Надёжность технических систем
..pdfг - ЛоЬ) 1 1
Проведя подобные;вычисления для к =3,4,..., находим за кономерность изменения P^Ct) » согласно которой
Pvш =6‘М с1■+£ |
/7 |
L = 1 О! |
Ln1 |
г-° |
Пользуясь этой формулой, можно найти и все другие коли чественные характеристики надежности рассматриваемой резерви рованной группы.
4.8.Резервирование замещением в случае ненагруженного
резерва
Пусть все к резервных элементов составляют ненагруженный резерв. В этом случае естественно считать, что резервный элемент не может отказать до его включения в работу. Поэтому введенные
в подразделе |
4.5 вероятности |
P^(t,v) и |
здесь |
будут: |
|
|
pk ct, V) = Pk ( t - z ) |
и |
^ а -г) |
, |
|
где |
и |
- надежность и ненадежность |
к -го резервного эле |
||
мента в рабочем режиме. Учитывая это, основные рекуррентные фор
мулы (4.1) и (4.2) |
перепишем так: |
|
|
I |
|
Рк (1) = |
+j P k (-i 'z)tk-<Ct)c^ > |
(4-5) |
a* |
о * |
|
(4-6> |
|
|
|
|
Но пользоваться формулами (4.5), (4.6) |
неудобно, |
так как |
|
для вычисления по этим формулам надежности |
Р^СЬ) |
и ненадеж |
|
ности |
Q^Ci) |
к -кратно•резервированной группы надо уже |
знать |
|||
плотность распределения времени безотказной работы |
|
|||||
( к - О |
-кратно резервированной группы. Однако формулы |
(4.5), |
||||
(4.6) можно упростить,. |
|
|
|
|||
Обозначая |
P^(t-z) = и , |
|
= c/V и применяя к ин |
|||
тегралу формулу интегрирования по частям, |
получаем: |
|
||||
pkW |
= P/c-fM 4 |
Pk C t - v ) |
Ь |
1 |
|
|
\ { ак-1т dPk a ‘t)= |
||||||
|
|
|
|
t |
|
|
|
= Pk.f(V |
* Qk . f U) -S Q t_ f(c )c r% a -e ) = |
||||
|
t |
|
|
t |
|
|
= 1 |
о |
W dPk |
|
- j t 1 ‘ Pu f CD]c/P. Ct-T) = |
||
|
£ |
|
0 |
£ |
|
|
|
t |
|
|
|
||
= 1- Pk i t -г)\Q+Spk 4 ft)dpk i t - t) = Pk it)*JP km 1 Cc)dPk ( l - r;
где учитываем, что P^C О) = I, |
= 0. |
Аналогично можно преобразовать и формулу (4.6). Тогда ра ди упрощения., допуская, что все элементы в рассматриваемой резервированной группе равнонадежны, окончательно получаем:
РкШ |
= PCD *SPk.fMftt-Dcf*, |
(4.7) |
|||||
Qk ct) = $(6) - J |
t |
|
|
||||
Pk _ f(v y (t-v )cfv , |
(4.8) |
||||||
|
|
|
|
0 |
|
|
|
где Pit) , Cf.it) |
, } ( t ) |
= |
- |
P 'it) |
- количественные харак |
||
теристики надежности, общие для всех |
элементов этой группы. |
||||||
Зная эти характеристики и применяя последовательно к |
раз ре |
||||||
куррентные формулы (4.7) |
и |
(4.8), получим надежность |
fy it) |
||||
и ненадежность |
@k (t) рассматриваемой резервированной группы |
||||||
в случае, когда |
ее |
элементы равнонадежны. |
|
||||
Рассмотрим практически важный частный случай, когда все элементы к -кратно резервированной группы (см.рис. 4.7) с ненагруженным резервированием подчинены одношг и тому *е экс
поненциальному закону надежности: РШ = e m^t |
Ле~ |
м |
Тогда, учитывая равенство {(t) = - P(t) = |
и приме |
|
няя формулу (4.7), последовательно находят: |
|
|
1) при к = I |
|
|
Pfd) = |
+ J е~МЛ£~Л а ~ |
- е^(1+ М ); |
||||
|
|
|
о |
|
|
|
2) при к - 2 |
|
|
|
|
|
|
Р2(1) = |
|
|
|
|
|
|
|
- г ' м С1 +JU * |
) |
|
|||
3) при к = 3 |
|
|
|
|
|
|
р ,а > - |
г |
* . } с * - и |
* л т |
^ |
U ' - M l 'c>dz= |
|
|
|
|
|
|
2! |
|
= e~M ( f |
+ a t * |
2 ! |
|
ЛЧ* |
||
|
Л ~ ) |
|||||
|
|
|
|
|
||
И в случае любого к |
получаем |
|
|
|
||
|
|
, . л ь г . ш ) + СШ* |
~1Г~ |
|||
Pk ( i ) = t |
|
~ Т Г |
||||
* |
4. (J i) k = ь-ль J L c w т |
|||||
|
|
к» |
~ с |
2 Z — |
— г |
|
|
|
"■ |
|
т*о |
т - |
|
Пользуясь .этой формулой, можно найти и все другие коли чественные, характеристики надежности рассматриваемой резерви рованной группы.
Ненагруженное резервирование замещением обеспечивает большую надежность, чем нагруженное резервирование. Это оче-
видно, так как во втором случае в отличие от первого расход на дежности резерва начинается сразу же после включения системы в работу.
Резервирование замещением наряду с нагруженным резервом позволяет также использовать облегченный и ненагруженный резер вы. В этом состоит его преимущество перед резервированием с поотоянным включением резерва, которое позволяет использовать только нагруженный резерв.
- 46 -
5. РАСЧЕТ НАДЕЖНОСТИ ПОСТАНАВЛИВАЕМЫХ СИСТЕМ
5.1. Критерий надежности систем с восстановлением
Все системы, рассматриваемые в теории надежности, разде ляются на восстанавливаемые, допускающие перерыв в работе для восстановления и ремонта и невосстанавливаемые, работоспособ ность которых в случае отказа не подлежит восстановлению.
Большинство устройств и САУ являются восстанавливаемыми.
В общем случае функционирование восстанавливаемого объек та представляет собой с точки зрения надежности последователь ность чередующихся интервалов работоспособности ip и восстанов ления tg (рис. 5.1).
fof |
fog |
|
Рис. 5.1 |
Конец интервала работоспособности определяется случайным событием - отказом. Поэтому отрезок работоспособности ip - величина случайная. Время восстановления, определяясь многими факторами: временем поиска дефекта, квалификацией обслуживаю щего персонала, запасом инструментов и принадлежностей и т.д., также является случайной величиной.
Для определения характеристик надежности с восстановлением необходимо описать поток отказов, поток восстановлений и их взаимодействие. Рассмотрим данные потоки по отдельности и комплексные характеристики, их связывающие.
Характеристики потока отказов
Для получения характеристик потока отказов может быть использована следующая модель испытаний. Пусть на испытании на ходится Н восстанавливаемых изделий. Отказавшие объекты немед ленно восстанавливаются (вплоть до замены новыми). По каждому изделию фиксируется число отказов ( t) за время испытаний
I Надежность изделий в этом случае можно характеризовать средним арифметическим числом отказов HCi) :
|
|
N |
|
H(i) = N |
2 Z mL Ci) |
||
i-r L |
|
||
Другой характеристикой является параметр потока отказов |
|||
ujit) : |
|
|
|
ur(t) = |
n(Al) |
у |
|
NAt |
|||
где n(&t) - число изделий, |
отказавших |
за момент времени At. |
|
Параметр потока отказов, |
определяемый как отношение чис |
||
ла изделий, отказавших в единицу времени, к числу испытываемых изделий, представляет собой интенсивность, или плотность потока,
Чтобы предупредить смешение этой величины с интенсивностью |
|
|||||||
отказов Ait) |
невосстанавливаемых изделий, ГОСТом установлен |
|||||||
термин параметр потока отказов. По |
своему содержанию JLCt) |
и |
||||||
и) it) |
различны. Интенсивность |
Ait) |
является условной плот |
|||||
ностью вероятности отказа в момент |
t |
при условии, что до |
мо |
|||||
мента t |
объект работал исправно, то есть это частота отказов |
|||||||
изделий, |
имеющих наработку Ь |
|
|
|
|
|
||
Между ЛИ) и |
ur(t) могут |
быть установлены следующие |
со |
|||||
отношения: |
Л it) |
|
|
|
АСЬ) |
> ихО). |
|
|
1. |
Если |
увеличивается, |
то |
|
||||
2. |
Если |
АН) |
уменьшается, |
то |
A il) |
< wit). |
|
|
3. |
Если |
A(i) |
= const , то Ait) = Ш(Ь) |
|
||||
Третье соотношение описывает важный частный случай, ха рактерный для периода нормальной, работы, когда A(t)= const .
Характеристики потока восстановления
Поток восстановления может характеризоваться параметром потока восстановления ju it) , представляющим интенсивность по тока. Физический смысл ju (i) - вероятность восстановления в те чение достаточно малого отрезка времени. Если поток восстановле
ний простейший ординарный, |
стационарный поток без последствий, |
||
то ju (t) |
является величиной, |
обратной среднему времени восста |
|
новления |
Tg |
в |
/ |
^ * Tt
Комплексные характеристики надежности систем с восстановлением
Потоки отказов и восстановлений описывают процесс функци онирования объекта с двух сторон независимо друг от друга. Для связи потока вводятся комплексные показатели, в качестве
которых используются обычно коэффициент готовности |
КГ (Ь) и |
|||
коэффициент оперативной готовности |
Ког |
|
|
|
Коэффициент готовности - это вероятность застать объект |
||||
исправным в произвольно выбранный момент времени t |
. Для прос |
|||
тейших потоков |
|
|
|
|
Кг - у•Л |
* |
Tt |
|
|
Коэффициент оперативной готовности - это вероятность того, |
||||
что объект, будучи исправным в момент |
t |
, проработает безот |
||
казно в течение времени Т . Ko r (t)£) |
вычисляют как произведе |
|||
ние вероятности застать объект исправным в момент t (Кг) на вероят
ность безотказной работы |
|
Рост(ъ) |
в течение оставшегося интерва |
||
ла времени: |
|
|
|
|
|
|
коги,гг) |
= |
Kr PoeTct) |
||
Если время безотказной работы имеет экспоненциальное распре |
|||||
деление, |
то Рдст (Ъ) |
- |
£~tac |
, отсюда |
|
|
|
|
*orCi,t) |
|
-соъ |
|
|
|
|
Кг & |
|
Если |
со(6) Ф const |
|
, ТО |
Р0СТ( С) вычисляется с помощью |
|
общей формулы |
|
|
|
|
|
Px r (t) -
0 г
5.2. Расчет надежности по графу работоспособности
Исследование надежности восстанавливаемых объектов требует привлечения аппарата случайных процессов, описывающих процессы
перехода изделия из одного состояния в другое в. случайные мо менты времени. Этим данные расчеты отличаются от расчетов на дежности невосстанавливаемых объектов, где достаточно теории случайных событий и величин.
Ниже рассматривается по этапам наиболее иллюстративный ме тод расчета надежности,основанный на составлении графа, переходов изделия в различные состояния работоспособности.
На первом этапе составляется граф работоспособности объек та. Для этого определяются все состояния работоспособности с учетом блоков системы и устанавливаются интенсивности перехо дов по данным состояниям. Например, для системы с восстановле нием из двух блоков (рис. 5.2), один из которых резервный, мо гут быть выделены следующие состояния:
Рис. 5.2 |
Рис. 5.3 |
1.Блок I и блок 2 исправны (система полностью исправна).
2.Блок I отказал, блок 2 исправен.
3.Блок 2 отказал, блок I исправен.
4.Отказ блока I и блока 2 (отказ системы).
Вероятность нахождения системы в L -м выделенном состоя
нии обозначается Р^ |
. Вероятность перехода из L состояния в |
J - P^j. . Например, |
Р^ - вероятность отказа первого блока, |
Ру - вероятность восстановления первого блока и т.д.
Граф работоспособности системы (см. рис. 5,2), построенный с учетом введенных обозначений, представлен на рис. 5.3.
Граф переходов по состояниям можно представить также мат рицей переходов, используемой в дальнейшем для автоматизации расчетов
А . -
|
- |
50 - |
Вероятности |
, Р^ |
вследствие орди |
нарности потока равны нулю.
Система уравнений, определяющая вероятности состояний, имеет следующий вид:
р( а * л Ь ) = p ,a )tiiP 12(Ai)+
P3Ct*AihP3CiHf-[^(Ai)*f^CAtXI}* Р,СЩ5(аЩ С Щ 5СМ), ^С Ш £)^ Ш О Щ (А О *^ 5Ш } * Р 2а)^С л£)*^(6)^(А б). -
Уравнения системы, например первое, читается следующим образом: вероятность того, что система во время Ь + дЬ бу дет находиться в первом состоянии, равна произведению вероят ности того, что система в момент времени t находилась в пер вом состоянии и вероятности отсутствия перехода во второе и третье состояния, плюс вероятности того, что система находи
лась во втором или третьем состоянии в момент t , умноженные на вероятности перехода из этих состояний в первое за промежу ток дЬ
Если дЬ достаточно мало, то |
д£ , где |
|
интенсивность перехода из и -го состояния в j. -е состояние. |
||
Система, записанная в функциях интенсивностей, имеет сле |
||
дующий вид: |
|
|
pf a+A t) = p>(t)- р]( ш /2 * л 1})а £ + р2 сm |
2i&t+р3 |
t, |
ц а + л и - ц с щ с Ш я * л ^ аь +ptcо л 12аt*p 4 c |
A t , |
|
P3(t+Ai) =P3(6)-P5(t)(Jjf+J„)At+ Pf (6)Jf3At+ Р /Ш ц А б, PqCt *A6)= P^ (6) “PI C£)C'^’^2*Лп )АЬ * P2(~£)Л2^аt *P3ОХЛ3^At.
Перенос везде P^(t) влево и деление уравнений на At приводит к получению в левой части
M l * A t ) - P j U ) |
APL(i) |
At |
At |
При условии Л t => |
0 получаем |
Л Р^Ш/л t |
= dPL( t ) / d t |
В окончательном виде система описывается следующими дифферен циальными уравнениями:
щ ш /d t =-Pf(iUfl -Р} сш 15+ Ргст 21+Р3(Ш }1,
dP^D/dt=*Pf(m /2-Р2 (Ш21 * Р2 (Ш у + Р4ш л 42> |
|
dPsCi)/di =Pi(1)Яа - Р3 Сш з, * Ps (Ш 5!/ * Р4а щ $ , |
(5.1) |
|
dP4 (6)/dt=р2( ш 24 - р3 а и м * р4 (щ 2 +р4а щ } .
При расчетах надежности систему уравнений составляют по графу работоспособности сразу в виде (5.1), минуя рассмотрен ные пояснительные этапы. Существует следующее правило составле ния системы. В левой части каждого уравнения записывается
d?l ( t)/d t . В правой части уравнения содержится столько чле нов, сколько стрелок связано (входит и выходит) с данным сос тоянием. Каждый член равен произведению интенсивности потока Л , переводящего систему по данной стрелке, умноженной на ве роятность того состояния, откуда стрелка исходит. Если стрелка входит в описываемое состояние, то произведению присваивается знак V , если исходит - то знак
Приведенное правило позволяет после получения графа рабо тоспособности изделия составить систему дифференциальных уравне ний, описывающих функционирование объекта.
На втором этапе в соответствии с приведенным правилом по графу работоспособности изделия составляется система дифферен циальных уравнений, описывающих надежность объекта.
На третьем этапе решаются уравнения системы и находятся искомые вероятности пребывания объекта в состояниях его рабо тоспособности. Очевидно» что в рассматриваемом примере коэффи циент готовности равен вероятности застать ответ в одном иа трех работоспособных состояний:
Кг - Р,(0* Ц(1) + Р , Ш