Методы вычислительной математики

прерывно зависит от входных данных, то есть от начальных (граничных) условий и коэффициентов уравнения.

Численное решение задачи считается корректным, если исходная задача поставлена корректно и ее дискретный аналог сохраняет свойства корректности, то есть получаемая система алгебраических уравнений однозначно разрешима и устойчива1 по входным данным.

Задача Коши заключается в отыскании функции y(x), удовлетворяющей дифференциальному уравнению

Здесь f(x, y) – заданная непрерывная функция двух аргументов.

Условия существования и единственности решения задачи (8.1) устанавливает следующая теорема.

Теорема 8.1 (Пеано2, [47]). Пусть функция f(x, y) непрерывна в открытой области D. Тогда через каждую точку (u, v) этой области проходит хотя бы одна интегральная кривая. Каждая интегральная кривая может быть продолжена в обе стороны вплоть до границы любой замкнутой области G, целиком содержащейся в D и содержащей точку (u, v) внутри себя.

Кроме того, если функция f(x, y) имеет в области D непрерывные частные производные первого порядка или удовлетворяет условию Липшица,

f (x, y2 )− f (x, y1 ) ≤ K y2 − y1 , (x, y1 ),(x, y2 ) G, K =const >0,

то задача (8.1) имеет единственное решение.

В дальнейшем предполагается, что правая часть f(x, y) уравнения (8.1) дифференцируема требуемое число раз.

Пример 8.1. На материальную точку с массой m, находящуюся на гладкой горизонтальной поверхности, действует горизонтальная гармоническая сила, модуль которой зависит от времени, F(t)= Asin(t). Найти закон движения точки, если ее начальная скорость равна v0.

Уравнение, описывающее движение точки, имеет вид mxtt′′ = Asin(t).

В качестве начальных принимаются условия:

1Под устойчивостью в данном случае понимается непрерывная зависимость решения от входных данных [15].

2Пеано Джузеппе [27.8.1858 – 20.9.1930] – итальянский математик. С 1890 года – профессор Туринского университета.

161

x(0) = 0, v(0)= xt′(0)= v0 .

Интегрирование исходного уравнения с заданными начальными условиями дает решение

v(t) = v0 + A[1 − cos(t)]m, x(t)= (v0 + Am)t − Asin(t)m

непрерывно зависящее от начальных условий x(0) = 0, v(0)= v0 и коэффициентов A, m. При условии, что v0 = − Am , решение задачи принимает вид

x(t)= − Asin(t)m ,

что соответствует случаю гармонического колебания точки вблизи ее начального положения. Иными словами, t > 0 x(t) ≤ Am . Очевидно, что при малом

отклонении величины v0 от выбранного значения − Am , например за счет погрешности округления в ЭВМ, численное решение задачи дает (рис. 8.1)

x(t) →∞.

t→∞

Рис. 8.1. Действительное решение (кривая 1) и возмущенное решения (кривая 2) задачи из примера 8.1

Таким образом, даже при корректно поставленной задаче ее численное решение может быть связано со значительными трудностями.

8.1. Устойчивость решения задачи Коши

Наряду с уравнением (8.1) рассматривается задача

162

где δ(x), γ – возмущения, вносимые в правую часть уравнения (8.1) и начальные условия.

Задача Коши (8.1) абсолютно устойчива [47], если ε > 0 η > 0 такое,

ние устойчиво, если «возмущенное» решение «не слишком сильно» отличается от исходного.

Рассматриваются условия устойчивости решения по начальному условию, то есть полагается δ(x) ≡ 0 . Оценивается погрешность решения

Для этого из выражения (8.2) вычитается уравнение (8.1):

′ = ~′( )− ′ ( )= ( ~)− ( )= ( + ) − ( )

zx yx x yx x f x, y f x, y f x, y z f x, y .

При использовании теоремы Лагранжа о среднем для правой части последнего выражения получается:

f (x, y + z)− f (x, y) = zf y′(x, y + θz), θ (0,1).

Полученное дифференциальное уравнение z′x = zf y′(x, y + θz)

решается с помощью разделения переменных: dzz = f y′(x, y +θz)dx ,

Очевидно, что погрешность z не будет возрастать, если x z ≤ z0 . Но это

возможно в том случае, когда ∫x f y′(t, y +θz)dt ≤ 0 . Поскольку это требование

0

должно выполняться для любого значения x, необходимо потребовать, чтобы имело место неравенство f y′ ≤ 0 .

163

и различие между основным и возмущенным решениями уменьшается с увеличением значения аргумента (рис. 8.2, а).

а б

Рис. 8.2. Примеры сходимости (а) и расходимости (б) основного (кривые 1) и возмущенного (кривые 2) решений задачи из примера 8.2

При k > 0 условие устойчивости не выполняется, f y′(x, y) = k > 0, погрешность

и различие между основным и возмущенным решениями увеличивается с ростом аргумента x (рис. 8.2, б).

8.2. Метод Пикара1

Уравнение (7.1) интегрируется с помощью разделения переменных:

1 Пикар Шарль Эмиль [24.7.1856 – 11.12.1941] – французский математик. В 1877 году окончил Высшую нормальную школу в Париже. С 1881 года – профессор этой же школы, а с 1886 года – профессор Парижского университета. С 1895 – член-корреспондент Петербургской академии наук; с 1889 – член Парижской академии наук; с 1924 года – член Французской академии наук; с 1925 года – почетный член Академии наук СССР.

164

dy = f (x, y)dx,

0

С помощью последнего соотношения строится итерационный процесс

при этом в качестве «нулевого» приближения выбирается y(0) (x)≡ y0 = const. Интеграл в правой части процедуры (8.5) вычисляется точно или численно.

Пример 8.3. Найти методом Пикара решение уравнения y′x = −ky , y(0)=1.

Начальное приближение строится в соответствии с идеей метода:

y(0) (x)≡1.

Первое приближение

y(1) (x)= y0 + ∫x f (t, y(0) (t))dt =1 + ∫x (− ky(0) (t))dt =1 − k ∫x 1dt =1 − kx .

четвертое,

y(4) (x) = 1 + ∫x [− k(1 − kt + (kt)2 2 − (kt)3 6)]dt =

0

=1 − kx + (kx)2 2 − (kx)3 6 + (kx)4 24,

итак далее. Получаемая последовательность решений представляет собой частичные суммы разложения в ряд Тейлора экспоненты y(x)= e−kx , являющейся

точным решением поставленной задачи.

Условия сходимости решения уравнения методом Пикара

Предполагается, что в ограниченной области

G ={(x, y) x [0,T ], y [a,b]},

165

правая часть f (x, y) уравнения (8.1) удовлетворяет условию Липшица,

f (x, y2 )− f (x, y1 ) ≤ K y2 − y1 .

Вследствие ограниченности области (x, y) G выполнены соотношения x ≤T, y − y0 ≤ H = b − a .

Вычитая из соотношения (8.5) уравнение (8.4), можно определить погрешность приближенного решения,

z(s) (x)= y(s) (x)− y(x)= ∫x [f (x, y(s−1) (t))− f (x, y(t))]dt ,

0

и оценить модуль погрешности,

Поскольку z0 (x) = y0 − y(x) ≤ H (решение рассматривается внутри облас-

ти G), получается:

z(1) (x) ≤ K ∫x z(0) (t)dt = HKx ,

z(3) (x) ≤ K ∫x z(2) (t)dt = HK 3 x3 6 ,

следует, что погрешность решения уменьшается с ростом числа итераций,

z(s) (x) ≤ H (KT )s s! →0 ,

s→∞

иметод Пикара сходится к точному единственному решению исходной задачи.

8.3.Метод Эйлера

166

Пусть для отрезка [a, b], на котором ищется решение дифференциального уравнения (8.1), построена сеточная область Ωm ={a = x0 < x1 <…< xm = b} с постоянным шагом h. Для построения решения обыкновенного дифференциального уравнения (8.1) используется разложение искомой функции y(x) в ряд Тей-

ния точного решения исходной задачи.

Пример 8.4. Решить методом Эйлера уравнение y′x = −y, y(0)=1.

В этом частном случае правая часть дифференциального уравнения имеет вид f (x, y) = −y , то есть вычислительная схема метода Эйлера (8.6) записыва-

ется следующим образом:

yk+1 = yk − yk h = yk (1 − h), k =1,2,…

Строится последовательность значений функции yk для узлов сетки Ωm ,

y0 = y(0) =1,

y1 = y0 (1 − h) = (1 − h),

y2 = y1 (1 − h)= (1 − h)(1 − h)= (1 − h)2 ,

y3 = y2 (1 − h) = (1 − h)3 , … ym = (1 − h)m .

Для оценки точности получаемого численного решения производятся вычисления с различными шагами интегрирования h (табл. 8.1). Точное решение y(x) = e−x , например, для x = 10 принимает значение y(10)=0,453999·10–4.

Таблица 8.1 Результаты численного решения ym методом Эйлера обыкновенного дифференциального уравнения y′ = −y с начальным условием y(0) = 1

167

Три верные значащие цифры получены для шага h = 0,0001, при этом требуется выполнить 100000 «шагов» по аргументу x, то есть необходимо 100000 раз выполнить вычисления в соответствии с формулой (8.6). Для оценки точности решения погрешность представляется разностью

zk = yk − y(xk ),

определяющей отклонение численного решения по схеме Эйлера от точного. Соотношение (8.6) записывается в виде разностного аналога дифференциального уравнения (8.1),

Подстановка в формулу (8.6) значений yk = zk + y(xk ) и yk+1 = zk+1 + y(xk+1 ) дает выражение

(zk+1 − zk )h + [y(xk+1 )− y(xk )]h = f (xk , zk + y(xk )).

Преобразование последней формулы с помощью добавления в правую часть и одновременного вычитания f (xk , y(xk )) приводит к результату

(zk+1 − zk )h = −[y(xk+1 )− y(xk )]h + f (xk , zk + y(xk )) + f (xk , y(xk ))− f (xk , y(xk )),

= −{[y(xk +1 )− y(xk )]h − f (xk , y(xk ))}+ f (xk , zk + y(xk ))− f (xk , y(xk )).

Выражение в фигурных скобках представляет собой разностный аналог выражения (8.7), в котором приближенные значения yk искомой функции заменены точными значениями y(xk). Это позволяет проверить, насколько точно разностный аналог (8.7) аппроксимирует исходное дифференциальное уравнение (8.1). Величина

определяет погрешность аппроксимации разностным аналогом исходного дифференциального уравнения. Для оценки этой погрешности разложение решения в ряд Тейлора

y(xk+1 )= y(xk )+ y′x (xk )h + y′xx′ (xk )h2 2 +…

подставляется в формулу (8.9):

168

ψk = [y(xk ) + y′x (xk )h + y′xx′ (xk )h2 2 +…− y(xk )]h − f (xk , y(xk ))=

= y′x (xk ) + y′xx′ (xk )h2 +…− f (xk , y(xk )).

Поскольку согласно исходному уравнению y′x (xk ) = f (xk , y(xk )),

оценка погрешности принимает вид

ψk = y′xx′ (xk )h2 +…= O(h).

При условии, что значения второй производной y′xx′ (xk ) ограничены на отрезке [a, b], погрешность аппроксимации оказывается величиной, пропорциональной первому порядку шага интегрирования. В общем случае порядок погрешности аппроксимации равен p, если имеет место соотношение вида

ψk = O(h p ).

Второе слагаемое в формуле (8.8) в соответствии с теоремой Лагранжа о среднем можно представить в виде

f (xk , y(xk ) + zk ) − f (xk , y(xk ))= f y′(xk , y(xk )+ θzk )zk , θ (0,1).

Тогда выражение (8.8) преобразуется следующим образом: (zk+1 − zk )h = f y′(xk , y(xk )+ θzk )zk + O(h),

zk+1 = zk + f y′(xk , y(xk )+ θzk )zk h + O(h2 )= zk [1 + f y′(xk , y(xk )+ θzk )h]+ O(h2 ).

Для того чтобы при выполнении вычислений погрешность не возрастала, требуется выполнение условия 1 + f y′(x, y)h ≤1, или −1 ≤1 + f y′(x, y)h ≤1. Отсю-

≤ K y(xk )+ zk − y(xk ) zk = K,

−K ≤ f y′(x, y)≤ K.

Сучетомусловияустойчивостирешения f y′(x, y)≤ 0 получается неравенство

169

170