Оптимальное проектирование конструкций

КНМВП+ОПВП – квазиньютоновский метод с вычислением производных и процедурой одномерного поиска, использующей производные;

ППМГ – программа проверки правильности вычисления матрицы Гессе;

МН – метод ньютоновского типа; КНМВП+ОПВП – квазиньютоновский метод с вычислением производ-

ных и процедурой одномерного поиска без вычисления производных.

В заключение отметим, что практически все задачи оптимального проектирования содержат ограничения, однако существует достаточно большой класс методов, позволяющих сводить задачи с ограничениями к задачам без ограничений и, следовательно, использовать рассмотренные в этом разделе алгоритмы.

62

4.ЗАДАЧИ МНОГОМЕРНОЙ ОПТИМИЗАЦИИ

СОГРАНИЧЕНИЯМИ

Для большинства инженерных задач оптимизация реализуется при наличии некоторого количества ограничений на управляемые переменные. Такие ограничения существенно уменьшают размер области, в которой производится поиск оптимума. В этом случае оптимизация становится более сложной, поскольку критерии оптимальности, установленные в задачах без ограничений, уже нельзя использовать. При этом может нарушаться даже основное условие, в соответствии с которым оптимум достигается в стационарной точке. Например, функция

f (x) = (x − 2)2 при − ∞ ≤ x ≤ ∞

в точке х = 2 имеет минимальное значение, однако если наложить ограничение x ≥ 4 , то условный минимум будет в точке х = 4 и в этой точке условие стационарности не выполняется ( f ′(4) = 4) .

В общем случае условную задачу оптимизации можно сформулировать следующим образом: найти такой n-мерный вектор параметров опти-

мизации х = (х1, х2, …, хn)т, при котором критерий качества был бы минимален:

при выполнении ограничений в форме равенств и неравенств

Сформулированная таким образом задача математического программирования является сложной и до сих пор не имеет полного решения. Некоторые трудности, встречающиеся в задачах подобного типа, проиллюстрированы на рис. 4.1, где изображены линии постоянного уровня миними-

зируемой функции. По мере удаления от точки х* – точки минимума функции при отсутствии ограничений – значения функции будут расти. На рисунке показаны также границы области ограничений gi(x) = bi, а сама область допустимых значений зашрихована.

На рис. 4.1, а минимум функции при наличии ограничений совпадает с минимумом функции без ограничений. Все ограничения имеют вид строгих неравенств, и, зная это заранее, можно было бы пренебречь ограничениями и решить задачу уже известными методами безусловной минимизации. На рис. 4.1, б точка минимума при наличии ограничений лежит на

63

кривой g2(x) = b2, а два других ограничения неактивны (не влияют на положение точки минимума). Зная это заранее, можно было бы пренебречь ограничениями g1 и g3 и решить эту задачу как задачу с одним ограничением – равенством g2 = b2.

g2 = b2

g2 = b2

g3 = b3

х* ≠ хopt

g4 = b4

Рис. 4.1

В некоторых случаях наличие ограничений может приводить к появлению нескольких локальных минимумов, в то время как при отсутствии ограничений функция имеет только одну точку минимума.

Изображенная на рис. 4.2 функция имеет только одну точку минимума при отсутствии ограничений. Однако для задачи с ограничениями обе точки, А и В, являются локальными минимумами, поскольку ни в одной из допустимых точек в ближайших окрестностях А или В функция не принимает меньших значений.

g1 = b1

g3 = b3

g2 = b2

Рис. 4.2

64

Некоторые из рассмотренных трудностей устраняются, если ограничиться случаем, когда область допустимых значений и минимизируемая функция выпуклы.

Определение выпуклой (вогнутой) функции было дано ранее для одномерной задачи, оно сохраняется и для многомерной функции. Для области дадим геометрическое толкование этого термина: область является выпуклой, если отрезок прямой, соединяющий любые две точки области, принадлежит этой области. На рис. 4.3, а отображена выпуклая область, а на рис. 4.3, б – невыпуклая.

Р1 Р2

Р1 Р2

Рис. 4.3

Пример 4.1. Найти минимальное и максимальное значение функции

f = x12 + x22

при ограничениях

x1x2 ≤ 4; x1 + x2 ≥ 5; x1 ≤ 7; x2 ≤ 6; x1 ≥ 0; x2 ≥ 0.

Р е ш е н и е . В этом случае область допустимых значений не является выпуклой и состоит из двух отдельных частей (рис. 4.4).

Минимальное значение функции fmin = 17 достигается в точках А(1; 4) и L(4; 1). Функция имеет два локальных максимума: в точке D(2/3; 6) fmax = 328 / 9 и в точке М(7; 4/7) fmax = 2417/49.

Точка М является точкой глобального максимума.

Рассмотренный пример легко решить графически. Для задач большой размерности необходимо

65

Сформулируем теперь необходимые условия стационарности в задачах на условный экстремум. Начнем рассмотрение со случая, когда ограничения даны в форме равенств, т.е. область допустимых значений – поверхности (или линии в двумерной задаче).

4.1.Критерии оптимальности

4.1.1.Необходимые условия оптимальности при наличии ограничений-равенств

Пусть требуется минимизировать функцию f (x1, x2 , ..., xn ) при ограничениях типа равенств h j (x1, x2 , ..., xn ) = 0 ( j = 1, ..., k ; k < n ). Если равенства h j (x1, x2 , ..., xn ) = 0 достаточно просты, то из них можно найти k

переменных, выраженных через остальные (n – k) переменные. Подставив эти значения в функцию, мы, во-первых, уменьшим размерность задачи, а во-вторых, перейдем к задаче на безусловный экстремум, критерии оптимальности и методы решения которой уже рассмотрены.

условии x1 + x2 + x3 −1 = 0 .

Р е ш е н и е . Из ограничения имеем

x1 = 1 − x2 − x3 ,

тогда

f (x) = (1 − x2 − x3 )x2 x3 .

Условия минимума:

Использованный в примере метод называется методом исключения переменных. При наличии большого числа ограничений, да еще сложного вида, этот метод становится весьма трудоемким, поэтому для решения удобнее воспользоваться необходимыми условиями оптимальности в задачах подобного класса.

66

Рассмотрим первоначально задачу минимизации функции двух переменных f (x1, x2 ) , где на x1 и x2 наложено ограничение, задаваемое

уравнением h(x1, x2 ) = 0.

Разрешим уравнение h(x1, x2 ) = 0 относительно x2 как функцию от x1 , т.е. x2 = ϕ (x1) . Необходимость учета ограничения приводит к тому, что из всех точек плоскости (x1, x2 ) интерес представляют лишь те, которые лежат на линии, определяемой уравнением x2 = ϕ (x1) . Тогда функцию f (x1, x2 ) можно выразить как функцию только одной переменной f (x1, x2 ) = f [x1, ϕ (x1)] и тем самым перейти от задачи с ограничением к

задаче без ограничения.

Конечно, на практике может оказаться трудным или даже невозможным найти явный вид функции ϕ (х1) , однако при выполнении определен-

ных условий дифференцируемости можно выразить ее производную. Так как h(x1, x2 ) = h[x1, ϕ (x1)] = 0 , то

Последнее равенство можно записать в виде системы уравнений:

ные точки экстремума. Главное удобство найденной формы записи необходимых условий в том, что она может быть получена более коротким и формальным путем. Для этого достаточно составить выражение

F (x1, x2 , λ ) = f (x1, x2 ) + λ h(x1, x2 ),

67

считая x1, x2 , λ независимыми переменными, и записать необходимые условия оптимальности

Эта система совпадает с системой (4.4). Функция F (x1, x2 , λ ) назы-

вается функцией Лагранжа, λ – множитель Лагранжа.

Рассмотренный подход можно обобщить на случай произвольного числа переменных.

Рассмотрим задачу минимизации функции n переменных с учетом одного ограничения в виде равенства: минимизировать

h(x* ) = 0 . Тогда, как нетрудно видеть, х* минимизирует (4.5) с учетом (4.6), поскольку для всех значений х, удовлетворяющих (4.6), h(x) = 0 и min F (x, λ ) = min f (x).

Осталось подобрать значение λ = λ * таким образом, чтобы координата точки безусловного минимума х* удовлетворяла равенству (4.6). Это можно сделать, если, рассматривая λ как переменную, найти безусловный минимум функции (4.7) в виде функции λ , а затем выбрать значение λ , при котором выполняется равенство (4.6).

В случае, если число ограничений-равенств, например, равно k, функция f (x) непрерывно дифференцируема в окрестности точки услов-

68

Здесь λ 1, λ 2 , ..., λ k – множители Лагранжа, т.е. неизвестные параметры,

значения которых необходимо определить. Приравнивая частные производные F по x и по λ, получим n + k уравнений с n + k неизвестными:

Таким образом, для отыскания возможных точек экстремума необходимо решить систему (n + k) уравнений. Преимущество рассмотренного метода в том, что можно не учитывать взаимную зависимость переменных, недостатком является необходимость решения громоздких уравнений (4.9).

Пример 4.3. Оптимальное проектирование стойки [2]. Из круглого бревна радиусом R необходимо выпилить балку с прямоугольным поперечным сечением (рис. 4.5) так, чтобы ее можно было наиболее эффектив-

ловии h2 + b2 = 4R2 .

Эта задача легко решается методом исключения, для чего достаточно выразить из ограничения одну переменную проектирования через другую,

например, h2 = 4R2 − b2 . Так как h = 4R2 − b2 , то

69

b = R2 = h.

Решим эту же задачу с помощью множителей Лагранжа:

F (h, b, λ ) = hb + λ (4R2 − h2 − b2 ) max .

Условия экстремума:

Из первых двух уравнений следует h = b (сечение квадратное), а из последнего – h = b = R2.

Пример 4.4. Проектирование двухстержневого кронштейна. Двухстержневой кронштейн (рис. 4.6) проектируется для восприятия груза Р (расстояние l задано). Считая одинаковым допускаемое напряжение на растяжение и на сжатие [σ ] , определить значение угла α , минимизирующее суммарный объем двух стержней, удовлетворяющих условиям прочности.

Р е ш е н и е . Минимизируемая функция – объем

70