Анализ и синтез одноконтурных систем автоматического регулирования т

10.3.2. Критерий Найквиста

Данный критерий позволяет судить об устойчивости замкнутой линейной системы управления (см. рис. 1) по виду КЧХ системы в разомкнутом состоянии.

Критерий Найквиста формулируется следующим образом:

замкнутая система устойчива, если она устойчива в разомкнутом состоянии и при этом КЧХ разомкнутой системы не охватывает точку на комплексной плоскости с координатами (–1, j0); если же КЧХ устойчивой разомкнутой системы охватывает точку на комплексной плоскости с координатами (–1, j0), то замкнутая система неустойчива, если проходит через точку с координатами (–1, j0), то замкнутая система находится на границе устойчивости.

Иллюстрация к критерию Найквиста приведена на рис. 24.

Рис. 24. КЧХ разомкнутой системы: 1 – замкнутая система устойчива; 2 – замкнутая система на границе устойчивости; 3 – замкнутая система не устойчива

Пример 10. Передаточная функция разомкнутой системы имеет вид

Wpc ( p) 3,5 p3 25 2 4 1 .

p p

Определить устойчивость замкнутой системы по критерию Найквиста.

Р е ш е н и е

Для построения КЧХ разомкнутой системы выполним подстановку р = j в передаточной функции:

61

Домножив числитель и знаменатель на сопряженное выражение, получим

Рис. 25. КЧХ разомкнутой системы

Характеристическое уравнение правых корней не имеет, КЧХ охватывает точку (–1; j0), следовательно, замкнутая система неустойчива.

62

11. Показатели качества

Если исследуемая АСР устойчива, то может возникнуть вопрос о том, насколько качественно происходит регулирование в этой системе и удовлетворяет ли оно технологическим требованиям. На практике качество регулирования может быть определено визуально по графику переходной кривой, однако имеются точные методы, дающие конкретные числовые значения. Количественное выражение характеристик качества регулирования называется показа-

телями качества.

11.1. Прямые показатели качества

Прямыми показателями качества называются показатели, которые можно определить непосредственно по динамической характеристике. К ним относятся: степень затухания , перерегулирование , статическая ошибка ест, период Т, время регулирования (время выхода на режим) tp и др.

Предположим, что переходная кривая, снятая на объекте, имеет колебательный вид, представленный на рис. 26.

Рис. 26. График переходной кривой

По переходной кривой определяется:

1. Установившееся значение выходной величины:

yуст lim y t .

t

63

2. Степень затухания определяется по формуле

1 A3 ,

A1

где А1 иА3 – соответственно1-яи3-я амплитуды переходнойкривой. 3. Перерегулирование по каналу «задание – регулируемая ве-

личина»:

A1 100 % ymax yуст 100 %,

yуст yуст

где ymax – максимум переходной кривой.

В случае получения переходной характеристики по каналу «задание – рассогласование» перерегулирование выражается как отношение амплитуд колебаний, направленных в разные стороны (например, второй амплитуды к первой):

A1 100 %.

A2

4.Статическая ошибка εст = u – ууст.

5.Время регулирования tp определяется следующим образом:

определяется допустимое отклонение и строится «коридор» шириной 2 . Время tp соответствует последней точке пересечения y(t) с данной границей. Другими словами, время, когда колебания регулируемой величины перестают превышать допустимое отклонение от установившегося значения. Обычно допустимое отклонение принимается равным 5 % от установившегося значения: = 5 % от ууст. Однако оно может быть и другим. Например, если ууст = 0, то допустимое отклонение принимается равным 5 % от амплитуды А1.

Оптимальные значения времени регулирования, времени достижения первого максимума, перерегулирования и статической ошибки соответствуют минимальным значениям (чем меньше, тем лучше). Степень затухания, наоборот, должна быть максимально большой ( max = 1).

64

11.2. Косвенные показатели качества

Косвенными показателями называются те, которые невозможно определить по динамической характеристике и для определения которых нужны дополнительные расчеты. Но в этом и заключается достоинство данных критериев: они не требуют построения переходной кривой. Однако информация для косвенных критериев на практике не всегда доступна (не всегда известна, например, передаточная функция рассматриваемого объекта). К косвенным показателям относятсякорневые, частотныеиинтегральные критериикачества.

11.2.1.Корневые показатели качества

Косновным корневым показателям относятся: степень колебательности m и степень устойчивости . Корневые показатели не требуют построения переходных кривых, поскольку определяются по корням характеристического полинома. Для этого корни полинома откладываются на комплексной плоскости и по ним определяются:

Степень устойчивости определяется как граница, правее которой корней нет, т.е.

min Re( pi ) ,

где Re(рi) – действительная часть корня рi. Пример определения степени устойчивости показан на рис. 27. Линии построения показаны пунктиром. Степень устойчивости на рисунке определяется по самым правым корням (корни р3 и р4).

Степень колебательности m рассчитывается через угол : m = tg( ). Для определения проводятся два луча, которые ограничивают все корни на комплексной плоскости; – угол между этими лучами и мнимой осью. Степень колебательности может быть определена также по формуле

m min Re( pi ) . Im( pi )

65

Рис. 27. Расположение корней характеристического уравнения на комплексной плоскости

Если в системе нет комплексных корней, т.е. все корни лежат на действительной оси, то колебательность в системе отсутствует и m = 90°. При наличии чисто мнимых корней система находится на границе устойчивости, для нее m = 0.

На рис. 27 степень колебательностиопределенапокорнямр1 ир2. Степень устойчивости и степень колебательности для «хорошей» системы должны быть максимально большими. Значения

m = 0 и = 0 соответствуют границе устойчивости.

11.2.2. Частотные показатели качества

Для определения частотных показателей качества требуется построение КЧХ разомкнутой системы и АЧХ замкнутой системы.

По КЧХ определяются запасы устойчивости по модулю и по фазе . Запас устойчивости по амплитуде определяется по точке пересечения КЧХ с отрицательной действительной полуосью

(рис. 28).

Для определения запаса устойчивости по фазе в частотной плоскости строится окружность единичного радиуса с центром в начале координат. Запас устойчивости по фазе определяется по точке пересечения годографа с окружностью единичного радиуса.

66

Рис. 28. КЧХ разомкнутой системы

По АЧХ замкнутой системы определяются показатели колебательности по заданию Мu и ошибке Мε как максимумы соответственно АЧХ по заданию и АЧХ по ошибке.

Для построения АЧХ по заданию необходимо определить передаточную функцию замкнутой системы по заданию Фu(p), сделать подстановку р = j и построить по ней АЧХ (рис. 29, а). Построение АЧХ по ошибке аналогично, но соответственно берется передаточная функция по каналу ошибки Фε(р) (рис. 29, б).

Значениям максимумов АЧХ соответствуют резонансные частоты u (для АЧХ по заданию) и ε (для АЧХ по ошибке).

К показателям колебательности, а также к запасу устойчивости по модулю предъявляются требования минимальности. Запас устойчивости по фазе, наоборот, должен быть максимально большим.

Рис. 29. АЧХ замкнутой системы

67

11.2.3. Интегральные показатели качества

Интегральные показатели качества определяются путем интегрирования некоторых функций (переходных процессов или других показателей качества). Разновидностью интегральных показателей качества является интегральный квадратичный критерий I0.

Если рассмотреть два переходных процесса в некоторой АСР (рис. 30), то визуально можно определить, что первый процесс обладает более высоким качеством. Численно это можно охарактеризовать площадью между соответствующей кривой и прямой y = yуст. Для первой кривой эта площадь (площадь S1) меньше, чем для второй (площадь S2), поэтому первый процесс лучше.

Рис. 30. Динамические характеристики системы

Данная площадь определяется как интеграл

S ( yуст y(t))dt

0

и может быть использована как интегральный показатель качества. Если в системе имеется статическая ошибка εст = u – ууст 0, то площадь S получается бесконечной. Для учета этого фактора интегрируется не сама ошибка, а ее переходная составляющая

I п (t)dt,

0

где εп – переходная составляющая ошибки, εп(t) = ε(t) – εуст.

68

Поскольку переходная составляющая на определенных интервалах времени может принимать отрицательные значения и, следовательно, вычитаться из интегральной величины, что приводит к неверному значению площади, чаще используется интегральный квадратичный критерий

I0 п2 (t)dt.

0

Контрольные вопросы

1.Структурная схема САР и назначение ее элементов.

2.Принципы управления, реализуемые САР.

3.Основные понятия и определения, связанные с САР.

4.Понятие передаточной функции.

5.Статические характеристики САР и ее элементов.

6.Динамические характеристики САР и ее элементов.

7.Частотные характеристики САР и ее элементов.

8.Типовые динамические звенья.

9.Соединение звеньев.

10.Понятие аппроксимации переходной характеристики.

11.Методы идентификации объекта управления с передаточной функцией, представленной в виде последовательного соединения апериодического звена первого порядка и звена запаздывания.

12.Идентификация объекта управления с передаточной функцией, представленной в виде последовательного соединения апериодического звена второго порядка и звена запаздывания.

13.Идентификация нейтральных объектов управления.

14.Типовые законы регулирования.

15.Определение оптимальных настроек регулятора.

16.Понятие устойчивости.

17.Алгебраические критерии устойчивости.

18.Частотные критерии устойчивости.

19.Показатели качества (прямые и косвенные).

69

Часть 2 ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАДАНИЯ

Задание № 1

По заданным дифференциальным уравнениям определить операторные уравнения при нулевых начальных условиях, передаточные функции, структурные схемы звеньев, характеристиче-

70