Тестовый контроль по математике учебно-методическое пособие
..pdf2) Дифференцируемая функция y = f (x) с не обращающейся в нуль на интервале (a;b) производной имеет одно-
значную непрерывную обратную функцию |
x = φ( y), |
которая |
|||||||||
также будет дифференцируема на интервале (a;b), |
причем |
||||||||||
x′y = |
1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
y′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3) В случае параметрического задания функции |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
x = x(t), |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t (α;β) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y = y(t) |
|
|
|
|
|
|
для производной |
y′ |
|
y′ |
|
yt′ |
. |
|
||||
|
|
|
|
||||||||
x имеет место формула |
x |
= x′ |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
4) Если |
y = f (x) – дифференцируемая функция, заданная |
|||||||||
уравнением F (x, f (x)) = 0, |
то производную |
f ′(x) можно найти |
|||||||||
из уравнения |
d |
[F (x, f (x))] = 0. |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
Другими словами, исходное уравнение необходимо продифференцировать, учитывая, что y является функцией от x, а из полученного равенства выразить y′.
4. Дифференциал функции
Функция y = f (x), определенная на интервале (a;b), называется дифференцируемой в точке x0 (a;b), если ее приращение ∆ f (x0 ), соответствующее приращению аргумента ∆ x, может быть представлено в виде
∆ f (x0 )= A ∆ +x α∆ x,
где А – число, не зависящее от ∆ x, а α = α(∆ x) – бесконечно малая функция при ∆ x→ 0.
91
Для того чтобы функция y = f (x) была дифференцируемой в точке х0, необходимо и достаточно, чтобы она имела в этой точке конечную производную. В этом случае A = f ′(x0 ).
Линейная, однородная относительно ∆х часть приращения функции y = f (x), взятого в точке x0 (a;b), называется дифференциалом данной функции в этой точке и обозначается
dy = A ∆ x= f ′(x0 ) ∆ x.
Если x независимый аргумент, то ∆х = dx, и, следователь-
но, dy = f ′(x)dx.
5. Производныеидифференциалывысшихпорядков
Если функция y′ = f ′(x) является производной для функции
y = f (x), то ее производная ( y′)′ = ( f ′(x))′ называется второй производной, или производной второго порядка от функции y = f (x),
иобозначается ( y′)′ = y′′, или ( f ′(x))′ = f ′′(x), или y′′ = |
d2 y |
. |
|||||
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
dx2 |
|
Аналогично определяются и обозначаются производные |
|||||||
любого порядка: |
|
|
|
|
|
||
( y′′)′ = y′′′ = |
d3 y |
, |
( y′′′)′ = y(4) = |
d4 y |
и т.д. |
||
|
dx4 |
||||||
|
dx3 |
|
|
|
|
||
Производнаяn-гопорядка y(n) = ( y(n−1) )′ = dn y . dxn
Дифференциалn-гопорядкаопределяетсятак: d(n) y =d(d(n−1) x).
6. Касательная и нормаль к плоской кривой
Если плоская кривая задана уравнением в декартовой системе координат, то уравнение касательной и нормали к ней в точке M (x0 , y0 ) имеют вид
92
y − y0 |
= f ′(x0 )(x − x0 ); y − y0 |
= − |
1 |
(x − x0 ). |
|
f ′(x0 ) |
|||||
|
|
|
|
||
Здесь f ′(x0 ) – значение производной функции |
y = f (x) в точ- |
||||
ке х0. |
|
|
|
|
|
Примеры тестовых заданий с решениями по теме «Производная функции одной переменной»
Примеры первого уровня сложности
Пример 1
Угловой коэффициент касательной к графику функции y = 3x2 + 2x +1, проведенной вточке с абсциссой x = 1, равен…
1)* 8; |
2) 6; |
3) –6; |
4) 2. |
Решение. Угловой коэффициент касательной к графику |
|||
функции y = f (x) в точке с абсциссой |
x0 равен y′(x0 ). Значит, |
||
y′(x) = 6x + 2, а |
y′(1) = 8. |
|
|
Ответ: 8. |
|
|
|
Возможные ошибки:
Неверное вычисление производной.
Пример 2
Угол, который образует с осью абсцисс касательная к графику функции y = −x2 + 3x + 5 в точке M (1, 7), равен…
1) |
3π |
; |
2) 0; |
|
3)* |
π |
; |
4) − |
π |
. |
|
|
|||||||||
|
|
|||||||||
4 |
|
|
|
4 |
|
4 |
|
|||
Решение. Тангенс искомого угла равен значению произ- |
||||||||||
водной функции |
−x2 + 3x + 5 |
в точке M с абсциссой x = 1, т.е. |
||||||||
tg α =1. Следовательно, α = |
π |
. |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|||||||
4
Ответ: π. 4
93
Возможные ошибки:
1.Неверно найдено значение производной.
2.Неверно по значению tg α найден угол α .
Пример 3
Если функции u(x) и v(x) дифференцируемы, то произ-
водная их произведения (u v)′ |
вычисляется по формуле… |
||||||||||||
1) u′v′ + uv ; |
|
2)* u′v + uv′ ; |
3) u′v′ ; |
4) u′v − uv′. |
|||||||||
Ответ: u′v + uv′. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Пример 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Производная функции y = x2 arctg x равна… |
|
|
|||||||||||
1)* 2x arctg x + |
|
x2 |
; |
2) 2x arctg x + x2 ; |
|
|
|||||||
|
+ x2 |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|||
3) |
x2 |
|
; |
|
|
|
|
|
4) 2x. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
1 + x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Решение. Используем формулу производной произведе- |
|||||||||||||
ния (uv)′ = u′v + uv′, |
где u = x2 , v = arctg x и таблицу производ- |
||||||||||||
ных. Тогда имеем (x2 arctg x)′ = 2x arctg x + x2 |
1 |
|
. |
||||||||||
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 + x2 |
|
|
|
Ответ: |
2x arctg x + |
|
x2 |
. |
|
|
|
|
|||||
|
+ x2 |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
||
Возможные ошибки:
1. Неверное использование формулы производной произ-
ведения. |
|
|
|
|
|
|
2. Незнание |
табличных |
производных |
(x2 )′ = 2x , |
|||
(arctg x)′ = |
|
1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
+ x2 |
|
|
|
||
1 |
|
|
|
|
||
94
Пример 5
Ответ, в котором указана неверная последовательность действий, это…
1)(2x −1)′ = (2x)′ −1′ = 2 x′ − 0 = 2 1 = 2;
2)((3x −1)2 )′ = 2(3x −1) (3x −1)′ = 6(3x −1);
3)* (sin2 x)′ = cos2 x 2cos x;
4) ( |
cos(−x) )′ |
= |
1 |
(cos(−x))− |
1 |
(−sin(−x)) (−1). |
|
2 |
|||||||
|
|||||||
|
|
2 |
|
|
|
||
Решение. Неверным является ответ 3), так как если воспользоваться формулой дифференцирования сложной функции
( y(u(x)))x′ = yu′ ux′ , где u = sin x, то верным будет решение
(sin2 x)′ = 2sin x cos x.
Ответ: 3).
Возможные ошибки:
Неусвоена формуладифференцирования сложной функции.
Пример 6 |
|
|
|
|
|
|
||||
Производная функции y = arcsin |
1 − 3x равна… |
|||||||||
1) |
1 |
(−3) ; |
|
|
|
−3 |
||||
|
|
|
2)* |
|
|
|
; |
|||
1 + 1 − 3x |
|
3x 2 1 − 3x |
||||||||
3) |
|
1 |
arcsin(1 − 3x); |
4) |
|
|
1 |
. |
|
|
|
2 |
|
|
1 |
− 3x |
|||||
Решение. Воспользуемся формулой дифференцирова- |
||||||||||
ния сложной функции |
( y (u(v(x)))) |
′ = yu′ uv′ vx′ , где u = v, |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x |
|||
v =1 − 3x.
95
Тогда
y′ = |
|
1 |
|
1 |
v′ = |
|
1 |
|
|
1 |
(−3) = − |
|
3 |
. |
|
− u2 2 v |
|
− (1 |
− 3x) 2 1− 3x |
2 3x |
|
||||||||
1 |
1 |
|
1− 3x |
|||||||||||
−3
Ответ: . 3x 2 1 − 3x
Возможные ошибки:
1.Неверная последовательность действий при дифференцировании сложной функции.
2.Ошибки в использовании таблицы производных.
Пример 7
Дифференциал функции y = cos 3x равен…
1)* −3sin 3xdx; |
2) sin 3xdx; |
3) sin x 3dx; |
4) −3sin 3x. |
Решение. Воспользуемся формулой для вычисления дифференциала dy = y′dx. Тогда dy = −sin 3x 3 dx.
Ответ: −3sin 3xdx .
Возможные ошибки:
1.Незнание формулы для вычисления дифференциала функции.
2.Ошибки в нахождении производной функции.
Пример 8
Производная функции |
y = cos t, |
равна… |
|
|||||||
|
|
3 |
− 3 |
|
||||||
|
|
|
|
x = t |
|
|
|
|
||
1) |
3t2 |
; |
2)* −sin t |
; |
3) |
cos t |
; 4) −sin t. |
|
||
−sin t |
t3 |
|
|
|||||||
|
|
3t2 |
|
|
|
|
|
|
||
Решение. Воспользуемся формулой для вычисления произ- |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y = y(t) |
, |
водной функции, заданной параметрически, т.е. если |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x = x(t) |
|
96
то |
y′ |
= |
yt′ |
. В нашем случае |
y′ |
= |
−sin t |
. |
|||
x′ |
3t2 |
||||||||||
|
x |
|
|
|
|
x |
|
|
|||
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: |
y′ |
= −sin t . |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
x |
3t2 |
|
|
|
|
|
Возможные ошибки:
1.Неверно использована формула для вычисления производной функции, заданной параметрически.
2.Неверно найдены производные yt′ , xt′ .
Пример 9
Вторая производная функции y = sin2 3x равна…
1) 3cos 6x; |
2) 18sin 6x; |
3)* 18cos 6x; |
4) 18x. |
Решение. Найдем первую производную и упростим ее: y′ = 2sin 3x cos 3x 3 = 3sin 6x. Затем найдем вторую производ-
ную: y′′ = 3cos 6x 6 =18cos 6x. Ответ: 18cos 6x.
Возможные ошибки:
Неверно найдена и не упрощена первая производная.
Пример 10
Четвертая производная функции y = ln x равна…
1) − |
1 |
; |
2) − |
2 |
; |
3) |
6 |
; |
4)* − |
6 |
. |
|
|
||||||||||
|
x2 |
|
|
x3 |
|
|
x4 |
|
|
x4 |
|
Решение. Найдем последовательным дифференцировани-
ем y′ = |
1 |
, |
y′′ = − |
1 |
, |
y′′′ = |
2 |
, |
yIV = − |
6 |
. |
x |
x2 |
x3 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x4 |
||||
Ответ: − 6 . x4
Возможные ошибки:
Ошибки в технике дифференцирования.
97
Примеры второго уровня сложности
Пример 11
Точка, принадлежащая графику функции y = −3x2 + 4x +1, касательная в которой перпендикулярна прямой x − 20 y + 7 = 0, имеет координаты…
1)* (4, −31); |
2) (4, −4); |
3) (−4,30); |
4) |
1 |
, 0 . |
|
|||||
|
|
|
|
4 |
|
Решение. Угловой коэффициент прямой равен 1 . По ус-
20
ловию перпендикулярности прямых угловой коэффициент касательной равен −20. Из геометрического смысла производной имеем −6x + 4 = −20, откуда x = 4. Подставляя x = 4 в уравнение параболы, имеем y = −31.
Ответ: (4, −31).
Возможные ошибки:
1.Незнание условия перпендикулярности прямых.
2.Незнание геометрического смысла производной.
Пример 12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Производная функции y = tg2 (3x5 − |
7) равна… |
||||||||||
1) |
15x |
4 |
; |
2) 2 tg(3x |
5 |
); |
3)* |
30x4 |
tg(3x5 − |
7 ) |
; |
cos2 |
|
|
cos2 (3x5 − |
7 ) |
|||||||
|
x |
|
|
|
|
|
|||||
4) другой ответ.
Решение. Применяем формулу производной сложной функции: сначала берем производную от степенной функции u2
по промежуточному аргументу tg2 (3x5 − |
7 ) = u , затем умножа- |
|||||||||||
ем на производную от u по аргументу |
(3x5 − |
7 ) и, наконец, |
||||||||||
умножаем |
на |
производную |
от v = (3x5 − |
7 ) |
|
по x. Итак |
||||||
y′ |
y′ u′ |
v′ , |
. . y′ |
= |
2 tg(3x5 |
− |
7 ) |
|
1 |
|
|
15x4 . |
|
|
|
|
|||||||||
x = |
u v |
x |
т е |
|
|
cos2 (3x5 − |
7 ) |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
98
Ответ: |
30x4 tg(3x5 − |
7 ) |
. |
|
cos2 (3x5 − |
7 ) |
|||
|
|
Возможные ошибки:
1.Неумение анализировать структуру сложной функции.
2.Неумение воспользоваться формулой дифференцирования сложной функции.
Пример 13
Дифференциал функции yex + y3 = 0 равен…
1)* − |
|
y ex |
dx; 2) |
− |
yex + 3y2 |
dx; 3) − |
y3 |
dx; 4) − |
3y2 |
dx. |
|
|||
|
ex + 3y2 |
|
|
ex |
|
ex |
|
ex |
|
|||||
Решение. Прежде найдем производную неявной функции |
||||||||||||||
y ex + y3 = 0. |
Имеем y′ex |
+ yex + 3y2 y′ = 0. |
Тогда y′ = − |
|
yex |
. |
||||||||
ex + 3y2 |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Для нахождения дифференциала умножим найденную производную на dx.
Ответ: − yex dx. ex + 3y2
Возможные ошибки:
1.Ошибки в правилах дифференцирования.
2.Неверно выражена y′ из равенства.
Пример 14 |
|
|
|
Общий вид производной n-го порядка |
для функции |
||
y = 32 x равен… |
|
|
4) (32 x )n 2n. |
1) 32n 2n ; 2)* 32 x lnn 3 2n ; |
3) 2x 32 x −n ; |
||
Решение. Последовательно находим |
y′ = 32 x ln 3 2, затем |
||
y′′ = 32 x ln 3 2 ln 3 2 = 32 x ln2 3 22 , |
затем |
y′′′ и уясняем зако- |
|
номерность для y(n) = 32 x lnn 3 2n. |
|
|
|
Ответ: 32 x lnn 3 2n. |
|
|
|
99
Возможные ошибки:
1. Неверно выполнено дифференцирование.
2. Не уяснена закономерность в последовательности y′, y′′, y′′′, …
Примеры третьего уровня сложности
Пример 15
|
Значение дифференциала функции |
y = ln(1 + ex ) + |
9 |
|
||||||||||||
|
1 + 4x2 |
|
||||||||||||||
при x = 0, |
|
∆ x= |
|
0, 4 |
равно… |
|
|
|
|
|||||||
|
1) 0,1; |
|
|
2)* 0,2; |
3) 0,5; |
4) –0,2. |
|
|
||||||||
|
Решение. Воспользуемся формулой для вычисления |
|||||||||||||||
дифференциала |
функции |
dy = y′ ∆ x. |
В |
нашем |
случае |
|||||||||||
|
|
ex |
|
|
|
9 |
8x |
|
|
|
Тогда при x = 0, |
∆ x= 0, 4 |
имеем |
|||
dy = |
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
∆ x. |
|||||
1 + e |
x |
|
+ |
4x |
2 |
) |
2 |
|||||||||
|
|
(1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
dy = 0, 2.
Ответ: 0,2.
Возможные ошибки:
1.Неверное использование формулы для вычисления дифференциала функции.
2.Неверно проведено дифференцирование функции.
3.Ошибки при числовых вычислениях.
100