕ ( x ) = A,lim ψ

( x ) = B ,

x→ a

→x

a

2) еслиlim ϕ ( x ) = A ≠ 1,lim ψ

( x ) = ±∞ ,

то

вопрос

о нахождении

x→

a

→x

a

предела решают непосредственно;

3) еслиlim ϕ ( x )

= 1,lim ψ

( x ) = ∞

,

то используют второй замеча-

x→

a

→x a

тельный предел.

Пример 17. Найтиlim

sin 2x 1+ x

.

x→ 0

x

Решение. Здесьlim

sin 2x

= 2

, lim (1 + x ) = 1 ;

x→ 0

x

x→

0

sin 2x

1+ x

1

Поэтому

lim

=

2

= 2 .

x→ 0

x

Ответ: 2.

Пример 18. Найтиlim

x +1 x2

.

x

→∞

2x +1

x +1

1

2

Решение. Имеемlim

=

,

lim x

= ∞ .

x→∞

2x +1

2

x→∞

x +1

x2

1

∞

Тогдаlim

=

= 0 .

x→∞

2x +1

2

Ответ: 0.

Пример 19. Найтиlim

x −1 x

.

x

→∞

x +

1

Решение. lim

x −1

x

=

{1∞

} = lim 1 +

x −1

−1 x

=

x→∞

→∞ x

+1

x +1

x

x +1

−2

x

x +1

x

−2

1 +

−2

= lim

1

= lim

1 +

=

x→∞

→∞ x

x +1

x +1

−2

lim −2 x

= ex→∞

x+1 = e−2 .

1

Пример 20. Найтиlim (3x −

5)

.

x −2

x→ 2

y = x − 2,

1

Решение. lim (3x − 5)

=

=

x −2

x→ 2

x = y + 2, y →

0

1

1 3

= lim (3( y + 2) − 5)

= lim (3y +

1)

= e3.

y

y 3

y→ 0

→y 0

Ответ: e3.

( x +1) − ln x

Пример 21. Найти lim x ln

.

x→+∞

и положителенlim f ( x ) , то lim ln f

( x )

= ln lim f ( x ) .

x→

a

x→

a

→x a

lim x ln ( x +1) − ln x = lim x ln

x +1

=

x→+∞

→+∞x

x

x +1

x

x +1 x

= lim ln

= ln

lim

=

→+∞

x

x

x

→+∞x

Рассмотрим две бесконечно малые при

x →

x0 величины α

( x )

иβ ( x ) , то есть lim α ( x )=

0, lim β ( x ) = 0 . Тогда, если существует ко-

x→ x0

→x x0

α ( x )

нечный и не равный нулю предел их отношения lim

= c ,

где

x→

x0

β ( x )

c — константа, отличная от нуля, то α ( x )

и β

( x )

являются беско-

лентными. Обозначение α ( x ) ~ β ( x ) , x →

x0 .

Приведем таблицу некоторых эквивалентных бесконечно малых

величин. Пусть α ( x )→

0

приx →

x0 . Тогда

sin α ( x )

x

1 ~ x,

~α ( x ), e−

tg α ( x ) ~α ( x ), ln (+1 x ) ~ x,

arcsin α

( x ) ~α

( x ),

x

1 ~ x ln a,

a−

arctg α

( x ) ~α ( x ), (+1

m

1 ~ mx,

x )−

1 − cosα

( x ) ~

α 2 ( x )

.

2

Еслиc = 0 , тоα ( x )

— величина бесконечно малая, более высо-

кого порядка малости, чемβ ( x ) .

Еслис = ∞ , тоα ( x )

— величина бесконечно малая, более низко-

го порядка малости, чемβ ( x ) .

( x )

и β ( x )

Если с не существует, то α

не сравнимы.