Математические модели движения транспортных средств

Методами нелинейной динамики в фазовом пространстве определяется множество фиксированных точек устойчивости и неустойчивости и предельные циклы, которые означают, что транспортный поток при плотности, близкой к максимальной, функционирует на странном аттракторе.

При таком подходе можно построить простые сети с источниками, устойчивыми по отношению к выходным потокам. Такая устойчивость может сохраняться в двух случаях:

• при насыщенной на всем протяжении дороги конфигурации, когда некоторые очереди распространяются против источников,

итем самым, блокируют исходящие от них потоки;

•при ненасыщенной конфигурации очередей, что позволяет всем источникам беспрепятственно объединять свои потоки.

изменения могут «по цепной реакции» вызвать дальнейшие изменения. Поведение транспортного потока в переполненных сетях со связанными заторными участками является по природе хаотичным. Этот факт и невозможность на сегодняшний день точно предсказать некоторые основные начальные данные (например, маршрут, выбранный водителем) вынуждает переосмыслить роль прогнозирующих моделей.

Вопросы для самоконтроля

1.Как классифицируются фазы движения транспортного потока?

2.Перечислите причины заторов и образования пробок на до-

рогах.

3.Каково содержание кинетической модели транспортного потока?

61

5. МОДЕЛИРОВАНИЕ ТЯГОВО-СКОРОСТНЫХ СВОЙСТВ ТРАНСПОРТНЫХ СРЕДСТВ

5.1.Силы, действующие на автомобиль при прямолинейном движении

Движение автомобиля как единой системы, в которую входят все его механизмы, включая колеса, происходит под воздействием сил и моментов внешней среды. Силы взаимодействия механизмов автомобиля как элементов системы являются ее внутренними взаимно уравновешивающимися силами и поэтому непосредственно на движение автомобиля влияния не оказывают.

При составлении модели системы внешних сил и моментов, действующих на автомобиль при прямолинейном движении, примем следующие допущения:

•автомобиль симметричен относительно продольной вертикальной плоскости, проходящей через его центр масс;

•левые и правые колеса одноименных мостов имеют одинаковые нагрузки и находятся в одинаковых дорожных условиях;

•упругие свойства подвески не учитываются, и колебания кузова не происходят;

•конфигурация автомобиля изображается в виде плоской фигуры;

•опорная поверхность дороги представляется в виде прямой линии, наклоненной под углом α к горизонту;

•внешнее скольжение колес отсутствует.

В результате центр масс автомобиля С и все точки приложения сил внешних воздействий совершают прямолинейные перемещения, параллельные поверхности дороги.

Предположим, что автомобиль заднеприводный, т.е. передние колеса ведомые, а задние – ведущие. Система внешних сил и момен-

RGx2 – продольные реакции опорной поверхности дороги; Rz1, RGz 2 – нормальные реакции опорной поверхности; M f 1, MG f 2 – моменты

сопротивлений качению колес. На параметры движения автомобиля (скорость и ускорение) также влияют сила инерции поступательно

движущейся массы автомобиля FGjп и инерционные моменты колес и двигателя MG jд (на рис. 5.1 MG jд не показан, так как он

действует в поперечной вертикальной плоскости).

Рис. 5.1. Силы и моменты, действующие на автомобиль при прямолинейном движении

В некоторых учебниках по теории автомобиля продольную реакцию опорной поверхности на ведущие колеса RGx отождествляют с силой тяги автомобиля FGт. Однако при движении без внешнего скольжения колес работа реакций RGxi равна нулю, так как RGxi – одно

из воздействий внешней среды на автомобиль. Это означает, что не внешняя среда сообщает энергию, необходимую для движения автомобиля. Источник энергии находится на самом автомобиле. Это его двигатель, энергия которого передается ведущим колесам и реа-

63

лизуется ими посредством суммарного момента ведущих колес Mк.в при их взаимодействии с опорной поверхностью дороги. В связи с этим момент MGк.в можно назвать тяговым моментом автомобиля.

Двигатель обеспечивает покрытие затрат энергии на преодоление всех сопротивлений движению автомобиля. Поэтому момент Mк.в входит в систему сил и моментов, представленных на рис. 5.1.

При возникновении внешнего скольжения реакции Rxi совершаютGработу. Однако эта работа будет отрицательной, так как реакции Rxi в данном случае – это силы трения. Поэтому внешнее сколь-

жение сопровождается дополнительными потерями, компенсация которых на тяговом режиме осуществляется за счет энергии двигателя, а на тормозном режиме – за счет кинетической энергии автомобиля.

Рассмотрим сопротивления движению автомобиля. Сопротивление подъему. Разложим силу тяжести автомобиля

GGа на составляющие GGа = GGаx + GGаz . Составляющую Gаx , парал-

где mа – масса автомобиля; α – угол продольного уклона дороги.

На автомобильных дорогах с твердым покрытием углы α обычно не превышают 4–5°. Тогда sin α ≈ tg α ≈ h, а модуль силы Fh вычисляют по формуле

Сила Fh стремится скатить автомобиль под уклон, поэтому ее называют также скатывающей силой, что соответствует ее физическому смыслу. В дорожном строительстве величину h называют продольным уклоном дороги. При движении на спуске вектор силы

FGh совпадает по направлению с вектором скорости v, поэтому FGh становится движущей силой. В связи с этим угол α и уклон дороги h

64

считают положительными при движении автомобиля на подъеме и отрицательными – при движении на спуске.

Составляющая силы тяжести Gaz = magcos α, направленная перпендикулярно поверхности дороги, непосредственного воздействия на движение автомобиля не оказывает, так как ее вектор перпендикулярен вектору скорости vG. Но она определяет нормальные реакции дороги и, следовательно, влияет на сопротивление качению и сцепление колес с дорогой.

Сопротивление воздуха. В результате взаимодействия корпуса движущегося автомобиля с воздушной средой на каждой элементарной площадке его поверхности возникают силы, которые можно разделить на нормальные и касательные составляющие по отношению к этой площадке. Касательные силы являются силами трения. Нормальные силы создают давление на поверхность автомобиля. Равнодействующую всех этих сил называют аэродинамической силой. Она приложена в некоторой точке корпуса, называемой центром парусности автомобиля. Ее можно разложить на составляющие по осям 0х и 0z. Составляющую Fw, направленную вдоль оси 0х, называют силой сопротивления воздуха. Вторую составляющую называют подъемной силой, так как обычно она направлена вверх. У скоростных автомобилей (гоночных, спортивных и др.) благодаря специальной форме кузова она направлена вниз и поэтому увеличивает нормальные реакции дороги на колеса, улучшая их сцепление с дорогой. При v < 100... 120 км/ч она невелика и ею можно пренебречь.

Опытным путем установлено, что модуль силы Fw пропорционален лобовой площади автомобиля Ал и квадрату относительной скорости потока воздуха vп.в:

где kw – коэффициент сопротивления воздуха, Н·с2/м4.

Скорость vп.в = v – vвcos θ, где v – скорость автомобиля; vв – скорость ветра; θ – угол между вектором vв и осью 0х. Встречный ветер увеличивает силу Fw, а попутный – уменьшает.

65

Лобовой площадью автомобиля Ал называют площадь его про-

екции на плоскость, перпендикулярную продольной оси автомобиля. Эта ось проходит через центр масс С параллельно опорной поверхности дороги. В табл. 5.1 приведены значения kw и Ал для различных типов автомобилей.

Таблица 5.1 Коэффициенты сопротивления воздуха kw и лобовая площадь Ал

Произведение kw·Ал называют фактором обтекаемости автомобиля.

Значение коэффициента kw в основном зависит от формы корпуса автомобиля, определяющей характер и скорости создаваемых вихревых потоков воздуха. При этом возникает повышенное фронтальное давление перед автомобилем и пониженное давление позади автомобиля. Составляющую силы Fw, зависящую от формы корпуса, называют сопротивлением формы. Она достигает 60 % от полной силы Fw. Сопротивление поверхностного трения составляет до 10 %. Выступающие части корпуса (фары, ручки, зеркала и др.) создают дополнительное сопротивление до 15 % Fw. Потоки воздуха в подкапотном пространстве двигателя и салоне или кабине создают сопротивление до 15 % Fw. Для уменьшения сопротивления воздуха применяют различные аэродинамические приспособления, улучшающие обтекание автомобиля потоками воздуха.

66

Сопротивление качению. Сопротивление качению автомобиля определяется суммарным моментом сопротивления качению всех его колес:

где n – число колес автомобиля.

Полагая коэффициенты сопротивления качению всех колес и их радиусы качения одинаковыми, получим

i=1

где Rz – суммарная нормальная реакция дороги на колеса автомобиля. Для определения Rz спроецируем на ось 0z все силы, дейст-

вующие на автомобиль. В результате получим

Следовательно, момент сопротивления качению всех колес автомобиля

При малых углах продольного уклона дороги cos α = 1, тогда

Сопротивление разгону. При разгоне автомобиля возникают силы инерции поступательно движущихся масс и инерционные моменты масс, совершающих относительные вращательные движения (относительно корпуса автомобиля).

Сила инерции поступательно движущейся массы автомобиля

где а – ускорение автомобиля: aG = dvGdt.

67

Суммарный инерционный момент колес автомобиля

где Jкi – момент инерции i-го колеса автомобиля, кг·м2; εGкi – угловое

ускорение i-го колеса.

При разгоне автомобиля часть мощности двигателя расходуется также на разгон деталей двигателя и трансмиссии. Инерционный момент двигателя

где Jд – момент инерции двигателя, равный сумме момента инерции маховика и приведенных к нему моментов инерции подвижных деталей двигателя, кинематически связанных с коленчатым валом; εGд –

угловое ускорение коленчатого вала двигателя; uтр – передаточное число трансмиссии.

Вектор момента M jд на рис. 5.1 не изображен. Его направле-

ние совпадает с направлением оси вращения маховика двигателя. Инерционными моментами деталей трансмиссии обычно пре-

небрегают, так как они значительно меньше Мjд.

Сопротивление прицепа. Сопротивление движению прицепа обусловлено теми же факторами, что и сопротивление движению автомобиля, поэтому определяется аналогично.

5.2. Уравнение прямолинейного движения автомобиля

При движении автомобиля мощность двигателя затрачивается на выполнение работы по преодолению сопротивлений движению, рассмотренных в предыдущем параграфе. При передаче энергии от двигателя к ведущим колесам часть ее расходуется на преодоление сил трения в трансмиссии и на разгон масс двигателя. Поэтому суммарный момент на ведущих колесах автомобиля

68

(см. рис. 5.1). Предположим, что радиусы качения всех колес одинаковы и равны и отсутствует скольжение колес относительно дороги.

Тогда δ φGi для всех колес будут одинаковыми, причем δ φ = δxrк0 .

Используя схему, приведенную на рис. 5.1, составим общее уравнение динамики. Работу всех сил и моментов на принятых возможных перемещениях определим, учитывая взаимные направления векторов сил и моментов и соответствующих им векторов перемещений:

Mк.вδφ− M f δφ− Fhδx − Fwδx − Fпрδx − Fjпδx − M jкδφ = 0. (5.13)

Подставим значения Мк.в и из выражений (5.10) и (5.12) и выразим δφ через δх. Тогда

Объединим все члены этого выражения, содержащие ускорение автомобиля,

Величину mа.пр называют приведенной массой автомобиля. Ки-

нетическая энергия поступательного движения этой массы равна сумме кинетических энергий всех масс автомобиля в их действительных движениях. Коэффициент δп.м – коэффициент приведенной массы – учитывает влияние относительного движения масс двигателя

иколес на изменение кинетической энергии автомобиля, т.е. показывает, во сколько раз энергия, затрачиваемая на разгон масс реального автомобиля, больше энергии, необходимой для разгона поступатель-

но движущегося твердого тела массой mа.

Сила Fja представляет собой приведенную силу инерции авто-

мобиля, приложенную в его центре масс и эквивалентную силам инерции и инерционным моментам всех механизмов автомобиля при неустановившемся прямолинейном движении. Иными словами, сила

Fja в рассматриваемых условиях движения эквивалентна совокупности силы Fjп и моментов Мjк и Мjд.

Учитывая выражения (5.16)–(5.18) и подставляя значения Mf

иFh, уравнение движения автомобиля можно записать в виде

Второе слагаемое правой части уравнения (5.19) характеризует суммарное сопротивление дороги (сопротивления подъему и качению). При малых значениях α, характерных для автомобильных дорог с твердым покрытием, можно принять cos α = 1, sin α = tg α = h и ввести обозначение

где ψ – коэффициент суммарного дорожного сопротивления.

Подставим значение Fw в уравнение (5.19), пренебрегая скоро-

стью ветра, и получим следующее уравнение движения автомобиля:

70