2.6.7. Неустойчивости линейного пинча
Самым простым видом неустойчивости этой структуры являются «перетяжки» или «сосисочная неустойчивость». Возникает в силу того, что при возмущении поперечное сечение для тока плазмы начинает изменяться, вследствие чего меняется плотность тока и обжимающая электромагнитная сила. При уменьшении площади сечения электромагнитная сила возрастает и стремится дальше сжимать плазму в этом месте, уменьшая сечение. В результате этого шнур распадается на фрагменты и исчезает. Для борьбы с этим типом неустойчивости нужно создать и «вморозить» продольное магнитное поле Bz в плазму. Тогда поток продольного магнитного поля должен сохраняться:
Qm = πR20 Bz = C .
Для реализации этого процесса необходимо выполнение следующего условия, блокирующего появление перетяжек:
Bϕ Bz = √ .
2
Следующим видом неустойчивости является «змейка» или неустойчивость токового канала к изгибу. При изгибе магнитные силовые линии сгущаются внутри изгиба (рис. 2.29). Изгибающей деформации выгодно расти из-за того, что внутри изгиба усиливается электромагнитная сила и увеличивается возмущение.
Pm1
H jz
Pm2 >Pm1
Рис. 2.29
Для стабилизации в данном случае плазму заключают внутрь массивного медного кожуха. При быстром изгибе магнитное поле за счет
скин-эффекта (генерации тока в кожухе) не успевает проникнуть в кожух и отбрасываются. Поэтому силовые линии поля зажаты между кожухом и плазмой. Возникает сила, стремящаяся вернуть равновесие. Этим методом можно стабилизировать только быстрый изгиб. Медленный изгиб стабилизируется введением на периферии кожуха проводников с током, называемых стержнями Иоффе.
Еще одним видом является винтовая неустойчивость. Вследствие наличия Bz и Bϕ компонент магнитного поля изгибная неустойчивость может привести к винтовой, так как суммарные силовые линии – винтовые. Плазменный шнур стремится занять такое положение, когда электромагнитная сила исчезает. Это происходит в том случае, если вектор плотности тока сонаправлен с вектором магнитного поля, что и порождает винтовую конфигурацию плазмы.
Пусть плазменный шнур имеет длину L (рис. 2.30) и радиус R0. Тогда шаг винтовой линии
h = 2πR0 Bz . Bϕ
Условием отсутствия винтовой неустойчивости является h > L – при этом вдоль шнура не сможет уложиться ни один шаг винта. Это достигается при очень большой компоненте магнитного поля Bz.
h
L
Рис. 2.30
В тороидальной конфигурации плазмы условие устойчивости будет выражаться в виде критерия Шафранова-Крускала:
h |
= |
R0 |
|
Bz |
> 1, |
(2.113) |
2πR1 |
|
|
R1 |
|
Bϕ |
|
где R1 – большой радиус тора. Компонента Bϕ магнитного поля создается текущим по шнуру током,
Bϕ = I .
2πR0
Тогда условие устойчивости к данному типу возмущений, называемое «предел по току», будет выглядеть следующим образом:
2πR2
I < Imax = 0 Bz. (2.114)
R1
2.6.8. Установки для удержания плазмы
Самым простым видом установки для удержания плазмы является пробкотрон. Это открытая линейная плазменная ловушка с магнитными зеркалами или пробками. В пробкотроне (который может представлять собой, например, трубу внутри соленоидальной катушки) создается продольное магнитное поле, причём на торцах трубы плотность витков обмотки больше и магнитное поле выше, чем в центре. Заряженные частицы плазмы, двигаясь вдоль магнитных силовых линий, отражаются от областей более сильного поля – пробок (рис. 2.31).
Рис. 2.31
Комбинацией магнитных зеркал можно создавать различные виды ловушек. Если магнитные зеркала направить встречно, то получившаяся конструкция называется антипробкотрон (см. рис. 2.31). В этой установке вогнутость магнитных силовых линий существенно повышает устойчивость плазмы, и она фокусируется в центре ловушки.
Рис. 2.32
Следующей по сложности установкой является стелларатор – замкнутая магнитная ловушка для удержания высокотемпературной плазмы (рис. 2.32). В стеллаторе магнитное поле для удержания плазмы полностью создается внешними катушками, что, помимо прочего, позволяет использовать его в непрерывном режиме. Его силовые линии подвергаются так называемому вращательному преобразованию, в результате которого эти линии многократно обходят вдоль тора и образуют сложную систему замкнутых вложенных друг в друга тороидальных магнитных поверхностей.
Вращательное преобразование силовых линий может быть осуществлено путём геометрической деформации тороидального соленоида (например, скручиванием его в «восьмерку») и с помощью винтовых проводников, навитых на тор. Для создания такой конфигурации магнитного поля необходимо использовать катушки сложной формы, производство которых является технически сложным процессом. Стелларатор не имеет азимутальной симметрии, магнитная поверхность в нем имеет форму «мятого бублика».
Самой перспективной и совершенной на данный момент установкой для удержания плазмы является токамак (ТОроидальная КАмера с МАгнитными Катушками) – тороидальная установка для магнитного удержания плазмы (рис. 2.33). Плазма удерживается не стенками камеры, которые не способны выдержать её температуру, а специально создаваемым магнитным полем.
Особенностью токамака является использование электрического тока, протекающего через плазму для создания полоидального поля, необходимого для равновесия плазмы. Этим он отличается от стелларатора, в котором и тороидальное и полоидальное поле создается с помощью магнитных катушек.
Токамак представляет собой тороидальную вакуумную камеру, на которую намотаны катушки для создания (тороидального) магнитного поля. Из вакуумной камеры сначала откачивают воздух, а затем заполняют её смесью дейтерия и трития. Затем с помощью индуктора в камере создают вихревое электрическое поле. Индуктор представляет собой первичную обмотку большого трансформатора, в котором камера токамака является вторичной обмоткой. Электрическое поле вызывает протекание тока и зажигание в камере плазмы.
Внутренние катушки |
|
Катушки |
Полоидальное |
тороидального |
поля |
поле |
|
Плазма |
Ток |
Тороидальное |
поле |
Катушки полоидального |
Суммарное поле |
поля |
|
Рис. 2.33
Протекающий через плазму ток выполняет две задачи: нагревает плазму так же, как нагревал бы любой другой проводник (омический нагрев), и создает вокруг себя магнитное поле. Это магнитное поле называется полоидальным (то есть направлено вдоль линий, проходящих через полюсы сферической системы координат).
Магнитное поле сжимает протекающий через плазму ток. В результате образуется конфигурация, в которой винтовые магнитные силовые линии «обвивают» плазменный шнур. При этом шаг при вращении в тороидальном направлении не совпадает с шагом в полоидальном направлении. Магнитные линии оказываются незамкнутыми, они бесконечно много раз закручиваются вокруг тора, образуя так называемые «магнитные поверхности» тороидальной формы.
Полоидальное поле необходимо для стабильного удержания плазмы в такой системе. Поскольку оно создается за счёт увеличения тока
в индукторе, а он не может быть бесконечным, время стабильного существования плазмы в классическом токамаке ограниченно. Для преодоления этого ограничения разработаны дополнительные способы поддержания тока. Для этого может быть использована инжекция в плазму ускоренных нейтральных атомов дейтерия или трития или микроволновое излучение.
Для производства электроэнергии энергетически выгодно, если выделяющаяся энергия превышает затраченную более чем в пять раз. Для реализации УТС в токамаке необходимо достижение температуры T > 108 К в течение времени t > 1 с. В одной из первых установок «Токамак-3» (СССР, 1968 г.) была достигнута температура
T5 · 106 К, а в современной «Токамак-10» T 1, 2 · 107 К.
Вразных странах существует множество установок Токамак. Так, на установках TFTR (США), JET (Англия), JT-60 (Япония) была осуществлена научная демонстрация УТС в лабораторных условиях.
Следующим шагом развития в этом направлении является проект ITER (International thermonuclear experimental reactor), который планируется построить и запустить в середине века в Кадараше (Франция). Время жизни плазмы в нем предполагается больше 400 с, отношение энергий будет превышать 10, мощность 500 МВт, радиус плазмы R0 = 6, 2 м, ток в плазме I = 15 МА. При работе в течение года и выработке указанной мощности потребление трития составит около 20 кг.
2.7.Генерация магнитного поля движущейся проводящей средой
2.7.1. Теорема Альфвена
Уравнение переноса магнитного поля при больших магнитных числах Рейнольдса Rem 1 выглядит следующим образом:
∂B |
= rot [V × B]. |
(2.115) |
∂t |
Выражение справа (по аналогии с гидродинамикой) называют конвективным слагаемым. Конечно, в данном случае затухание поля за счет
диффузии тоже будет происходить, но мы будем интересоваться процессами переноса магнитного поля за время, значительно меньшее времени затухания.
B(t)
V
V
dl
Рис. 2.34
Теорема Альфвена заключается в следующем: магнитный поток через любой замкнутый контур, движущийся вместе с бесконечно проводящей жидкостью, постоянен. Если контур l, на который натянута область S , движется со скоростью V через область с переменным по времени магнитным полем B(t) (рис. 2.34), то изменение магнитного потока Qm через него будет определяться двумя слагаемыми,
|
Qm |
= ZS |
∂B |
· dS + Il |
|
|
d |
|
[dl × V] · B. |
dt |
∂t |
Первое слагаемое описывает изменение потока через контур за счет изменения самого поля во времени, а второе – за счет перемещения через магнитное поле контура, который во время движения «заметает» площадку dl × V. При этом контур во время движения не деформируется. Пользуясь теоремой Стокса, получаем
dQm |
= ZS |
∂B |
· dS − |
Il |
[V × B] · dl = |
dt |
∂t |
|
|
|
|
|
= ZS |
∂B |
− rot [V × B]! · dS = 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂t |
Этой теоремой описывается явление «вмороженности» магнитного поля в среду при Rem 1, когда магнитное поле переносится потоком
жидкости. Физически же явление «вмороженности» заключается в том, что при движении среды поперек магнитного поля B в среде индуцируются вихревые токи, поле которых, складываясь с первоначальным, так изменяет его, что силовые магнитные линии смещаются вместе с движущейся средой.
2.7.2. Теорема Валена
Формулируется теорема Валена следующим образом: в идеальном проводнике все жидкие частицы, первоначально находившиеся на магнитной силовой линии, продолжают оставаться на ней. Таким образом, всякое движение, растягивающее силовые линии, которые полагаются движущимися вместе с проводником, усиливает магнитное поле. Для доказательства рассмотрим уравнение переноса поля без учета диффузии
∂B
∂t = rot [V × B] = (BO)V − (VO)B − B div V.
Дивергенцию скорости можно выразить из уравнения неразрывности
∂ρw div (ρwV) = ρw div V + V · Oρw = − ∂t .
Подставим ее в уравнение переноса поля, разделим все на плотность ρw,
перенесем слагаемые и получим |
+ ρw (VO)B − |
ρw2 (V · Oρw). |
|
|
ρw O! V = |
ρw ∂t |
− ρw2 |
|
∂t |
(2.116) |
|
B |
1 ∂B |
|
B |
|
∂ρw |
1 |
|
B |
|
Преобразуем далее:
ρw O! V = |
"ρw ∂t |
+ B∂t ρw !# |
+ |
|
|
|
|
B |
|
1 ∂B |
|
∂ |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ " |
1 |
(VO)B − B (V · O) |
1 |
!# = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ρw |
ρw |
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
∂ |
B |
! + (VO) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂t ρw |
В итоге получено следующее уравнение для B = B/ρw:
dB = (BO)V. dt
! !
B = d B
ρw dt ρw
(2.117)
Пусть dS – нормальное поперечное сечение магнитной трубки, тогда заключенный в ней магнитный поток BdS должен оставаться постоянным, когда трубка перемещается вместе с веществом. Если dl – расстояние вдоль трубки между двумя соседними поперечными сечениями, то масса ρwdldS , заключенная между этими сечениями, тоже остается постоянной при перемещении трубки. Следовательно, в процессе движения B ρwdl, так что если силовые линии магнитного поля растягиваются, то это приводит к пропорциональному увеличению величины B. Если вектор, соединяющий две соседние точки силовой линии, обозначить kB, то величина k = C при переносе этих точек вместе с веществом. При постоянной плотности увеличение длины l приводит к увеличению магнитного поля B.
2.7.3. Волны Альфвена
Рассмотрим явление, в котором ярко проявляется действие теоремы Валена. Пусть идеально проводящая покоящаяся жидкость помещена в однородное магнитное поле H0 = (H0, 0, 0). Пусть на поле оказалось наложено малое поперечное возмущение h = (0, h(x, t), 0), при этом суммарное поле H = H0 + h (рис. 2.35).
y
h(x,t)
x
H0
Рис. 2.35
Вследствие вмороженности поля возмущение вызывает перемещение проводящей жидкости вдоль оси Y, т.е. V = (0, v(x, t), 0). Вследствие
того что |
|
|
|
|
|
|
∂H |
= rot [V × H], |
|
|
∂t |
|
можно записать, пренебрегая членами второго порядка малости, |
|
|
|
∂h |
= H0 |
∂v |
(2.118) |
|
|
|
|
. |
|
|
∂t |
∂x |
Запишем уравнение Навье-Стокса для идеальной жидкости (когда 4V = 0) в случае отсутствия градиента давления (OP = 0) и малой скорости, когда можно перенебречь слагаемыми второго порядка малости (т.е. (VO)V = 0). Получаем
∂V |
= j × B = ( rot H) × (µ0H) |
|
ρw |
|
|
|
∂t |
|
или, пренебрегая слагаемыми второго порядка малости, |
|
|
|
|
|
∂v |
µ0 |
H0 |
∂h |
. |
(2.119) |
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
ρw |
∂x |
|
|
|
|
∂t |
|
|
|
Далее сделаем следующие преобразования. Продифференцируем уравнение (2.118) по времени, а уравнение (2.119) по координате. По-
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
лучим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂2h |
= H0 |
|
∂2v |
, |
|
|
|
∂t2 |
|
∂t∂x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂2v |
|
µ0 |
H0 |
∂2h |
. |
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
∂x2 |
|
∂t∂x ρw |
|
|
|
|
После подстановки одного в другое получим |
|
|
∂2h |
= a2 |
|
∂2h |
. |
|
(2.120) |
|
|
|
∂t2 |
|
∂x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Теперь продифференцируем уравнение (2.118) по координате, а уравнение (2.119) по времени. После преобразований получим
|
∂2v |
= a2 |
∂2v |
. |
(2.121) |
|
∂t2 |
∂x2 |
|
|
|
|
Получили два волновых уравнения, описывающих распространение волны возмущения магнитного поля h и поля скорости v со скоростью
распространения такой МГД-волны: |
|
|
|
a = H0 r |
|
|
. |
(2.122) |
ρw |
µ0 |
|
|
|
Связь между возмущениями дается соотношением |
|
h = −v r |
|
|
|
(2.123) |
µ0 |
, |
|
|
ρw |
|
|
|