Приложения определенного интеграла учебно-методическое пособие

Пример 6

Вычислить длину одной арки циклоиды, заданной уравнениями x = a(t −sin t ), y = a(1−cost ), 0 ≤t ≤ 2π (рис. 10).

Рис. 10

Циклоида – плоская кривая, которую описывает фиксированная точка М окружности радиусом а, катящейся без скольжения по прямой линии.

Из уравнений циклоиды находим: x′(t ) = a(1−cost ), y′(t ) = = asin t.

Когда х пробегает отрезок [0;2πa], параметр t пробегает отрезок [0;2π]. По формуле (6) находим:

2π

=∫ a (1−cost )2 +sin2 tdt =

1.2.3. Длина дуги кривой, заданной в полярных координатах

Пусть кривая АВ задана в полярных координатах уравнением

ρ =ρ(ϕ), α ≤ ϕ≤β.

12

Предположим, что ρ(ϕ) и ρ′(ϕ) непрерывны на отрезке [α,β]. Если в равенствах x =ρcos ϕ, y =ρsin ϕ, связывающих полярные и прямоугольные координаты, параметром считать угол ϕ, то получим параметрическое задание кривой АВ: x =ρ(ϕ)cos ϕ,

y =ρ(ϕ)sin ϕ, α ≤ ϕ≤β.

Поскольку х′(ϕ) =ρ′(ϕ) cos ϕ−ρ(ϕ)sin ϕ, y′(ϕ) =ρ′(ϕ)sin ϕ+ +ρ(ϕ)cos ϕ, то формула (6) принимает вид

α

Пример 7

Вычислить длину первого витка спирали Архимеда, заданной уравнением ρ = aϕ (см. рис. 8).

Первый виток спирали образуется при изменении ϕ от 0 до 2π. Поскольку ρ′(ϕ) = (аϕ)′ϕ = а, то по формуле (7) имеем:

2π 2π

L = ∫ a2ϕ2 +a2 dϕ= a ∫ ϕ2 +1dϕ=

1.3.Объем тела

1.3.1.Вычисление объема тела по площадям параллельных сечений

Пусть есть некоторое тело Т. Предположим, что известна площадь любого сечения этого тела плоскостью, перпендикулярной к оси Ох (рис. 11).

Эта площадь будет зависеть от положения секущей плоскости, т.е. будет функцией от х: Q =Q(x). Предположим, что

13

Q =Q(x) есть непрерывная функция от х, и определим объем данного тела.

Проведем плоскости: x = x0 = a, x = x1, x = x2 , …, x = xi , …, x = xn =b.

Рис. 11

Эти плоскости разобьют тело на слои. В каждом численном промежутке xi−1 ≤ x ≤ xi выберем произвольную точку ti и для каждого значения i =1, 2, ..., n построим цилиндрическое тело, образующая которого параллельна оси Ох, а направляющая представляет собой контур сечения тела Т плоскостью x =ti . Объем такого эле-

Это интегральная сумма для непрерывной функции Q(x) на [a,b], поэтому указанный предел существует и выражается определенным интегралом:

14

данной в прямолинейных коорди-

натах, осью Ох, прямыми x = a, x =b (рис. 13).

В этом случае произвольное сечение тела плоскостью, перпендикулярной к оси Ох, есть круг,

Если криволинейная трапеция ограничена графиком непрерывной функции x = ϕ( y) ≥ 0 и прямыми x = 0, y = c, y = d (c < d), то

объем тела, образованного вращением этой трапеции вокруг оси Оу, вычисляется по формуле

тела, образованного вращением около оси Оу прямоугольника со сторонами у и dx, отстоящего от оси Оу на расстоянии х. Тогда элемент объема dVx = 2πxydx, откуда

а

16

Пример 9

Вычислить объемы тел, образуемых вращением фигуры, ограниченной одной полуволной синусоиды y =sin x и отрезком оси Ох

(0 ≤ х ≤ π):

а) вокруг оси Ох; б) вокруг оси Оу.

а) В первом случае имеем тело вращения, показанное на рис. 14. Используя формулу (9), получим:

б) Во втором случае имеем тело вращения, показанное на рис. 15. Используя формулу (11), получим:

π

Vy = 2π∫ xsin xdx.

0

Рис. 15

17

Интегрируем по частям:

u = x du = dx;

dv =sin dx v = ∫sin dx = −cos x.

Получим:

= 2π2 +2π(sin π−sin 0) = 2π2.

Если кривая задана параметрически или в полярных координа-

тах, то в приведенных формулах нужно сделать соответствующую замену переменной интегрирования.

В более общем случае объемы тел, образованных вращением

Ох и Оу, определяются по соответствующим формулам:

Пример 10

Найти объем тора, образованного вращением круга, заданного формулой x2 +( y −b)2 ≤ а2 (b ≥ а), вокруг оси Ох (рис. 16).

18

Рис. 16

а

=π ∫ 4b а2 − х2 dx.

−а

Этой же формулой удобно пользоваться при отыскании объема тела, полученного вращением вокруг полярной оси фигуры, ограниченной некоторой замкнутой кривой, заданной в полярных координатах.

Используем подстановку: t =sin ϕ, dt = cos ϕdϕ; пределы изменения переменных:

20