Моделирование процесса
..pdf1.3. Волновое уравнение и решения для комплексной амплитуды
|
|
Волновое уравнение ∆H |
m |
+k2 |
H |
m |
= 0. |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
Его решение |
Hm = Hm ( X1; X2 ) e– jk0x3 |
описывает |
волну, |
|||||||||||||||
распространяющуюся |
в |
|
направлении |
|
оси |
Х3. |
Здесь |
|||||||||||||
k |
|
= k |
1− |
λ1 |
2 = k |
1− |
fкр |
2 |
, |
где |
|
λ |
|
и |
f |
|
– критические |
|||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
0 |
1 |
λкр |
1 |
|
f |
|
|
|
|
|
кр |
|
|
кр |
|
|
значения длины волны и частоты, при которых поле вдоль оси Х3 не распространяется.
Волновое уравнение для комплексной амплитуды в вектор-
ной форме ∆H |
m |
+k2 |
H |
m |
= 0 эквивалентно трем скалярным |
|
1 |
|
|
уравнениям. Запишем одно из них:
∂2 Hm3 + ∂2Hm3 + χ2 Hm3 = 0,
∂X12 ∂X22
χ2 = k12 −k02 ;
χ1 = Maπ; χ2 = Nbπ.
Скалярные уравнения для параметров Hm1; Em1; Hm2 ; Em2 ; Em3 ≡ 0 можно получить из 1-го и 2-го уравнений Мак-
свелла.
Скалярные решения волнового уравнения для комплексной амплитуды при граничных условиях Е1 = 0, когда Х2 = a, X2 = b; E2 = 0, когда Х1 = 0, Х1 = а, имеют вид
Hm3 |
= χH cos |
M π X1 |
cos |
Nπ |
X2 |
e− jk0x3 |
; |
|
|
||||||||
|
|
a |
|
|
b |
|
|
42
Стр. 42 |
ЭБ ПНИПУ (elib.pstu.ru) |
|
|
M 2 |
|
N 2 |
2 |
2 |
|
|||
χ = π |
|
a |
|
+ |
|
|
= χ1 |
+χ2 |
; |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
M и N – целые числа (1, 2, 3…).
Hm1 |
= jk0 |
χ1 |
H sin |
M π X1 |
cos |
|
Nπ |
|
X2 |
e− jk0x3 |
; |
|
2 |
|
|
||||||||||
|
|
χ |
|
a |
|
|
|
b |
|
|
||
Hm2 |
= jk0 |
χ22 |
H cos M π X1 sin |
Nπ |
X2 |
e− jk0x3 |
; |
|||||
|
||||||||||||
|
|
χ |
a |
|
b |
|
|
Em1 |
= − jωµa1 |
χ22 |
H cos M π X1 |
sin |
|
Nπ |
|
X2 |
e− jk0x3 |
; |
|
|
|
||||||||||
|
|
χ |
a |
|
|
|
b |
|
|
||
Em2 |
= − jωµa1 |
χ1 |
H sin M π X1 |
cos |
Nπ |
X2 |
e− jk0x3 |
; |
|||
2 |
|
||||||||||
|
|
χ |
a |
|
b |
|
|
Em3 ≡ 0.
1.4. Критические параметры
Критические значения длины волны и частоты можно получить из выражения
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
= k 1− |
χ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
λ1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
fкр |
. |
||||||||
|
k |
|
|
|
= k 1− |
|
|
|
|
= k |
|
|
1− |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
λ |
|
|
|
|
|
f |
||||||||||||||||||||||
|
|
0 |
1 |
k |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
кр |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|||||
Условием распространения волны по волноводу является |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
вещественное значение k0: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
χ |
2 |
|
|
|
|
λ1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f |
кр |
2 |
|
|
||||||||||
1 |
− |
|
|
> 0; |
1− |
|
|
|
|
> 0; |
|
1− |
|
|
|
|
> 0. |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
k1 |
|
|
|
|
|
λкр |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
Откуда следует, |
что |
|
|
χ |
= |
|
λ1 |
= |
|
fкр |
≤1, |
|
то есть в волноводе |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
λ |
|
|
f |
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
кр |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
могут распространяться волны, для которых
43
Стр. 43 |
ЭБ ПНИПУ (elib.pstu.ru) |
χ ≤ k1; λ1 ≤ λкр; f1 ≥ fкр.
Критическая длина волны зависит только от геометрических размеров волновода:
λкр = |
|
|
2 |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|||
|
M 2 |
|
|
||||
|
N 2 |
||||||
|
|
a |
|
+ |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
b |
Критическая частота зависит и от размеров волновода, и от параметров среды в волноводе:
|
|
M 2 |
|
N 2 |
|
||
|
|
a |
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|||||
fкр = |
|
|
|
b |
|
||
|
|
2 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
1 .
µa1εa1
Обозначим λв, vфв, Z0в – длину волны, фазовую скорость и волновое сопротивление электромагнитной волны, распространяющейся в волноводе:
λв = |
λ1 |
|
= |
λ1 |
, |
||||
|
λ |
2 |
|
fкр 2 |
|||||
|
|
|
|||||||
|
1− |
1 |
|
|
1− |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
||||||
|
|
λкр |
|
|
f1 |
|
vфв = |
|
|
vф1 |
|
|
= |
vф1 |
|
|
, |
|||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
λ |
|
|
|
|
fкр 2 |
|||||
1 |
− |
1 |
|
|
|
|
1− |
|
|
|
|||||
|
|
f |
|||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
λкр |
|
|
1 |
|
|||||||
Z0в = |
|
Z01 |
|
|
|
= |
Z01 |
|
|
|
. |
||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
λ |
|
|
|
|
fкр 2 |
|||||
|
|
1− |
|
1 |
|
|
|
|
1− |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
λкр |
|
|
|
f1 |
|
|
44
Стр. 44 |
ЭБ ПНИПУ (elib.pstu.ru) |
2. Типы волн и их свойства
Н3 вдоль оси Х3 – бегущая; |
волны Е1 и Е2 у стенок |
Н1; Е1 вдоль оси Х1 – стоячая; |
имеют узлы; |
Н2; Е2 вдоль оси Х2 – стоячая. |
волны Н1 и Н2 у стенок име- |
|
ют пучности. |
М – число полуволн вдоль оси Х1, укладывающихся на отрезке а;
N – число полуволн вдоль оси Х2, укладывающихся на отрезке b.
Если заданы значения а и b, то λкр наибольшая из всех возможных, основной низший тип волны обладает наименьшей дисперсией. Для нее волновод представляет наиболее широкополосную линию связи.
Низший тип волны Н в волноводе а > b есть волна Н10,
М = 1, N = 0, λкр = 2a.
Низший тип волны Е есть волна Е11, M = N = 1, λкр =
= 2ab . a2 +b2
Если задана λосн, то a и b – наименьшие.
В настоящее время вместо слов «типа волны» употребляют термин «мода»; например мода Н10, мода Е11, мода Н1 Е1.
3. Распределение поля волны Н10
3.1. Определяющие уравнения
Определяющие уравнения для волны Н10 имеют вид
Hm3 |
= H cos |
πX1 |
e− jk 0x3 |
; |
|
|
a |
|
|
45
Стр. 45 |
ЭБ ПНИПУ (elib.pstu.ru) |
Х1 – однородное поле E || X1; Х2 – стоячая волна а = λ/2; Х3 – бегущая волна. Hm1 – поперечная составляющая как и E; Hm3 – продольная составляющая; Hm3 = 0 в середине волновода Х1 = a/2; Hm3 = max у узких стенок Х = 0; Х = а.
3.3. Режим бегущей волны
Электромагнитная волна движется вдоль оси Х3. Если на конце волновода энергия полностью поглощается, то в волноводе реализуется бегущая волна. Если энергия не полностью поглощается, то реализуется смешанная волна.
3.4. Передаваемая мощность
Мощность, передаваемая по волноводу вдоль оси Х3, определяется выражением
P0 = ∫S Hд2 Z0 dS,
где Нд – действующее значение поперечной составляющей для
волны Н10.
Для волновода прямоугольного сечения это выражение принимает вид
|
Eдmax |
ab |
|
|
λ1 |
2 |
|||
P0 = |
|
1− |
, |
||||||
|
λ |
|
|||||||
|
Z |
01 |
2 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
кр |
a
где Eдmax – действующее значение Em2 при x = 2 .
Плотность потока энергии в волноводе abP0 меньше, чем в неограниченной среде.
48
Стр. 48 |
ЭБ ПНИПУ (elib.pstu.ru) |
Выводы:
1.По волноводу распространяются волны Н (ТЕ), либо волны Е (ТМ) и не распространяются волны ТЕМ.
2.Волны распространяются с длинами λв ≤λкр. Значение λкр зависит от размеров волновода.
3.Вдоль волновода – бегущая волна, в поперечных сечениях – стоячие волны.
4.Плотность передаваемой энергии в волноводе меньше, чем в неограниченной среде.
Вопросы для самоконтроля
1.В чем заключается причина применения волноводов?
2.Каково граничное значение длины волны для волно-
водов?
3.Что такое волна H?
4.Что такое поперечная электрическая волна TE?
5.Что такое волна E?
6.Что такое поперечная магнитная волна TM?
7.Распространяется ли по волноводу волна TEM?
8.Что означают λкр и fкр для волновода?
9.Справедливо ли соотношение λ1 < λкр для длины волны, способной распространяться по волноводу?
10.Что такое основной низший тип волны?
11.Какими свойствами обладает волна основного низшего
типа?
12.От чего зависит значение λкр?
13.Разъясните утверждение: «для основного низшего типа волны волновод представляет наиболее широкополосную линию связи».
Стр. 49 |
ЭБ ПНИПУ (elib.pstu.ru) |