Введение в комбинаторику и теорию вероятностей

b) The sample is assembled from products of the 1st factory, if it functioned beyond the warranty period.

Solution

The event A – apparatus drawer warranty period. Hypothesis H1 – apparatus was collected from fabrication from the 1st factory, H2 – from the 2nd factory.

Then p(H1) = 0,4; p(H2 ) = 0,6; p(A/ H1) = 0/ 9; p(A/ H2 ) = 0/ 7.

That required defining p(A), p(H1 / A). By the rule (3.19)

p(A) = 0,4 0,9 + 0,6 0,7 = 0,78;

By the rule (3.20)

p(H1 / A) = 0,4 0,9 ≈ 0,46. 0,78

Distribution law can completely characterize of random quantity.

Distribution law of random quantity is called correspondence between possible values and their probabilities. It can be established by table, analytical equation and by graphic illustration.

It is necessary to recognize random quantity, which possessed just individual isolated possible values (discrete random quantities) and random quantities. Possible values of them completely fitted some interval (continuous random quantity).

Discrete quantity called the quantity, which possesses individual, isolated possible values with defined probabilities. Quantity of possible values of discrete quantity can be finite or countable.

Continuous quantity is called random value. It can possess all the values from some finite or infinite interval. Obviously, that number of possible values of continuous random quantity is finite.

613

Рассмотрим характеристики положения, фиксирующие расположение случайной величины на числовой оси. К таким характеристикам относится математическое ожидание, мода, медиана и дисперсия случайной величины.

3.2. ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ

Математическое ожидание является средневзвешенным значением случайной величины, в которое абсцисса каждого значения входит с «весом», равным соответствующей вероятности. Таким образом, математическое ожидание представляет собой центр тяжести системы материальных точек, образованной всевозможными значениями случайной величины, обладающих массами, равнымивероятностямэтих значений.

Математическим ожиданием дискретной случайной ве-

личины называют сумму произведений всех ее возможных значений на их вероятности.

Пусть случайная величина Х принимает только значения x1 , x2 , ..., xn , вероятности которых соответственно равны

p1 , p2 , ..., pn . Тогда математическое ожидание M (X ) определится формулой

Решение. M (X ) = 3 0,1+ 5 0,6 + 2 0,3 = 3,9.

Можно выделить следующие основные свойства математического ожидания случайной величины:

624

Look at the characteristics of random quantity position at the number axis. To these characteristics we can refer the following definitions: mathematical expectation, dispersion, mode and median of a random quantity.

3.2. NUMERIC PERFORMANCES

OF AN ALEATORY VARIABLE

The expectation is a weighted-mean value of an aleatory variable, in which one the abscissa of each value enters with a "weight", equal applicable probability. Thus expectation represents a center of gravity of a system of mass points derivated by every possible values of an aleatory variable, possessing masses, equal probabilities of these values. So

As expectation of a discrete aleatory variable call the sum of products all of its possible values on their probability.

Let aleatory variable X to accept only values x1 , x2 , ..., xn , which probabilities are accordingly peer p1 , p2 , ..., pn . Then the expectation of M(X) will be defined by the formula

i=1

Example 5. Find expectation of an aleatory variable, with a help of given table of values.

Solution. M (X ) = 3 0,1+ 5 0,6 + 2 0,3 = 3,9.

It is possible to dedicate following basic properties of expectation of an aleatory variable:

635

1.M (C) = C, где C = const.

Доказательство

M (C) = C 1 = C.

2.M (CX ) = CM (X ).

Доказательство

M (CX ) = Cx1 p1 + ... + Cx2 p2 + ... + Cxn pn = = C(x1 p1 + ... + x2 p2 + ... + xn pn ) = CM (X ).

3. M (X ± C) = M (X ) ± C.

Доказательство

M (X ± C) = (x1 ± C) p1 + ... + (x2 ± C) p2 + ... + (xn ± C) pn =

(x1 p1 + ... + x2 p2 + ... + xn pn ) ± C ( p1 + ... + p2 + ... + pn ) = = M (X ) ± C.

4. M (X + Y ) = M (X ) + M (Y ).

Доказательство

M (X + Y ) = (x1 + y1 ) p11 + (x1 + y2 ) p12 +

+(x2 + y1 ) p21 + (x2 + y2 ) p22 ,

Здесь для простоты считаем, что Х и Y заданы только двумя возможными значениями (в общем случае доказательство аналогичное), а pij – вероятностипоявлениязначенийсоответствующихсумм.

M (X + Y ) = x1 ( p11 + p12 ) + x2 ( p21 + p22 ) +

M (X + Y ) = (x1 p1 + x2 p2 ) + ( y1q1 + y2 q2 ) = M (X ) + M (Y ).

64

1. M (C) = C, C = const.

Proof

M (C) = C 1 = C.

2. M (CX ) = CM (X ).

Proof

M (CX ) = Cx1 p1 + ... + Cx2 p2 + ... + Cxn pn = = C(x1 p1 + ... + x2 p2 + ... + xn pn ) = CM (X ).

3. M (X ± C) = M (X ) ± C.

Proof

M (X ± C) = (x1 ± C) p1 + ... + (x2 ± C) p2 + ... + (xn ± C) pn =

(x1 p1 + ... + x2 p2 + ... + xn pn ) ± C ( p1 + ... + p2 + ... + pn ) = = M (X ) ± C.

4. M (X + Y ) = M (X ) + M (Y ).

Proof

M (X + Y ) = (x1 + y1 ) p11 + (x1 + y2 ) p12 +

+(x2 + y1 ) p21 + (x2 + y2 ) p22 ,

where for a simplicity is considered, that X and Y are preset only by two possible values (generally proof similar), and pij are probabili-

ties of occurrence of values of the relevant totals.

M (X + Y ) = x1 ( p11 + p12 ) + x2 ( p21 + p22 ) +

M (X + Y ) = (x1 p1 + x2 p2 ) + ( y1q1 + y2q2 ) = M (X ) + M (Y ).

657

Математическое ожидание важная, но не единственная характеристика положения случайной величины.

Модой случайной величины называется ее наиболее вероятное значение (то, для которого вероятность достигает максимума).

Медианой случайной величины называется такое ее значение, для которого P(X < x) ≈ P(X > x).

Пример 6. Найти математическое ожидание, моду и медиану случайной величины, заданной таблицей значений:

Решение.

Математическое ожидание имеет вид

M (X ) = 0·0,2 + 1·0,3 + 2·0,4 + 3·0,05 + 4·0,05 = 1,45;

мода

MOD(X ) = 2,

медиана

MED(X ) = 1.

Математическое ожидание, мода и медиана случайной величины характеризуют различные аспекты расположения случайной величины. Эти различия становятся понятными из следующего примера. Если некоторая фирма хочет оценить необходимое количество денег для выдачи зарплаты, ее интересует средняя зарплата сотрудника, то есть математическое ожидание зарплаты сотрудника, рассматриваемой как случайная величина. При устройстве на работу будущего сотрудника должна интересовать не средняя зарплата, а ее мода – заработная плата, получаемая большинством сотрудников. Медиана заработной платы говорит сотруднику о том, принадлежит он к хорошо или плохо оплачиваемой части сослуживцев.

668

Expectation relevant, but not alone performance of a position of an aleatory variable.

The mode of an aleatory variable terms its most interquartile value (that, for which one the probability reaches a maximum).

The median of an aleatory variable terms its such value, for

which one Р (X < x) = Р (X > x).

Example 6. Find expectation, moda and median of an aleatory variable, with a help of given table of values:

Solution

Expectation

M (X ) = 0 0,2 +1 0,3 + 2 0,4 + 3 0,05 + 4 0,05 =1,45

Moda

MOD(X ) = 2,

Median

MED(X ) = 1.

The expectation, mode and median of an aleatory variable characterize different aspects of a disposition of an aleatory variable. These differences become understandable from the following example. If some corporation wants to estimate an indispensable amount of money for output of the salary, it is interested in the medial salary of the employee, that is expectation of the salary of the employee considered as an aleatory variable interests. When the future employee gets on job hi is interested in not the medial salary, but in the moda – the salary that is given to the majority of the employees. The median of a salary tells the employee about, whether they belongs to well or poorly paid part of the colleagues.

679

Отметим, что в отличие от математического ожидания и медианы, которые определяются однозначно, мод у случайной величины может быть несколько. При этом они нумеруются в порядке возрастания.

На практике часто требуется оценить среднее отклонение возможных значений случайной величины от ее среднего значения. Характеристикой такого отклонения служит дисперсия случайной величины.

Дисперсией дискретной случайной величины называют математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания.

Пример 7. Найти дисперсию случайной величины, заданной в примере 5.

Решение.

M (X ) = 3,9,

D(X ) = ((3− 3,9)2 0,1+ (5− 3,9)2 0,6 + (2 − 3,9)2 0,3) =

= (0,81 0,1+1,21 0,6 + 3,61 0,3) = (0,081+ 0,726 +1,083) =1,89.

Можно выделить следующие основные свойства дисперсии случайной величины:

1. D(C) = 0.

Доказательство

D(C) = (M (C − M (C))2 = M (C − C)2 = M (0) = 0.

2. D(CX ) = C 2 D(X ).

Доказательство

D(CX ) = M (CX − M (CX ))2 = M (C(X − M (X ))2 = = C2 M (X − M (X ))2 = C2 D(X ).

3. D(X ± C) = D(X ).

6870

In practice frequently it is required to estimate an average deviation of possible values of an aleatory variable from its average value. The performance of such deviation is served by a variance of an aleatory variable.

As variance of a discrete aleatory variable term expectation of quadrate of a deviation of an aleatory variable from its expectation:

Example 7. Find a variance of an aleatory variable, given in an example 5.

Solution.

M (X ) = 3,9,

D(X ) = ((3− 3,9)2 0,1+ (5 − 3,9)2 0,6 + (2 − 3,9)2 0,3) =

= (0,81 0,1+1,21 0,6 + 3,61 0,3) = (0,081+ 0,726 +1,083) =1,89.

It is possible to dedicate following basic properties of a variance of an aleatory variable:

1. D(C) = 0.

Proof

D(C) = (M (C − M (C))2 = M (C − C)2 = M (0) = 0. 2. D(CX ) = C 2 D(X ).

Proof

D(CX ) = M (CX − M (CX ))2 = M (C(X − M (X ))2 = = C2 M (X − M (X ))2 = C2 D(X ).

3. D(X ± C) = D(X ).

6971

D(X ) = M (X − M (X ))2 = M (X 2 − 2 M (X ) X + (M (X ))2 ) = = M (X 2 ) − 2(M (X ))2 + (M (X ))2 = M (X 2 ) − (M (X ))2 .

Из 4-го свойства следует, что так как D(X ) ≥ 0, то

M (X 2 ) ≥ (M (X ))2 .

Для оценки отклонения возможных значений случайной величины вокруг ее среднего значения кроме дисперсии можно использовать среднее квадратическое отклонение.

Средним квадратическим отклонением случайной вели-

чины Х называется квадратный корень из дисперсии:

Для примера 6

σ(X ) = 1,89 ≈ 1,375.

3.3.ФУНКЦИЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ. ПЛОТНОСТЬ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ НЕПРЕРЫВНОЙ

СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ

Функцией распределения случайной величины Х называют функциюFX (x) , представляющую собой вероятность того, что

случайная величина Х в результате испытания примет значение, меньшее х, т.е.

702