Интеллектуальные технологии обоснования инновационных решений

причем µ1

убывает в указан-

2

ЦТ

X

ном (2.79) интервале (рис. 2.15)

Основной «каркас» гео-

1

2

метрической

интерпретации

1

функции свертки

с областью

1/2

1

определения

вида

(2.34)

ясен

Рис. 2.15. Центр тяжести функ-

из рис. 2.16.

Малые диагонали как ги-

ции свертки на участке диаго-

потенузы

в

прямоугольных

нали (1.2) (2.1)

треугольниках АВС, АСД, ВСС определяются следующим

образом:

АС = ВД = ВС′ =

2,

(2.81)

C′

α1

α2

2

3

2

β1 Е'

3

С

β2

2

(1.2)

(2.2)

1

3

2

1

3

2

2

2

Е

2

α1

2

2

α1

α2

2

2

α2

В

1

А f (i, j) −1

(2.1)

(1.1)

Рис. 2.16. Геометрическая интерпретация функции

свертки в области определения вида (2.34)

AC′ = 3.

(2.82)

ции:

α1 = arctg AB / BC′ = arctg1/

2,

(2.83)

или

или

α1 = arcsin AB / AC ' = arcsin1/

3,

(2.84)

причем

α1 = arccos BC′/ AC′ = arccos

2/ 3,

(2.85)

π/ 6 < α1 < π/ 4.

(2.86)

Угол α2

как дополнительный –

α2 = π −α1

(2.87)

и

2

π/3 > α2 > π/ 4.

(2.88)

Углы в (непрямоугольных) равнобедренных треуголь-

никах BC′E′

(β1 ) и ABE′ (β2 ) определяются через соотно-

шения:

тупой –

β2 = π−2α1,

(2.89)

2/ 3π >β1 > π,

(2.90)

острый –

2

β2 = π−2α2 ,

(2.91)

2/ 3π <β2 < π.

(2.92)

2

min((1−µ1),(1−µ2 )) =1−µ1,

(2.93)

так как из µ2 < µ1

следует 1−µ2 >1−µ1

min ((1−µ1 ),µ2 ) = µ2 ,

(2.94)

так как из µ1 < µ2

следует µ2 <1−µ1,

min (µ1,(1−µ2 )) = µ1,

(2.95)

min (µ1,µ2 ) = µ2 ,

(2.96)

то есть:

X =1/ max ((1−µ1 ),µ1,µ2 )+ 2/ µ2

=

=1/ max ((1−µ1 ),µ1 )+ 2/ µ2.

(2.97)

1/

(1−µ1 ) + 2 / µ2 ,

0 ≤ µ1 ≤ 0,5, 0 ≤ µ2 ≤ 0,5,

(2.98)

X =

µ1 + 2 / µ2 ,

0,5 ≤ µ1 ≤1, 0 ≤ µ2 ≤ 0,5,

1/

что влечет за собой

(1−µ1 + 2µ2 / (1−µ1 +µ2 ), 0 ≤ µ1 ≤ 0,5, 0 ≤ µ2 ≤ 0,5,

(2.99)

X =

+ 2µ2 )/ (µ1 +µ2 ),

0,5 ≤ µ1 ≤1, 0 ≤ µ2 ≤ 0,5.

(µ1

ˆ ˆ

(2.100)

X = XC

1−µ1 + 2µ2

ˆ

ˆ

1−µ1 +µ2

= XC , 1

≤ XC ≤ 3/ 2,

(

ˆ

)

+µ2

(

ˆ

)

= 0,

(2.101)

(1−µ1 ) 1− XC

2 − XC

откуда

(

)

(

)

µ2 =

1

−µ1

XC

−1

≤ XC ≤ 3/ 2,

2 − XC

, 1

(2.102)

0 ≤µ1 ≤ 0,5, 0 ≤ µ2 ≤ 0,5.

= (

ˆ

(

ˆ

µ2

XC −1

XC −1

ˆ

) −µ1

ˆ

).

(2.103)

2 − XC

2 − XC

Вторая часть выражения (2.99) приводит к уравнению

изопрайс в следующем виде:

µ1 + 2µ2 =

ˆ

+µ2 ),

(2.104)

XC (µ1

откуда получаем выражение

ˆ

−

1

µ2 =µ1

XC

.

(2.105)

ˆ

2 − XC

(2.105) соответственно

(

ˆ

−1

−µ2 (

ˆ

µ1 =

XC

XC −1

ˆ )

ˆ )

(2.106)

2 − XC

2 − XC

и

ˆ

µ1 =µ2

XC −1

.

(2.107)

ˆ

2 − XC

в) Область (2.58) преобразует выражение (2.70) согласно

отношениям

min ((1−µ1 ),(1−µ2 )) =1−µ2 ,

(2.108)

134

так как из µ1 < µ2 следует: 1−µ1 >1−µ2 ,

min ((1−µ1 ),µ2 ) =1−µ1,

(2.109)

так как из 1−µ2 > µ1, следует: 1−µ1 < µ2 ,

min (µ1 (1−µ2 )) =1−µ2 ,

(2.110)

min (µ1,µ2 ) = µ1,

(2.111)

то есть

X =1/ max ((1−µ2 ),(1−µ1 ),(1−µ2 ))+ 2 / µ1

=

=1/ (1−µ1 ) + 2 / µ1.

(2.112)

Из уравнения изопрайсы

ˆ

(2.113)

1/(1−µ1) + 2/ µ1 = XC

ˆ

(2.114)

1/ (1−µ2 ) + 2 / µ2 = XC .

смягчается в областях

определения

отношений (2.103),

(2.105) и (2.106), (2.107).

ˆ

функции свертки f1

Изопрайсы XC

f

1 (2,97)

(2,98)

f

=1

0

1 =

1

1,0

1,1

0,2

1,2

(2,94)

1,3

0,4

1,4

(2,104)

1,5

(78)

0,6

1,6

(2,96)

1,7

0,8

1,8

1,9

1

1,0

1,0

0,2

0,4

0,6

0,8

2

f1 =1

(79)

(2,105)

f1 =2

X С

= 2

X С = 1,9

X С = 1,8

X С = 1,6

X С = 1,7

XС = 1,4

1(2)

0,5(1,5)

0(1)

X

(

(

) (

)

(

(

)))

(2.115)

=1/ max

min 1

−µ1

, 1

−µ2

,min

µ1

1

−µ2

+

+ 2/ max

(

min

((

−µ1

)

,µ2

)

,min

(

µ1

,µ2

))

.

1

AGOC : µ1 =[0, 0.5], µ2 =[0, 0.5],

(2.116)

GBДO : µ1[0, 0.5], µ2 =[0.5, 1],

(2.117)

COHE : µ1[0.5, 1], µ2 =[0, 0.5],

(2.118)

OДFH : µ1[0.5, 1], µ2 =[0.5, 1].

(2.119)

А

f2 =1

G

В

= 2

0,2

f2

0,4

С

0

Д

0,6

0,8

1

1,0

1,1

1,2

1,3

1,4

1,5

1,6

1,7

1,8

1,9

2,0

F

Е f2 =1

0,2

0,4

Н

0,6

0,8

2 f2 = 2

AOC : µ1 ≥ µ2 ,

(2.120)

AOG : µ1 ≤ µ2.

(2.121)

В случае (2.120) выражение (2.114) упрощается:

X =1/ max ((1−µ1 ), µ1 )+ 2/ max (µ2 ,µ2 ) =1/ (1−µ1 ) + 2/ µ2 ,

так как из (2.116) и (2.120) следует:

min ((1−µ1 ), (1−µ2 )) =1−µ1,

(2.122)

min (µ1,(1−µ2 )) = µ1,

(2.123)

min ((1−µ1 ),µ2 ) = µ2 ,

(2.124)

min (µ1,µ2 ) = µ2.

(2.125)

Уравнение изопрайс в этом случае примет вид

1−µ1 + 2µ2

=

=[1,3/ 2],

(2.126)

1−µ1 +µ2

XC ,

XC

или

ˆ

−1

ˆ

µ2 =

XC

−µ1

XC −1

,

(2.127)

ˆ

2

ˆ

2 − XC

− XC

X =1/ max ((1−µ2 ),µ1 )+ 2 / max (µ2

,µ1 ) =

=1/ (1−µ2 ) + 2 / µ2 ,

(2.128)

так как из (2.116) и (2.121) следует:

min ((1−µ1 ),(1−µ2 )) =1−µ2 ,

(2.129)

138

min (µ1,(1−µ2 )) = µ1,

(2.130)

min ((1−µ1 ),µ2 ) = µ2 ,

(2.131)

min (µ1,µ2 ) = µ1.

(2.132)

Тогда уравнение изопрайс опишется выражением

1−µ2 +2µ2

=1+µ2 =

(2.133)

1−µ2 +µ2

XС,

или

µ2 = XС −1.

(2.134)

Уравнения (2.127) и (2.133) позволяют построить проек-

ции линий изопрайс свертки

f2

на область определения (см.

рис. 2.19) и на

этой основе

непосредственно

изопрайсы

XС (X1, X2 ) (рис. 2.20).

XС =2

XС =1,9

XС =1,7

XС =1,5

XС =1,3

XС =2

XС =1,2

XС =1,8

1(2)

XС =1,6

XС =1,4

0,5(1,5)

XС =1,2

1 X1

1(2)

0,5(1,5)

0(1)

2 X 2

Рис. 2.20. Изопрайсы XС

функции свертки

f2

переменных X1 и X

2

Подобласть определения вида (13)

Она отличается

от подобласти (12) только поворотом

вокруг центра на 90° и характеризуется семейством проекций

линий изопрайс функции свертки

f4

на область определения

(рис. 2.21) и семейством изопрайс (рис. 2.22).

0

f3 =1

f3 =1

1,0

1,1

0,2

1,2

1,3

0,4

1,4

1,5

0,6

1,6

1,7

0,8

1,8

1,9

1

2,0

2

0,2

0,4

0,6

0,8

f3 = 2

f3 = 2