- •Свойства скалярного произведения
- •Свойства векторного произведения
- •Вариант 4
- •Варианты аудиторной самостоятельной работы по теме «Векторная алгебра»
- •Вариант 1
- •Вариант 2
- •Вариант 3
- •Вариант 4
- •Вариант 1
- •Вариант 2
- •Вариант 9
- •Вариант 10
- •Вариант 11
- •Вариант 13
- •Вариант 15
- •Вариант 17
- •Вариант 19
- •Вариант 21
- •Вариант 24
- •Вариант 27
- •Вариант 28
- •СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
- •ОГЛАВЛЕНИЕ
- •Гусаренко Елена Леонардовна Майзелес Софья Беньямнновна
- •ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА
Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования
«Пермский государственный технический университет»
Е Л . Гусаренко, С.Б. Майзелес
ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА
Утверждено Редакционно-издательским советом университета
в качестве учебно-методического пособия
Издательство Пермского государственного технического университета
2006
Составители Е.Л. Гусаренко, С.Б. Майзелес
УДК 514.742.2(075.8) Г961
Рецензенты:
канд. физ.-мат. наук, доцент Е.Г Цыпова\ канд. физ.-мат. наук, доцент Г.А. Маланьина
Гусаренко, Е.Л.
Г961 Векторная алгебра учеб.-метод. пособие / Е.Л. Гуса ренко, С.Б. Майзелес. - Пермь: Изд-во Перм. гос. техн. ун та, 2006. - 63 с.
ISBN 5-88151-539-0
Приводятся основные определения векторной алгебры, опреде ляются линейные операции над векторами (сложение и умножение вектора на число), рассматриваются нелинейные операции (скалярное, векторное и смешанное произведение векторов). Приводятся примеры решения задач по каждой теме. Предлагаются варианты контрольных работ и индивидуальных заданий разного уровня сложности.
Предназначено для студентов первого курса технических специ альностей...
УДК 514.742.2(075.8)
© ГОУ ВПО «Пермский государственный технический университет», 2006
В математических моделях, описывающих разнообразные процессы в природе, технике, экономике и в других областях, встречаются величины двух видов - скалярные и векторные. Скалярной величиной называется величина, которая полностью определяется числом. Например, масса тела, длина, объем, тем пература, энергия, плотность. Для однозначного определения векторной величины числовой характеристики недостаточно, необходимо задать еще и направление. Например, сила, ско рость, ускорение - это векторы.
Понятие вектора используется в различных разделах выс шей математики: в аналитической геометрии - направляющий вектор прямой, нормальный вектор к плоскости; в теории функ ций нескольких переменных - вектор-градиент; в теории поля - ротор, дивергенция; в теории дифференциальных уравнений - поле направлений, поэтому изучение векторов и их свойств важно для студентов технических специальностей.
1. ОСНОВНЫ Е ОПРЕДЕЛЕНИЯ И СВОЙСТВА ВЕКТОРОВ
Определение. Вектором называется отрезок, имеющий определенную длину и определенное направление в пространст ве. То есть, вектор - это направленный отрезок.
Обозначается вектор либо одной буквой: а , либо двумя:
А В , где точка А - это начало вектора, точка В - конец вектора.
А г |
В |
->
У
х
Координаты вектора равны разности соответствующих координат конца вектора и начала вектора:
АВ = {х2 - *i;Уг ~ У \ V ~ *\} = {*. У, А |
( 1) |
Длина вектора равна расстоянию между началом и концом
вектора: |
|
\а = АВ = у1(х2~ Х)У +(У2~У\)2 +(z2 |
~ zl)2 =^X2 + y2 +Z2 (2) |
Определение. Направляющими |
косинусами вектора |
а= {x,y,z} называются косинусы углов, образованных вектором
ас осями координат:
X |
- у |
Z |
cosa = 7r7, |
cosP = rq, cosy = Tq-, |
|
\a\ |
\a\ |
\a\ |
где a = Z(a,ox), P = Z{a,oy\ у = Z(a,oz).
Направляющие косинусы вектора обладают свойством:
л |
л |
л |
cos a + cos |
р + cos |
у = 1. |
Пример 1. Дан вектор |а| = {3;4;0}. Вычислить длину век
тора а и направляющие косинусы.
Решение. |5| = л/з2 + 42 + О2 = 425 - 5; |
cos a = —; |
cosp = —; |
11 |
5 |
5 |
cosy - 0. |
|
|
Пример 2. Даны точки А (3; -1;2) и В (4; 1; 4). Вычислить
координаты вектора А В , его длину и направляющие косинусы.
Решение. АВ = {4 - 3;) - (-1); 4 - 2} = {1; 2; 2}.
АВ = л/12 + 22 + 2 2 л/9 = 3 .
1 |
о 2 |
2 |
cos a = —; |
cosp = —; |
cosy = —. |
3 |
3 |
3 |
Определение. Два вектора называются равными, если дли ны векторов равны; векторы параллельны, то есть расположены
на одной прямой или на параллельных прямых; векторы направ лены в одну сторону.
Из определения следует, что векторы можно перемещать в пространстве, параллельно самим себе.
Равные векторы имеют равные соответствующие коор динаты:
а = Ь с э х а = xb\y a =yb\za = zb,
где a = {xa-,ya;za}, b = {xb;yb;zb)
Определение. Два вектора называются коллинеарными, ес ли они расположены на параллельных прямых.
Коллинеарные векторы могут быть направлены или в одну сторону, или в противоположные стороны.
Признак коллинеарности векторов:
aw о Ха_= Уа_ = £а_
ХЬ УЬ |
2 Ь ’ |
ПримерЗ. Векторы 5 = {1; —2; 3} |
и Ь={ 2 ;-4 ;б } колли- |
неарны, так как их соответствующие координаты пропорцио нальны:
|
|
\_ |
- 2 |
3 |
_ |
|
|
2 |
- 4 |
= —=> аIЪ |
|
|
|
6 |
|
||
Коэффициент пропорциональности —. |
|||||
Пример 4. Векторы |
а = {5; 1; l} |
и Ь = {4; 5; 3} не коллине- |
|||
5 |
1 |
1 |
|
|
|
арны, так как — ^ —* —.
к4 5 3
Определение. Векторы называются компланарными, если они принадлежат параллельным плоскостям или лежат в одной плоскости.
Определение. Проекцией вектора АВ на ось I называется
длина отрезка АХВХ этой оси, заключенного между проекциями
Ах и Вх его начальной точки А и конечной точки В, взятая со
знаком «+», если направление А\В\ совпадает с направлением оси /, и со знаком «-», если эти направления противоположны.
Проекция вектора обозначается так: А,В{ = пр,А В .
Свойства проекций
1. Проекция вектора на ось равна произведению длины век тора на косинус угла между вектором и осью:
пр/ АВ = АВ cos а .
2. Проекция суммы векторов равна сумме проекций этих векторов:
пр/(а + й)= пр/З + пр/Ь
3. Пусть X - число, тогда
пр/Х-а = Х-пр/3.
Координаты вектора |
a = {x;y;z} - |
это проекции вектора а |
на оси координат. |
|
|
Пример 5. Найти проекции вектора <з = {7;-1;2} на оси |
||
координат. |
|
|
Решение. проха = 7; |
пр0>,5 = -1; |
прогй = 2. |
2. Л И Н ЕЙ Н Ы Е ОПЕРАЦИИ НАД ВЕКТОРАМ И
Определение. Линейными операциями над векторами на зываются операции сложения, вычитания векторов и умножения вектора на число.
I. Сумма векторов
Определение. Суммой двух векторов а и Ь называется
третий вектор с = а + Ь , который можно найти по правилу па раллелограмма (рис. 1) или по правилу треугольника (рис. 2).
По правилу параллелограмма суммарный вектор с = а + Ь
выходит из общего начала векторов а и Е и направлен по диа
гонали параллелограмма, сторонами которого являются векторы
а и Ъ (см. рис. 1). Это правило основано на известных законах сложения векторов (сил, скоростей, ускорений и т.д.) в физике.
Ь
Рис. 1 |
Рис. 2 |
По правилу треугольника суммарный вектор 5 = 5 + 6 идет |
|
из начала вектора 5 |
в конец вектора 6 , при условии, что начало |
вектора 6 совпадает с концом вектора 5 (см. рис. 2).
Сложение векторов удовлетворяет переместительному за кону:
5 + 6 = 6 + 5
и сочетательному закону:
При сложении нескольких векторов удобно пользоваться правилом замыкания. По правилу замыкания суммарный вектор направлен из начала первого слагаемого вектора в конец послед него слагаемого вектора при условии, что начало каждого сле дующего слагаемого совпадает с концом предыдущего (рис. 3).
с = ех+ е2 + е3 + е4 + е5
Рис. 3
Пусть векторы а и b заданы своими координатами: |
|
|||
5 = {x,;^;z,}, |
b= {x2;y2,z2}. |
|
||
Тогда а + b = {х{ +х2; у{ + у 2; z, +z2}. |
|
|
|
|
Пример. Даны векторы а = {1; - 2; -1}, |
b = {- 3; 4; 2}. Най |
|||
ти координаты вектора a + b = {xt +x2; у { + у 2; z, + z2}• |
|
|||
Решение, а + b = {l + ( - 3), |
- 2 + 4; -1 + 2} = {- 2; 2; l} |
|
||
II. Произведение вектора на число. |
|
|
|
|
Определение. Произведением вектора |
а(а + 0)на |
число |
||
Х(Х * О) называется вектор г =Ха, коллинеарный вектору |
а , с |
|||
направлением в ту же сторону, если X > 0; |
и в противополож |
|||
ную сторону, если X < 0. Если |
А. = 0, то Х а - 0 |
нулевой вектор. |
||
Примеры |
|
|
|
|
Если |А| > 1, то длина вектора Ха увеличивается по сравне нию с длиной вектора а в |А.| раз (рис. 4). Если |А.| < 1, то длина
вектора Ха уменьшается в |А. раз (рис. 5, рис. 7). Произведение
вектора на число удовлетворяет законам:
1.Ха = аХ.
2.(Х +р)5 = Xa + \ia.
3.А,(а + &)= Ха + ХЬ.
4.(А.5)-л = (А.-л)о
Пусть вектор Я направлен так же, как вектор 5 , и имеет единичную длину |Я| = 1. Тогда а = |а| • Я .
Пусть вектор 5 задан координатами: 5 = { xx\y x\z x)\ тогда
координаты вектора Xа будут пропорциональны координатам вектора 5 с коэффициентом пропорциональности X :
|
Ха = {Хх\ Ху\Xz}. |
(5) |
Пример. Дан вектор а = {0; - 3; 4}. Найти координаты век |
||
торов |
25, -3 5 , -^5. Вычислить длины |
этих векторов и срав |
нить их с длиной вектора 5 . |
|
|
Решение. |
|
|
1. |
По формуле (5) вычислим координаты векторов: |
|
|
25 = {0;-6;8}; - 3 5 = {0;9;-12}; |
i a = j o ; - | ; 2 j . |
2. |
По формуле (2) вычислим длины векторов: |
|
|
|5| = VO2 + ( - 3 ) 2 + 4 2 =V 9 + 1 6 = V 2 5 = 5 , |
|2a| = -Jo2 + (- б )2 + 82 =л/36 + 64=> Я 00= |
10, |
|-3 5 | = ^ 0 2 + 9 2 + (-12)2 =V81 + 144=V225 |
=15, |
3. |
Сравним длины векторов: |
|
|
|
||||
1) |
|25| = 10 = 2 • 5 = 2 • |5 |, то есть |25| |
больше |<з| |
в 2 раза. |
|||||
2) |
|-З я | = 15 = 3-5 = 3-|а| = |- 3 |-|а |,т о |
есть |
|—35| |
больше |5| |
||||
в |- 3| = 3 раза. |
|
|
|
|
|
|
||
3) |
1 - |
5 |
1м |
, то есть |
1 _ |
|
в 2 раза. |
|
—а |
= — = — а |
—а меньше |5| |
||||||
|
2 |
2 |
2 |
1 |
2 |
|
|
|
III. Разность векторов.
Определение. Разность двух векторов а - Ь определяется по правилу параллелограмма (рис. 8) или по правилу треуголь ника (рис. 9) через операции сложения и умножения на -1
a - b = а + ( - l )-Ь
Рис. 8
Таким образом, разность двух векторов а - Ь - это вектор,
который в сумме с вектором Ь дает вектор а . Разность двух векторов удовлетворяет законам:
1.(а ~ ь)~ с - а ~{ь +с).
2.А.(а -Ь ^ -Х а -Х Ь
Пусть векторы а и Ь заданы координатами:
5 = |
Ь = { х 2\ у г \ г г }, |
тогда
5 - Ь = { х 1- х 2\ у 1- у 2\ z , - z 2j.
Пример. Даны векторы а = {5; 1; 3} и Ь = {4; 2; - 1}. Найти
координаты и длины векторов (а - б) и (b - а).
Решение.
1. |
5 - 6 |
= { 5 - 4 ; 1 -2 ; 3 - ( - 1)}= {1; - 1; 4>. |
|
2. |
|a -fe | = -y/l2 + ( - l) 2 + 4 2 = Vl + l + 16 = Vl8 = 3> /2 . |
|
|
3. |
6 - 5 |
= { 4 - 5 ; 2 -1 ; —1 —3} = {—1; 1; —4}. |
|
4. |
6 - 5 |
= V (-l)2 + l2 + ( - 4 )2 =Vl + l + 16= V l8= 3V |
2 |
Таким образом, векторы ( а - б ) и ( б - 5 ) имеют одинако
вую длину и направлены противоположно.
Пример. Дан треугольник с вершинами А, В и С. Сторону Л5 точками М w N разделили на три равные части. Найти вектор
СМ , если СА - а, СВ =6.
Решение. |
В |
|
1. |
По |
правилу треуголь |
ника |
|
|
АВ = СВ -СА = Ь - а |
||
2. |
Так как по условию |
то
6 - 5
3
3. По правилу треугольника сложения двух векторов
25 + 6
CM = СА + AM = 5 + - — —
33
3.БАЗИС
Определение. Линейной комбинацией векторов et,e2,
..., ё„ называется сумма произведений векторов на числовые коэффициенты:
П
a i<?i + а 2ё2 + —+ <*„«#» = 2 > А , /=]
где а, = const, i = 1,Я.
Определение. Векторы ёи е2,:;ё„ называются линейно
независимыми, если их линейная комбинация может быть равна нулю только при условии равенства нулю всех числовых коэф фициентов:
П
Х а , е , = 0 о а , = а 2 =... = <хл =0.
/=1
Для линейно независимых векторов верны следующие ут верждения:
1.Любые два неколлинеарные векторы линейно независимы.
2.Любые три некомпланарные векторы линейно неза висимы.
3.Если векторы линейно независимы, то не один из них не может быть представлен в виде линейной комбинации осталь ных векторов.
Определение. Векторы еъ ег^..^еп называются линейно зависимыми, если существует линейная комбинация этих векто ров, равная нулю, в которой хотя бы один коэффициент а , от личен от нуля.
Для линейно зависимых векторов верны следующие утвер ждения:
1. Система векторов е,,е2,...,ея , содержащая два коллинеарных вектора, линейно зависима.
2.Система векторов, содержащая нулевой вектор, линейно зависима.
3.Система векторов линейно зависима, если какой-либо один вектор из этой системы можно представить в виде линей ной комбинации остальных векторов.
4.Любые три вектора на плоскости линейно зависимы.
5.Любые четыре вектора в трехмерном пространстве ли нейно зависимы.
Определение. Базисом называется упорядоченная система линейно независимых векторов.
Пример 1. Любые два неколлинеарных вектора а, В, взя
тых в определенном порядке, образуют базис |
в двухмерном |
|
•у |
9 |
можно предста |
пространстве R |
Любой третий вектор с е R |
|
вить в виде линейной комбинации векторов а и В |
||
|
С = СШ + |
(6) |
Зная координаты векторов а, В, с , можно найти коэффици енты а и р .
Для этого нужно векторное равенство (6) записать по коор динатам
(7)
Ус=а -Уа+$Уь
и решить систему двух уравнений с двумя неизвестными а , Р .
Так как векторы а и В линейно независимы, то система (7) имеет единственное решение.
Равенство (6) называется разложением вектора с по произ вольному базису а, В (или по векторам а и В ).
Пусть даны векторы а = {J; 2}, В - {3; - 1}, с = {1; 9}. Разло
жить вектор с по базису а,В Решение. Запишем систему (7):
(а + ЗР = 1,
|2 а - р = 9.
Решением системы являются числа а = 4, Р = -1 .
Запишем искомое разложение по базису (6): с = 4 а - В . Пример 2. Любые три некомпланарных вектора e ,p ,g ,
взятых в определенном порядке, образуют базис в трехмерном пространстве R3
Любой четвертый вектор с е / ? 2 можно представить в виде линейной комбинации векторов с, РЛ'-
|
|
|
с =<хе + $ p + r g |
|
|
|
(8) |
||
|
Коэффициенты |
разложения (8) а , |
Р, у |
можно |
найти из |
||||
системы |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
*с = а |
х +еР*р + Yx g> |
|
|
|
|
|
|
|
|
<Ус=а-уе + $ ур +ч yg, |
|
|
|
(9) |
||
|
|
|
zc =a.ze + $ zp +y zg, |
|
|
|
|
||
где с —{хс^ус, zc }, с |
{хе, уе, ze}, {-^р>УpjZe}9g |
fag^Уg> } * |
|||||||
|
Так как векторы e ,p ,g |
линейно независимы, то система |
|||||||
(9) |
имеет |
единственное |
решение. |
При |
этом |
а = пргс, |
|||
p - п р / , |
у = пргс |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример. Даны |
три вектора: c = { 3 ;-2 ;l} , |
р = {~ 1; 1; —2}, |
||||||
g = {2; 1; -3}. Найти разложение вектора с = {11; |
- 6 ; |
5} |
по ба |
||||||
зису |
е, р, g |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение. Запишем систему (9) |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
За - Р + 2у = 11, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
<- 2 а + Р + у = -6, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а - 2 р - 3 у = 5. |
|
|
|
|
|
|
|
Решая систему |
методом Крамера, получим |
а = 2; |
Р = -3 ; |
у = 1.
Искомое разложение имеет вид
с =2 ё -З р + g.
Определение. Ортонормированным базисом в л-мерном
пространстве R" называется упорядоченная система п взаимно ортогональных векторов единичной длины.
Пример 1. Ортонормированным базисом в декартовой сис теме координат на плоскости XOY является пара векторов 7, ].
Векторы |
Г = {1; о} и у = {0; l} |
пер |
пендикулярны, |
|Г| = |у| = 1. |
У* |
|
||
Любой вектор а на плоскости |
XOY J |
|
может быть представлен в виде разложе |
||
ния по базису |
|
X |
|
|
|
а |
= х -1 +у • j |
(10) |
единственным образом, причем коэффициенты разложения (10) совпадают с координатами вектора а = {х\ у ] .
|
Пусть дан вектор а = {3; - 5}. Тогда его разложение по ба |
|||||
зису |
Г , j имеет вид a = ЗТ - 5j |
|
||||
|
Пример 2, Ортонормированным базисом в трехмерном |
|||||
пространстве |
R3 |
в декартовой системе OXYZ является тройка |
||||
векторов Г , у Д |
: |
|
|
|
||
|
Г = {1;0;0}, |
|
7 = {0; 1;о}, |
|
||
|
£ = { 0; 0;l}. |
4» |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
г 1 у, |
j |
lie , |
i lie |
У |
|
|
|
|||||
|
1\ = J |
= |
|
= 1 |
|
|
|
Любой |
вектор |
o iei?3 в системе координат |
OXYZ может |
||
быть представлен в виде разложения по базису 7 ,j , к : |
||||||
|
|
|
|
|
d = XI + yj + zk |
(11) |
Это |
разложение |
единственно, и коэффициенты |
в разложении |
(11)равны соответствующим координатам вектора а = {х; у; z }. Пусть дан вектор d = {1; 3; 4}. Разложение вектора d по ба
зису 7 , j , к имеет вид d = 7 + Зу + 4£
Основные определения представлены в табл. 1.
Координаты вектора
А В = {хв ~ x A; y B - y A;z B - z A}
■------- -- В { х в , у в \ г в )
А { * л >Ул >2 л )
a = { x ;y ;z }
X = проха ; у = проуа ; z = прога
Длина вектора
Умножение вектора на число X
Ха = {AJC;Ху, Xz}
N=M5I ')// 2)//
а |
Ха |
а |
Ха |
А.>0 А.<0
Сложение векторов
Таблица 1
Признак коллинеарно сти
a \ b < ^ > ^ - = ^ - = ^ - = X хь Уъ zb
77 V /
a |
b |
a |
b |
X>0 A.<0
Ортонормированный базис в R 2
\A B \ = TI { X B - |
X a Y + ( у в ~ У а ? + {Z B ~ Z A Y |
а + Ь = { x a + xb, y a + y b, z a + zb) |
Z |
|
|
||
|
|
A |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
“ it |
4 |
T l ] |
|
\a\ = J x 2 + y 2 + z 2 |
|
|
^ |
|
|||
a l s ^ a +J>/ |
a / s ' <* + b |
0 ] |
У |
7 ± к |
|||
|
|
||||||
|
|
b |
|
x |
|
к U |
N41=1*1=’
.
Окончание табл. 1
Направляющие косинусы
х |
а У |
7; |
2 |
cosa = r-7; |
cosp = i- |
cos у = 77 |
|
rl |
PI |
И |
a = {x\y,z],
a = z(a,ox); fi = Z(a;oy); у = Z{a\oz)
cos2 a + cos2 P + cos2 у = 1
Вычитание векторов |
Разложение по базису |
|||
a - b ={xa - x b;ya - y b;za - z b} |
1) a = xT + yj + zk |
|||
|
|
|
|
a = {x;y;z} |
L |
/ |
/ |
\ ZZ L |
2) a = ap + $q + ye, |
0 |
|
—0 |
p ,q ,e € P |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
a = nppa, P = np^o, |
|
|
|
|
у = прг3 |
4. НЕЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАЦИИ НАД ВЕКТОРАМИ
СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ
Определение. Скалярным произведением векторов а и b называется число, равное произведению длин векторов, на ко синус угла между ними.
(5-£)=|5|-|£|-costp.
Свойства скалярного произведения
1. (a-b)=(b - а).
2. (5-б)=|5|-прг6=|б|-пр^5.
3.(A.5Z>)= А.(а-б), где А = const.
4.(a + b) c =(а с)+{р -с).
5.a -L b <=> (а -б)= 0.
6.(а ■а) = |а|2 - скалярный квадрат.
7. Пусть а = {jf,,yj,z,}, b = {^2,y 2,22}, тогда |
(a-b)=xr x2 + |
|||||
+У1 J;2 + ^ - 2 2 . |
|
|
|
|
|
|
8. Если ф - угол между векторами <5 и 6 , то из определе |
||||||
ния следует, что |
|
|
|
|
|
|
соэф = |
*1*2 +У1У2 + zlz 2 |
|
|
|||
1 |
1 |
I 2 |
2 |
2 |
||
|
||||||
|
+ У1 |
+Zj |
■■\jx2 + У2 |
+ z 2 |
||
Скалярное произведение векторов применяется в физике |
||||||
для вычисления работы А силы |
/ |
по перемещению точки |
||||
из начала в конец вектора s : |
|
|
|
|
||
|
A ={f-s). |
|
|
(12) |
||
Задача 1. Найти угол между |
векторами |
5 = {l;l;0} и |
||||
£ = {1;0;1} |
|
|
|
|
|
Решение. По свойству (8) |
|
|
|
COS(p = JМ = |
11+10+01 |
1 |
1 |
И -p |
Vi2 + i 2 + o 2 •Vi2 + 0 2 + i 2 |
V2-V2 " |
2 |
Следовательно ф = 60°
Задача 2. Векторы а и 6 образуют угол —. Зная, что
И = 3, |
6 = 4 , вычислить скалярное произведение векторов |
3 5 - 2 6 |
и 5 + 26 |
Решение. Вычислим скалярное произведение, пользуясь свойствами 1,3,4, 6:
(з5 - 26)• (5 + 2б)= 3(5 • 5)+ б(а • б ) - l(b ■а )- А,{р • б)=
= 3 • |5|2 + 4|а| • |б| • cos у - 4|б|2 = 3- 9 + 4- 3- 4 ~ - 4 - 1 6 = -13.
Задача 3. Вычислить работу силы / |
= {3; - 5; 2}, если точка |
||
ее приложения |
перемещается из |
точки |
М х{1; —1;2) в точку |
М 2{3 ;-2 ;0 ). |
|
|
|
Решение. |
Найдем вектор |
перемещения s = М хМ г = |
= {3 -1; - 2 - ( - 1); 0 - 2} = {2; -1; - 2}.
По формулам (12), (7) вычислим работу:
= ( / - л ) = 3 - 2 + (-5 )-(-1 )+ 2 - ( - 2 ) = 6 + 5 - 4 = 7
ВЕКТОРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ
Определение. Векторным произведением векторов 5 и 6 называется вектор с , обладающий следующими свойствами:
1. Длина вектора с равна произведению длин векторов 5 и 6 , умноженному на синус угла между ними: \с =\а|I-|б •sm<p.
2. c La, c Lb , то есть вектор с перпендикулярен плоско
сти, в которой лежат векторы а и b ;
3. Кратчайший поворот от а к Ь с конца вектора с виден против часовой стрелки. Обозначается векторное произведение сле дующим образом:
с - a x b или с=[а,Ь].
Свойства векторного произведения
1.a x b = -Ь ха
2.X[a,b] = [Xa,b] = [a,Xb] =[a,b]-X.
3.(а + bjxc = а х с +b хс
4.allb <^>ахВ = б,(а*б,Ь *б).
5.ахй = 0
6. Пусть а = { x ^ y ^ z ^ b = {х2,У2 ,2 2}, т°гда |
|
||||||
|
Т ] к |
У\ 21 |
Х1 |
zl |
Х1 |
У1 |
|
a xb |
х1У\ *\ |
||||||
У2 22 |
9 |
V |
х2 |
У2 |
|||
|
х2 У2 22 |
х2 |
|||||
|
|
|
|
|
|
С помощью векторного произведения векторов можно вы числить площадь параллелограмма и треугольника. Площадь параллелограмма ABCD равна длине векторного произведения
векторов АВ и АС,
S = А В х А С .
Площадь треугольника АВС равна половине длины век торного произведения векторов АВ и АС:
Задача 1. Даны векторы |
а = 2/ + 5j + 7к и b = i + 2j +4к |
||||
Найти координаты векторного произведения а и Ъ |
|||||
Решение. По свойству (6) |
|
|
|
||
i j к |
57 |
27 |
|
25 |
|
ах Ь = 2 5 7 = i |
|
= 1 {20 -1 4 ) - 7 (8 - 7) + |
|||
24 - 7 |
14 |
+ к |
12 |
||
124 |
|
|
|
|
|
|
+ к (4 - 5) = 6/ |
- j |
- к, |
следовательно, а х £ = {6; -1; - 1}.
Задача 2. Даны три точки Л(1;1; l), В (2; 2; 2), С (4; 3; 5).
Найти площадь треугольника АВС Решение.
1. Найдем координаты векторов АВ и АС по формуле (1):
л 5 = { 2 - 1 ;2 - 1 ;2 - 1 } = {1;1;1},
= {4 —1; 3 —1; 5 —l} = {3; 2; 4}.
2. Вычислим векторное произведение векторов АВ и АС по свойству (6):
1 ] к
и |
- 7 |
11 |
и |
А В хА С - 111 = i |
34 |
+ к |
|
2 4 |
32 |
||
3 2 4 |
|
|
|
= 7 ( 4 - 2 ) - 7 ( 4 - 3 ) + £ ( 2 - 3 ) = 2 ? - 7 - £ .
Таким образом, АВхАС = { 2; —1; —l} .
3. Вычислим длину векторного произведения по формуле (2):
АВхАС -yl2 2+ ( - \f+ { - \f =л/4 + 1 + 1 = 7 б
4. |
Вычислим площадь треугольника АВС |
|
|||||||
|
|
|
|
|
V6 |
, |
|
. |
|
|
|
|
|
АВхАС = — |
(кв. ед.). |
|
|||
Задача |
3. |
Угол |
между |
векторами а |
|
я |
|||
и 6 равен |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 ’ |
|
= 3 . Вычислить длину векторного |
произведения век |
|||||||
торов |
(а + 26) и ( 2 5 - 3 6 ) . |
|
|
|
|
|
|||
Решение. |
|
|
|
|
|
|
|
||
1. |
По свойствам 1-5 вычислим |
|
|
|
|
||||
(iа-+26)х (25 - 36)= 5 ж 25 - 5 х 36 + 26 х 25 - 26 х 36 = |
|||||||||
|
|
= 25 х 5 - 35 х 6 - 4 5 х 6 - 6 6 х 6 = -7 5 х 6. |
|
||||||
2. |
|
Вычислим |
длину |
векторного произведения по опре |
|||||
делению: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| (5 + 2б )х (2 5 - З б ) = - 7 5 x 6 = 7 5 x 6 |
|
||||||
|
|
|
= 7|5| • |б| sin ср = 7 • 2 • 3 • |
л/3 |
= 21л/з. |
|
|||
|
|
|
|
|
|||||
Задача |
4. |
Сила Р = { 2 ; - 4 ; 5} |
приложена |
к точке |
|||||
М0(4; - 2; 3). Определить момент этой силы относительно точки |
|||||||||
А{3;2;- 1). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение. Момент силы р , приложенной к точке |
М 0, от |
||||||||
носительно точки А , как известно из механики, вычисляется по |
|||||||||
формуле: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
М п |
|
|
|
М = |
AM охр . |
|
||
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
Найдем |
координаты |
вектора |
||
|
|
|
|
AM 0 : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
~АМо = {1; —4; 4}. |
|
|||
2. |
Вычислим векторное произведение векторов AM о и р : |
i j k
М = AM охр = 1 - =44Г (- 20 +1 б )- у (5 - 8)+
2 - 45
+ k ( - 4 + S)= -4l + 3] + 4k.
Ответ: М = {- 4; 3; 4}.
СМЕШАННОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ
Определение. Смешанным произведением трех векторов
а, Ь, с называется число, равное скалярному произведению век торов ахЬ и с или а и Ь х с Здесь ахЕ - векторное произве дение векторов а и Е , Ь хс - векторное произведение Ъ и с
Обозначение смешанного произведения: abc = [5 х Ь]■с = а • [Ъ х с ] .
Обозначим <р - угол между векторами а и b , а - угол между векторным произведением ах Ей вектором с , тогда
abc = ахЬ \с -cosa =
= \а • b •sin9 -|c|-cosa:
■abc = a • b • c -sin9-cosa
Свойства смешанного произведения
1. При круговой перестановке смешанное произведение не изменяется:
abc = bca = cab
2. Если меняются местами рядом стоящие векторы, то смешанное произведение меняет знак на противоположный:
abc = -Ьас
3. Для того чтобы векторы |
а ,Ь ,с |
были компланарны, не |
||
обходимо и достаточно, чтобы а-Ь -с =0. |
|
|||
4. Пусть |
a = {xl,y l,zi}; |
Ь = {x2,y 2,z2}; |
с = {x3,y 3,z3j, |
|
тогда |
|
|
|
|
|
Ч |
У\ |
zi |
|
|
а-Ь -с - *2 У2 |
z2 ■ |
|
|
|
*з |
Уз |
*3 |
|
Объем призмы, построенной на векторах |
а ,Ь ,с , выходя |
щих из одной точки, равен абсолютной величине смешанного произведения векторов а,Ь,с :
Объем треугольной пирамиды, построенной на векторах
а,Ь и с , выходящих из одной точки, равен одной шестой абсо лютной величины смешанного произведения векторов а, Ь, с
а-Ь с]
г' шб
Задача 1. Найти объем треугольной пирамиды с вершина ми А (2; 2; 2), В (4; 3; 3), С (4; 5; 4), D (5; 5; 6).
Решение.
1) |
Найдем координаты векторов |
АВ, АС, AD : АВ = {2; 1; l}, |
||||||
ЛС = {2;3;2}, Л £ = {3;3;4}. |
|
|
|
|
|
|||
2) |
Вычислим смешанное произведение векторов: |
|
||||||
|
2 |
1 |
1 |
2 |
2 |
2 |
2 |
3 |
A B A C -АД - 2 |
3 |
3 |
||||||
2 - 2 |
4 |
3 |
4 |
3 |
3 |
|||
|
3 |
3 |
3 |
|||||
|
4 |
|
|
|
|
|
||
|
= 2(l 2 - б) - (8 - б)+ (б - 9) = 12 - |
2 - |
3 = 7. |
|
3)Объем пирамиды V = —.
6
Задача 2. Проверить компланарность векторов а = {2; 5; 7},
6 = {1;1;-1}, с = {1; 2; 2}.
Решение. Вычислим смешанное произведение векторов
а,Ь,с |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
_ |
2 |
5 |
7 |
1 |
-1 |
|
1 |
-1 |
1 |
1 |
|
1 -1 |
- 5 |
||||||||
а-Ъ -с = 1 |
= 2 |
2 |
1 |
2 |
+ 7 |
2 |
||||
|
1 |
2 |
2 |
2 |
|
1 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
= 2(2 + 2 )-5(2 + l ) + 7 ( 2 |
- l ) = 8 - 15 + 7 = 0. |
|
По свойству (3) векторы а,Ь и с компланарны. Определения и свойства нелинейных операций над векто
рами представлены в виде табл. 2. Основные понятия и форму лы векторной алгебры представлены в табл. 3.
Определение
С калярное произведение |
Векторное произведение |
Смешанное произведение |
||
|
(а-б)=|о|- £|-coscp |
Ji |
|а х £ = |а|-|£ -sin(p |
|
|
Ь |
с = 5 x 5 |
с L a ,с Lb |
|
|
|
|
|
|
^ |
. |
|
а |
|
|
5 |
|
|
Вычисление Свойства
2. |
a LB 0 (5 - ^ ) = 0 ; |
|
а Фб; Ь * 0 . |
3. |
л = ( /• * ) |
(a-B)=xr x2 +yr y2 +zr z2
1. |
axb = -Ь ха . |
|
|
1. |
a - b - c - b - c - 5 - c a b - |
||
2. 5//5<=>5х5 = 0; |
|
|
|
- - В - а-с = -а -с |
В = -с -В - а. |
||
|
5 * 0 ; 5 * 0 . |
|
|
2. а,В,с // Р о а - В - с =0. *) |
|||
3. |
S =| 5 x 5 | |
|
|
3. |
к = | з - £ - с | |
|
|
|
J |
] |
к |
|
х\ |
У\ |
zi |
|
axb = xl |
yl |
zl |
|
О-В-с = х2 |
у2 |
z2 |
|
х 2 |
Уг |
2г |
|
хз |
Уз |
2з |
*) Символ а,Ъ,с ИР означает, что векторы а,Ь,с параллельны одной плоскости Р, то есть компла нарны.
Алгоритм решения задач
5. КОНТРОЛЬНЫЕ РАБОТЫ И ИНДИВИДУАЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ
Контрольная работа № 1
1.Вычислить длину вектора АВ .
2.Вычислить работу А по перемещению точки вдоль век
тора ВС под действием силы А В .
3. Вычислить смешанное произведение векторов а ,Ь ,с
Компланарны ли векторы a ,b ,c l
4.Вычислить площадь Д АВС
5.Вычислить объем тетраэдра ABCD.
Варианты
№ o = {*i> п/п Уь2\)
1 2;3;1
2—9;5;3
35;—1 2
42;-1;4
51 ;-2;3
6-1;0;1
73;—1 ;6
88;3;-1
95;0;-2 10 3 ; 1 1 11 2;3;-1
123;7;0
13-2;7;-1
140;3;-2
155;0;-1 16 —1;4;2 17 -2 ;-3 ;-2 18 3;4;—1 19 1 ;-2;5
201 ;4;-2
213;5;4
221 ;2;-3
23-2;4;1
241;0;1
251;-2;3 26 1;-2;4
272;4;1
287;9;-2
293;-5;-2 30 —2;—5;—1
Ь={х2,
У2’г2} 1;-1;3 7; 1 2 6;0;7 3;-7;-6 3;0;-1 4;2;5 5;7;10 4;1;3 6;4;3 2; 1 ;0 4;0;1
13;4
-3;5;2
12 ; 1 7;2;3
3;-2;6 1;0;5
2;-1;1 3;—1 ;6
1;1;-1 5;9;7
2;—1 1
1;-2;7 -2;3;5 3;0;-1 7;3;5
-3;-2;4 5;4;3
-4;2;3
-6;-7;1
с = {хг, |
А(Х4,У4, В(х5, Уь, |
С(х6, |
0{хъ уп, |
|
Уз*2з} |
2*) |
2ь) |
Уб, 26) |
2т) |
—4;3;5 |
5;1;2 |
—2; 1 3 |
4;-3;5 |
3;-1;2 |
7;9;-9 |
3;—1;—2 |
1 2 ; 1 |
-2;1;0 |
2;2;5 |
6;0;5 |
1;3;2 |
3;2;7 |
4;0;0 |
-2;1;2 |
10;—11;5 |
—2; 1 ;2 |
4;0;0 |
3;2;7 |
1;3;2 |
1;2;1 |
i;i;i |
-1 ;2;4 |
2;0;6 |
—2;5; 1 |
7;8;9 |
3;1;2 |
4;-1;0 |
5;-2;3 |
1;-2;3 |
3;7;3 |
8;6;4 |
Ю;5;5 |
5;6;8 |
8;10;—7 |
-7;2;1 |
• 1;2;3 |
3;4;5 |
-1;0;2 |
1;2;0 |
i;i;i |
6;6;5 |
4;9;5 |
4;6;11 |
6;9;3 |
3;—2;4 |
5;-1;2 |
1;3;4 |
5;-1;2 |
7;8;3 |
-3;4;5 |
3;—2;4 |
3;—1 ;8 |
5;6;-1 |
1;-7;0 |
3;4;1 |
3;5;4 |
8;7;4 |
5; 10;4 |
4;7;8 |
1;1;2 |
4;6;5 |
6;9;4 |
2; 10;10 |
7;5;9 |
2;1;1 |
4;4;10 |
7;Ю;2 |
2;8;4 |
9;6;9 |
3;4;1 |
4;2;-5 |
—3;0;4 |
0;2;3 |
5;2;—4 |
-5;6;1 |
4;2;5 |
3;0;4 |
0;0;3 |
5 ;-2 М |
6;5;1 |
5;—2;—1 |
4;0;0 |
2;5;1 |
1;2;5 |
4;3;1 |
6;3;5 |
5;—6;3 |
3;5;6 |
—6;—1 ;2 |
1;1;2 |
3;2;4 |
2;4;3 |
4;3;-2 |
—2;—4;—3 |
1 ;2;-3 |
6;0;4 |
0;6;4 |
4;6;0 |
0;-6;4 |
3;4;5 |
2;-5;3 |
3;2;-5 |
5;-3;-2 |
-5;3;-2 |
1 3 ; —2 |
-5;6;-1 6;-5;2 |
6;5;1 |
0;0;2 |
|
i ; - i;i |
0;0;6 |
4 ;0 И |
1;3;-1 |
4;-1;-3 |
1;9;-1 |
0;5;0 |
2;3;-4 |
0;0;-6 |
—3 ; 1 1 |
i;2;l |
1;1;1 |
—1 ;2;4 |
2;0;6 |
—2;5; 1 |
2;-1;3 |
7;7;3 |
6;5;8 |
3;5;8 |
8,4; 1 |
3;5;-2 |
3;4;2 -2;3;-5 |
4;-3;6 |
6;-5;3 |
|
-1 ;4;3 |
1;8;2 |
5;2;6 |
5;7;4 |
4;10;9 |
1;5;7 |
0;1;2 |
1;0;7 |
3;1;1 |
1;-1;0 |
0;—1 ;7 |
1 5;2;1 |
-1;0;2 |
3;0;-2 |
1 1 ;2 |
Контрольная работа № 2 Вариант 1
Задание 1. Даны точки А (-1; 3; 1), В (4; 5; -2), С (-3; 1; 4). Найти
2.АВ + 4ВС1.
4.[(АВ + АВС),(СВ-ВА)].
5.Угол между векторами АВ и ВС
Задание 2. В треугольнике АВС даны длины его сторон ВС = 5, СА = 6, АВ = 7. Найти скалярное произведение векторов
ВА и ВС
Задание 3. Определить и построить вектор с = ах.Ь , если
а = 2i + 3 /, |
6 = 3j + 2к |
Найти площадь параллелограмма, по |
||
строенного на векторах а и 6 |
|
|||
Задание 4. |
Построить пирамиду с вершинами А (2; 0; 0), |
|||
В (0; 3; 0), С (0; 0; 6), D (2; 3; 8), вычислить ее объем и высоту, |
||||
опущенную на грань АВС. |
|
|
||
Задание 5. |
Найти работу силы / |
по перемещению точки |
||
Задание 6. |
Найти |
скалярное |
произведение векторов |
|
25 + 36 + 45 |
и 55 + 66 + 7 с , если |
|
(5Лс )= (бл с ) = у .
Вариант 2
Задание 1. Даны точки А (3; 1; 4), В (6; 9; 2), С (7; 5; 8).
Найти
1.пр д^АВ.
2.| ~АВ+ 4ВС | .
3.\(а в + с в ) ^ в ).
4.[(АВ + 4ВС),(СВ-ВА)].
5.Угол между векторами АВ и ВС
Задание 2. Найти длину равнодействующей четырех ком планарных сил, приложенных к точке О, если величина каждой силы равна 10 кг, а угол между двумя ближайшими силами ра вен 45°.
Задание 3. Найти длину высоты, опущенной на грань BCD
треугольной пирамиды с вершинами А (0; 0; 1), |
В (2; 3; 5), |
С (6; 2; 3), D (3; 7; 2). |
|
Задание 4. Дан вектор а = 2т - п , где т и п - |
единичные |
векторы с углом 120° между ними. Найти co s(aAm) и cos (ал п).
Задание 5. Даны три вектора |
р = {11; - 2; l}, q = {-1; 1; - |
2}, |
|
г = {2; 1; - з}. Найти разложение вектора |
с = {11; - 6; 5} по бази |
||
су p ,q ,r |
|
|
|
Задание 6. Векторы а и b |
составляют угол 45° Найти |
||
площадь треугольника, построенного |
на векторах а -2 Ь |
и |
|
За + 2Ь , если |5| = = 5. |
|
|
|
Вариант 3
Задание 1. Даны точки А (-2; 3; -2), В (2; -3; 2), С (1; 5; 6). Найти
1.прШАВ.
2.| АВ + 4ВС | .
3.\[A B +C B ) - J B ).
4. [(jB^4lBC),{CB -TA)).