Физика сборник олимпиадных задач с примерами их решений

Первый тур (2008 г.)

1. Шар В, движущийся со скоростью 2,6 м/с по гладкой плоскости, абсолютно упруго сталкивается с точно таким же покоящимся шаром А. На рис. 1 точки А, А1, В1 определяют положения центров шаров: А – первого шара в начальный момент времени, А1 и В1 – первого и второго шара в некоторый момент времени после соударения. Определить скорость шара В после соударения.

2. В длинной вертикальной цилиндрической трубке, закрытой с нижнего конца, может ходить без трения поршень, масса М которого велика по сравнению с массой газа, заключенного внутри трубки. В положении равновесия расстояние между поршнем и дном трубки равно l0. Определить период малых колебаний, которые возникнут при отклонении поршня от положения равновесия, в предположении, что они являются изотермическими, а газ идеальным. Площадь поперечного се-

чения трубки равна S, нормальное атмосферное давление – Р0. Рассмотреть предельный случай, когда Р0 = 0.

3. Невесомый стержень с шариком на верхнем конце начинает падать из вертикального положения без начальной скорости. Нижний конец стержня упирается в уступ (рис. 2). Какой угол с вертикалью будет со-

11

ставлять скорость шарика в момент удара

огоризонтальную поверхность?

4.По горизонтальным параллель-

ным рельсам, расстояниемежду которыми равно d, может скользить без трения перемычка, масса которой равна m (рис. 3). Рельсы соединены резистором с сопро-

тивлением R и помещены в вертикальное магнитное поле, индукция которого – В. Перемычке сообщают скорость υ0. 1) Найти путь, пройденный перемычкой до остановки. 2) Найти время, за которое скорость перемычки уменьшится в е раз.

5. С южного и северного полюсов Земли одновременно стартуют две ракеты с одинаковой начальной скоростью υ0 = 10 км/с вгоризонтальном направлении противоположно друг другу. При этом их эллиптические орбиты лежат в одной плоскости. Чему равномаксимальное удаление ракет друг отдруга?

Первый тур (2009 г.)

1.Физический маятник отклонили на угол 60° от положения равновесия и отпустили с нулевой начальной скоростью. Когда маятник проходил положение равновесия, его угловая скорость была равна 2π рад/с. Определить период малых колебаний этого маятника.

2.Длинная жесткая доска может свободно вращаться вокруг оси, делящей ее длину в отношении 1:2. На длинный конец

доски с высоты h = 1,5 м прыгает мальчик, масса которого m = 40 кг. На коротком плече стоит мужчина массой М = 80 кг. На какую высоту подбросит мужчину доска после прыжка мальчика? Массой доски пренебречь. Доска расположена невысоко над полом.

3. Известно, что компрессор домашнего холодильника периодически включается и выключается. Оцените соотношение

12

времен работы и паузы компрессора, если известно, что его мощность Р = 100 Вт, через стенки холодильника за час проходит количество теплоты Q = 1 МДж, температура в помещении, где стоит холодильник t1 = +20 °C, температура внутри холодильника t2 = +3 °С.

4. Тонкий стержень массой m и длиной l положили на горизонтальную поверхность и закрепили на вертикальной оси, проходящей через центр стержня. Коэффициент трения стержня о поверхность равен µ. Одному из концов стержня сообщили скорость υ (рис. 1). 1) Определить работу силы трения, совершаемую за время уменьшения скорости конца стержня в 2 раза. 2) Определить полное время торможения стержня

и число оборотов за время торможения. 3) В какой точке сила натяжения стержня при вращении будет максимальной? Найти эту силу в начальный момент вращения стержня.

5. На расстоянии r от точечного заряда Q находится центр нейтральной металлической гантельки (очень тонкого стержня с двумя небольшими шариками на концах). Длина гантельки l<<r. Ось гантельки располагается вдоль прямой, соединяющей ее центр с точечным зарядом. 1) Объяснить, почему гантелька будет притягиваться к заряду.

2) Как сила взаимодействия заряда и гантельки будет зависеть от расстояния r? 3) Оценить силу притяжения гантельки к заряду. Сделать расчет исходя из следующих данных: Q = 1 мкКл, r = 20 см, l = 0,5 см.

13

2. ВАРИАНТЫ ЗАДАНИЙ ВТОРОГО ТУРА (КРАЕВЫХ СТУДЕНЧЕСКИХ ОЛИМПИАД)

Второй тур (2007 г.)

1. Два катера вышли одновременно из пунктов А и В, находящихся на противоположных берегах реки, и двигались по прямой АВ, длина которой l (рис. 1). Прямая АВ образует угол α с направлением скорости течения υ. Скорости движения катеров относительно воды одинаковы. На каком расстоянии от пункта В произошла встреча катеров, если они

встретились через время t после отхода от причалов.

2.Бусинка находится в наинизшей точке вертикально расположенной неподвижной шероховатой окружности радиуса R. Какую минимальную скорость надо сообщить бусинке, чтобы она достигла горизонтального диаметра окружности? Коэффициент трения равен k.

3.На гладком горизонтальном столе лежит однородный твердый стержень длиной l и массой М, в край которого ударяет

твердый шарик массой m, движущийся со скоростью υ0, перпендикулярной к оси стержня. Считая удар идеально упругим ипредполагая, что силы трения между поверхностью стола

илежащими на ней телами пренебре-

жимо малы, вычислить угловую скоростьвращения стержня послеудара.

4. С какой частотой ω 0 будет со-

вершать малые вертикальные колебания в поле тяжести груз массой m, подве-

14

шенный на двух одинаковых пружинах жесткостью k, образующих вравновесииуглы β свертикалью(рис. 2).

противлением F = −γ υG. Найти скорость частицы вдоль поля E , усредненную по периоду.

Второй тур (2008 г.)

1. В данной плоскости движутся две точки: точка 1 движется по прямой с постоянной скоростью υ1, а точка 2 – с постоянной по модулю скоростью υ2, направленной все время на точку 1. Найти траекторию точки 2 и «координату встречи» 1 и 2. Считать, что в момент времени t = 0 расстояние между точками y0 и υG1 υG2 .

2.Капля воды движется в однородном поле тяжести в среде, в которой за счет конденсации происходит увеличение массы капли, пропорциональное ее поверхности. Найти скорость капли в зависимости от времени, если в начальный момент времени капля была неподвижна, а ее масса равнялась m0.

3.Сплошной однородный цилиндр, ось которого горизонтальна, движется без вращения по гладкой горизонтальной плоскости в направлении, перпендикулярном к его оси. В некоторый момент цилиндр достигает границы, где поверхность становится шероховатой и возникает постоянная (не зависящая от скорости) сила трения скольжения, а трение качения отсутствует. Каково будет движение цилиндра после перехода границы? Как распределится кинетическая энергия поступательного движения цилиндра?

4.Оценить по порядку величины установившуюся скорость,

скоторой будет двигаться в сильно разреженном воздухе плоский

диск, одна из сторон которого нагрета до температуры Т1, а другая – до температуры Т2, Т2 < Т1. Температура воздухаравнаТ.

15

5. Электронно-лучевая трубка помещена в однородное магнитное поле, напряженность Н которого перпендикулярна плоскости экрана. Электроны влетают в электронно-лучевую трубку из электронной пушки с составляющей скорости υ вдоль оси трубки и составляющей скорости υ0, перпендикулярной оси. При какой длине L трубки все электроны фокусируются в одной точке экрана?

Второй тур (2009 г.)

1.Самолет в безветренную погоду взлетает со скоростью υ

под углом к горизонту α0. Внезапно начинает дуть горизонтальный встречный ветер, скорость которого u. Какой стала скорость самолета относительно земли и какой угол составляет она

сгоризонтом?

2.Невесомый стержень длиной L с двумя шариками на концах с массами m и 3m находится на гладкой горизонтальной плоскости. Шарику массой m резко сообщают скорость υ в направлении, перпендикулярном стержню. Какова сила натяжения стержня? Как изменится ответ, если скорость υ сообщить шарику массой 3m? Какая часть энергии перейдет в кинетическую энергию вращательного движенияв первом и вовторомслучаях?

3.Шарик радиусом R массой m подвешен на тонкой нерастяжимой нити длиной L в среде с вязкостью η. Предполагая справедливым закон Стокса, рассчитать среднюю мощность диссипативной силы для случая слабо затухающих линейных колебаний шарика в вертикальной плоскости.

4.Каково должно быть максимальное значение темпера-

турного градиента dT атмосферного воздуха, чтобы он мог на- dz

ходиться в устойчивом механическом равновесии? Воздух считать двухатомным газом с относительной молекулярной массой µ. Ускорение свободного падения не зависит от высоты над поверхностью земли.

16

5. Медная монета массой m, радиусом R и толщиной d движется в поле силы тяжести в горизонтальном однородном магнитном поле с индукцией В (рис. 1). Найти ускорение aG монеты.

Избранные задачи второго тура (2003–2006 гг.)

1.Четыре черепахи находятся в вершинах квадрата со стороной а. Они начинают двигаться одновременно с постоянной скоростью υ. Каждая черепаха движется по направлению

ксвоей соседке по часовой стрелке. Где встретятся черепахи и через какое время? Найти угол между скоростью движения черепахи и одной из сторон квадрата как функцию ее коорди-

натϕ = ϕ (x, y) (2003).

2.Обруч радиусом R бросают вперед со скоростью υ0 и сообщают ему одновременно угловую скорость ω0. Определить минимальное значение угловой скорости, при котором обруч после движения с проскальзыванием покатится назад. Найти

значение конечной скорости υ, если ω0 > ω0min. Трением качения можно пренебречь (2003).

3.Лента горизонтального транспортера движется со скоростью υ. На ленту, касаясь ее, влетает шайба с начальной ско-

ростью υ0, перпендикулярной краю ленты. Найти ширину ленты, при которой шайба остановится на ее краю, если коэффициент трения между шайбой и лентой

µ(2004).

4.Двум дискам радиусами R1 и R2 сообщили одну и ту

же угловую скорость ω 0 (рис. 1),

17

а затем их привели в соприкосновение, и система через некоторое время пришла в новое установившееся состояние движения. Оси дисков неподвижны, трения в осях нет. Моменты инерции относительно их осей вращения равны I1 и I2. Найти приращение момента импульса системы и приращение ее механической энергии (2004).

5. Бесконечно длинная цилиндрическая поверхность круглого сечения заряжена равномерно по длине с поверхностной плотностью σ = σ 0cosθ , где θ – полярный угол цилиндрической системы координат, ось z которой совпадает с осью данной поверхности. Найти модуль и направление напряженности электрического поля на оси z (2004).

6. В длинной теплоизолированной трубе между двумя одинаковыми поршнями массой m находится 1 моль одноатомного газа при температуре T0 (рис. 2). В начальный момент скорости поршней направлены в одну сторону и равны 3υ и υ.

До какой максимальной температуры нагреется газ? Поршни тепло не проводят. Массой газа по сравнению с массами поршней пренеб-

речь (2004).

7. Металлический стержень массой m и длиной L подвешен горизонтально на двух легких проводах длиной l в магнитном поле, индукция которого B направлена вертикально вниз (рис. 3). К точкам крепления проводов подключен конденсатор емкостью С. Стержень вывели из положения равновесия и отпустили. Определить период малых колебаний стержня T. Сопротивлением стержня и проводов пренебречь

(2004).

8. Между двумя неподвижными муфтами может без трения перемещаться вверх и вниз стержень, масса которого m. Стержень нижним концом касается гладкой поверхности клина

18

массой М (рис. 4). Клин лежит на гладком горизонтальном столе. Определить ускорение клина и стержня (2005).

9. Расположенный горизонтально цилиндрический сосуд объемом V, заполненный идеальным газом, разделен поршнем массой m, который может двигаться без трения.

В равновесии поршень находится посередине цилиндра. При малых смещениях из положения равновесия поршень совершает колебания. Найти зависимость частоты ω этих колебаний от температуры Т, считая процесс изо-

термическим (2005).

10. Магнетрон – это прибор, состоящий из нити накала радиуса а и коаксиального цилиндрического анода радиусом b, которые находятся в однородном магнитном поле, параллельном нити. Между нитью

ианодом приложена ускоряющая разность потенциалов U. Найти минимальное значение индукции B магнитного поля, при котором электроны, вылетающие с нулевой начальной скоростью из нити, не будут достигать анода (2005).

11.Лягушка массой m сидит на конце доски массой М

идлиной L. Доска плавает по поверхности пруда. Лягушка прыгает под углом α к горизонту вдоль доски. Какой должна быть начальная скорость лягушки, чтобы она оказалась после прыжка на противоположном конце доски? Как изменится ответ, если: а) доска и лягушка сносятся течением со скоростью υ и лягушка прыгает по направлению против течения; б) доска испытывает при своем движении постоянную силу сопротивления F воды

(2006).

19

12. В тонкой трубке может скользить без трения веревка длиной L (рис. 5). В начальный момент времени веревка находится в левом колене. Определить период колебаний Т веревки. Жесткостью веревки на изгиб пренебречь. Каким будет период колебаний Т1, если расстояние между вертикальными коленами трубки увеличить с L до 2L (2006)?

3.ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ПРИМЕРЫ ЗАДАЧ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ОЛИМПИАДАМ

Приведем еще ряд примеров для подготовки студентов к олимпиадам по физике. Уровень сложности задач, предлагающихся на первом, втором, третьем (зональном) и четвертом (всероссийском) турах в среднем последовательно растет, но не имеет четких границ. Поэтому отдельные задачи и вопросы, рассматриваемые ниже, можно встретить и на олимпиадах среди студентов технических вузов третьего и четвертого туров.

1.В тот момент, когда начинается свободное падение тела, человек бросает камень, стремясь попасть в падающее тело. Какой должна быть для этого начальная скорость камня (угол

сгоризонтом и модуль), если тело перед падением находилось на высоте h и на расстоянии L от человека?

2.Капля начинает падать под действием силы тяжести в облаке мелких, почти неподвижных капелек. Ее радиус растет за счет абсолютно неупругих соударений с этими капельками. Вывести кинематические уравнения движения капли, считая, что начальный радиус капли очень мал.

3.Тонкий стержень массой М и длиной L свободно падает в вертикальной плоскости из начального положения, в котором угол стержня с горизонтальной плоскостью составлял 30°. Оп-

20