Линейные задачи теории гидродинамической устойчивости и численные ме

роны и горизонтальная компонента скорости в середине слоя имеет максимум.

Поместим в середине слоя жидкости (z = 0) тонкую проницаемую перегородку. Пренебрегая ее толщиной, будем считать, что при переходе через перегородку обеспечивается непрерывность температуры T, теплового потока и поперечной компоненты скорости vz,

Здесь и далее плюсами и минусами отмечены значения функций соответственно сверху и снизу от перегородки.

Величина поперечной компоненты скорости определяется нормальным сопротивлением перегородки α и перепадом на ней давления. Для продольной компоненты скорости течения на перегородке пусть выполняется условие прилипания (касательное сопротивлений перегородки равно бесконечности). Таким

образом, граничные условия на перегородке имеют вид:

Проницаемая перегородка с описанными выше свойствами не меняет равновесного состояния подогреваемого снизу слоя жидкости. Для исследования влияния проницаемой перегородки на устойчивость этого состояния в краевую задачу (5.1) добавим граничные условия на перегородке. Используя уравнения непрерывности и Навье–Стокса, условия (5.2) и (5.3) запишем для амплитуд нормальных возмущений температуры и вертикальной компоненты скорости:

z 0 : , , v v+ ,

Условия (5.4) вместе с (5.1) определяют критические значения числа Релея, при которых равновесие в подогреваемом

81

снизу горизонтальном слое жидкости с проницаемой перегородкой становится неустойчивым.

Краевая задача (5.1), (5.4) симметрична относительно z = 0, поэтому решения распадаются на четные и нечетные. Для построения решений из уравнений (5.1) удобно исключить температуру. Для функции v(z) получим уравнение

Решение (5.5) удовлетворяет краевой задаче (5.1), а из условий на перегородке (5.4) получается трансцендентное урав-

Нечетное решение строится аналогично (5.5), и трансцендентное соотношение получается в виде

82

Трансцендентное уравнение (5.6) показывает, что критическое число Релея для четной моды зависит от сопротивления перегородки. При 0 уравнение (5.6) переходит в уравнение, определяющее четные уровни спектра чисел Релея в задаче без перегородки, т.е. проницаемая перегородка без нормального сопротивления не влияет на устойчивость по отношению к четным возмущениям. При малом сопротивлении 1 минимальное

критическое число Релея Ra* и соответствующее волновое число k* определяются формулами:

предельного значения 2,22. Такое изменение волнового числа можно понять, исследовав форму возникающих течений.

На рис. 5.2 приведена зависимость амплитуды вертикальной компоненты скорости от поперечной координаты при

83

не этого движения в каждой половине слоя развиваются замкнутые вихри, и при течение приобретает двухэтажную структуру, возникновение которой объясняет рост критического волнового числа.

Трансцендентное уравнение для нечетных возмущений показывает, что критическое число Релея не зависит от нормального сопротивления перегородки. Однако принятое предположение о бесконечном касательном сопротивлении требует обращения в нуль в середине слоя продольной компоненты скорости. Отсутствие гидродинамического взаимодействия двух вихрей в нечетном решении ведет к повышению минимального критического числа Релея, которое равно 1100,6. Волновое число наиболее опасных возмущений равняется 2,68. Из сопоставления с рис. 5.1 видно, что для всех наиболее опасной является нижняя мода четных возмущений.

84

5.2. Проницаемая перегородка в слое с твердыми границами

Рассмотрим теперь устойчивость равновесия горизонтального слоя жидкости, ограниченного твердыми плоскостями с температурой , в который помещена тонкая проницаемая

перегородка на расстоянии a от середины слоя (рис. 5.3).

z

1 –

a

x

Рис. 5.3. Геометрия слоя и система координат

Следует ожидать, что критическое значение числа Релея, при котором возможное равновесие жидкости становится неустойчивым, существенно зависит от положения перегородки и ее свойств.

Как и прежде, будем предполагать, что физические свойства перегородки описываются следующими соотношениями:

Напомним, что условия (5.7) означают отсутствие тепловой инерции у перегородки, а (5.8) – непрерывность скорости и про-

85

порциональность проекций скорости сумме соответствующих напряжений, действующих с разных сторон перегородки.

Амплитуды малых нейтральных возмущений, определяющих кризис равновесия горизонтального слоя, удовлетворяют уравнениям

где v и – амплитуды возмущений вертикальной компоненты скорости и температуры. К этим уравнениям нужно добавить условия на ограничивающих плоскостях:

и граничные условия на перегородке, преобразованные для нормальных возмущений с помощью уравнений движения:

Для решения краевой задачи (5.9)–(5.11) методом Рунге– Кутта строились независимые решения, удовлетворяющие условиям (5.10). Линейная комбинация независимых решений должна удовлетворять условиям (5.11), что приводит к однородной алгебраической системе 6-го порядка относительно весовых коэффициентов. Условие разрешимости этой системы определяет критическое число Релея:

Ra Ra k, a, n , .

Расчеты нейтральных кривых и форм движения были проведены для случая большого касательного сопротивления перегородки . На рис. 5.4 и 5.5 приведена зависимость ми-

нимального критического числа Релея Ra* и критического волнового числа k* от нормального сопротивления перегородки для различных ее положений.

86

Рис. 5.4. Зависимость минимального критического значения числа Релея от сопротивления перегородки для различного ее положения. Точками отмечены экспериментальные значения [29] для центрального поло-

жения перегородки

При центральном положении перегородки (a = 0) критическое число Релея быстро возрастает с увеличением сопротивления перегородки. Этот факт вместе с характером роста экспериментально подтверждается в работе [29]. Полученная в этой работе зависимость Ra* с учетом результатов [30] представлена

на рис. 5.4 точками. Согласно нашим расчетам максимальная стабилизация равновесия достигается уже при n ~ 103.

Рис. 5.5. Волновое число наиболее опасных возмущений для различных положений перегородкив зависимости от ее сопротивления

87

Волновое число наиболее опасного возмущения с ростом сопротивления перегородки, как и в случае со свободными границами слоя, сначала уменьшается, а затем, начиная с n 120,

монотонно растет.

Такое поведение k* объясняется изменением формы кри-

тического возмущения. Амплитуда вертикальной скорости возмущений для некоторых положений перегородки (пунктирная линия) при различных сопротивлениях приведена на рис. 5.6. Как видно из рис. 5.6, а, в области минимума n ~ 100 кривой

k* ( n ) эффективный вертикальный размер конвективной ячей-

к некоторому повышению устойчивости равновесия, а при больших сопротивлениях – к существенному понижению устойчивости.

Для смещения a 0,625 нормальное сопротивление перегородки практически не влияет на устойчивость и при a 1 Ra 106,7. Зависимости критического числа Релея и волнового числа от a в этой области связаны с изменением эффективной

венно. При малом нормальном сопротивлении и небольшом смещении перегородки центр ячейки остается на перегородке. При дальнейшем смещении центр ячейки от нее отрывается и перемещается в более широкую область канала.

88

Рис. 5.6. Зависимость амплитуды вертикальной скорости от поперечной координаты для различных сопротивлений перегородки (а, б, в

иг – а = 0, 0,125, 0,35 и 0,625)

Сувеличением сопротивления конвективное течение приобретает двухэтажную структуру со слабой интенсивностью движения в узкой части канала. С этим изменением структуры течения связано значительное повышение устойчивости равновесия при больших сопротивлениях перегородки.

89

5.3. Прямоугольная полость с вертикальной перегородкой (метод Канторовича)

Рассмотрим условия возникновения конвекции в прямоугольной области | x | L, | y | 1 , в середине которой (x = 0)

расположена вертикальная проницаемая перегородка. При подогреве жидкости снизу возможно механическое равновесие с линейным распределением температуры по вертикали.

Устойчивость равновесия будем исследовать относительно возмущений монотонного вида, поскольку именно такая неустойчивость имеет место в случае отсутствия перегородки [8]. Нейтральные возмущения функции тока и температуры T удовлетворяют уравнениям

где Ra – число Релея, определенное через половину высоты полости и равновесный градиент температуры.

Границы области будем считать твердыми, вертикальные границы – теплоизолированными, горизонтальные – изотермическими. Граничные условия для возмущений, удовлетворяющие этим требованиям, имеют вид

Проницаемая перегородка в нашем описании представляет собой мелкозернистую границу, на которой мы ставим однородные вдоль перегородки граничные условия: