Основы биомеханики

σp1 = ρ1 − E1∆ = 0,36 MПa,

σp 2 = −3,57σp1 = −1, 28 MПa.

Окончательно,

P = σp1 A1 + σp 2 A2 = −72,5 Н. (3.18)

Это аксиальная сила, сжимающая копчиковый позвонок быка.

3.3. КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1.Что такое остаточные напряжения?

2.Какова роль остаточных напряжений в развитии и функционировании живых систем (в частности, человека)?

3.Можете ли Вы привести примеры появления остаточных напряжений в неживых тканях?

4.Могут ли остаточные напряжения быть полезными, или это невозможно?

5.Где в вашем организме существуют остаточные напряжения?

72

ГЛАВА 4. ПОВРЕЖДАЕМОСТЬ

ИПЕРЕСТРОЙКА КОСТИ

4.1.НАКОПЛЕНИЕ ПОВРЕЖДЕНИЙ

Понятие повреждаемости (damage) применяется при описании накопления микроповреждений, в частности микротрещин, имеющих место при многих периодических процессах в живых и неживых системах.

Применительно к живым тканям понятие повреждаемости впер-

вые применили Prendergast и Taylor [11].

При описании этого процесса ими были предложены следующие гипотезы.

Первая гипотеза.

Существует повреждаемость (накопление внутренних микротрещин) в живой системе (в частности, кости) даже при равновесии перестройки. Эта величина обозначается как ωRE .

Например, в простейшем опыте растяжения стержня силой Р

(рис. 4.1)

ω = F ,

73

щины заполняют весь объем). Понятие повреждаемости ω ввел Ю.И. Работнов (1958).

В механике известно также другое близкое по смыслу понятие «сплошность» (Л.М. Качанов, 1957):

то есть это отношение несущей нагрузку площади поперечного сечения к номинальной площади.

Стимулом перестройки можно считать изменение повреждаемости, отсчитываемое от состояния равновесия перестройки. Если изменение в накопленной повреждаемости обозначить ∆ω, то тогда имеем

где ω означает актуальную повреждаемость в микроструктуре. Аргументы, доказывающие наличие повреждаемости при рав-

новесии перестройки:

1)в структуре имеются микротрещины, которые можно увидеть с помощью электронного микроскопа;

2)наличие природных зон концентраторов напряжений в кости;

3)масштабный эффект в кости (зависимость прочности от размеров образца, а именно: уменьшение прочности для меньших образцов кости)

Вторая гипотеза.

Известно, что костная ткань является материалом, который обладает свойством восстановления после повреждаемости. Вторая гипотеза состоит в том, что скорость восстановления повреждаемости зависит от гомеостатических напряжений и не изменяется в процессе перестройки.

74

Тогда для здорового организма и пренебрегая эффектом старения, можно записать уравнение

где ω − скорость повреждаемости при данных напряжениях, температуре и плотности кости, ω& RE − скорость восстановления.

В равновесии перестройки мы имеем

Тот факт, что скорость восстановления ω& RE есть константа, не за-

висящая от процесса перестройки, подтверждается следующим фактом. Скорость транспорта к данному месту в кости веществ, формирующих кость, не изменяется непосредственно при изменении напря-

жений, т.е. эта скорость не зависит от накопленной повреждаемости. При равновесии перестройки имеется динамическое равновесие

ω=& ω& RE

между образованием повреждаемости и скоростью восстановления, так что повреждаемость в равновесии перестройки не аккумулируется.

Используя Х для обозначения геометрического параметра репозиции или резорбции кости, мы можем написать закон перестройки

Согласно формуле (4.7) для предсказания временного хода адаптации нужно вычислить скорость накопления повреждений, но не саму повреждаемость.

75

В формулах (4.6), (4.7) Х есть геометрический параметр репозиции или резорбции кости, например радиус трубчатой кости. Параметр С, вообще говоря, зависит от положения в кости.

Замечание. Уравнение (4.4) вводит изменение накопленной повреждаемости (стимул перестройки) как разность между скоростью образования повреждаемости и скоростью восстановления повреждаемости. При этом нужно указать, что скорость образования повреждаемости определяется скоростью цикла нагружения, в то время как скорость восстановления определяется физиологией кости (скоростью вовлечения клеток и транспортом минералов). Многие авторы считают, что необходимо усреднять все функции времени в течение одного дня. Другими словами, мгновенная реакция организма на изменение условий невозможна.

4.2. ПРИЛОЖЕНИЕ МОДЕЛИ

Модель перестройки при накоплении повреждений будет проиллюстрирована на простом примере: перестройка диафиза кости при уменьшении вращательной нагрузки. Диафиз кости моделируется как твердый круговой цилиндр. Эта структурная модель использовалась многими исследователями ввиду ее простоты для описания диафиза длинных костей.

4.3. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПОВРЕЖДАЕМОСТИ

Повреждаемость может быть определена как локальная потеря механической целостности или состояние локального трещинообразования (Качанов, 1958). Механика повреждаемости используется для предсказания постепенного разрушения инженерных структур (Леметр, Шабоше, 1990). Повреждаемость определяется рядом способов в зависимости от используемого анализа. Имеется много практических мер повреждаемости и много математических форм переменных повреждаемости (Крайсинович, 1981). Например, остаточная

76

прочность или уменьшение модуля упругости при усталости, что может быть измерено (Картер, Хейес, 1977) в кортикальной кости, могут быть включены в число переменных повреждаемости.

Здесь мы используем как переменную состояния остаточную жизнь при переменных нагрузках

В частном случае усталости, имеющей место при амплитуде напряжений, равной ∆σi , мы можем написать, что увеличение по-

вреждаемости есть функция от ni / Ni , где Ni есть число циклов до разрушения при амплитуде циклических напряжений, равной ∆σi , и ni − число циклов, происшедших при амплитуде напряжений ∆σi .

разрушения).

Таким образом, скорость увеличения повреждаемости предполагается не зависящей от уровня повреждаемости. При истории нагружения, включающей несколько значений ∆σi , мы можем написать

где m − число ступеней нагружения. Соотношение (4.9) отражает так называемый «принцип линейного суммирования повреждений» (Робертсон, 1952).

Скорость повреждаемости можно оценить как обратную величину по отношению к времени до усталостного разрушения.

77

Здесь вместо времени вводится пропорциональная величина – число циклов при данной амплитуде напряжений. В самом деле

t =T ni ,

где T − период изменения силы.

Эта концепция объясняется на рис. 4.2.

При больших циклических напряжениях число циклов до разрушения мало, что ведет к большой скорости накопления повреждений (это описывается на рис. 4.2 наклоном линии ω (n)). Малые циклические напряжения создают соответственно малую скорость накопления повреждений.

Рис. 4.2. Накопление повреждений при различных напряжениях: N1, N2 – количество циклов до разрушения при∆σ1 и∆σ2

Число циклов до разрушения может быть вычислено из данных, которые получены экспериментально. Например, в работе [12] получено эмпирическое соотношение для гаверсовых костей (компактной ткани с остеонами как структурными элементами костей) в форме

где σ − напряжение в MПa, T − температура в °C, ρ − плотность в г/см3,

H, J, K, M – константы, определенные при данном циклическом нагружении, равные –7,789; –0,0206; 2,364 и 15,470 соответственно.

78

Из (4.11) получаем

log Ni = log σH + log A = log ( AσH ),

где

log A = J T + K ρ+ M .

Далее получим

Ni = AσH ,

ω& = 1 = σ−H 1 = B σα , α = −H , B = 1 .

4.4. ПЕРЕСТРОЙКА ПОВЕРХНОСТИ ДИАФИЗА КОСТИ ПРИ УМЕНЬШЕНИИ ВРАЩАТЕЛЬНОЙ НАГРУЗКИ

Из элементарной теории кручения касательное напряжение в окружном направлении в плоскости, перпендикулярной аксиальному направлению, при диаметре d

где Dp и De представляют собой периостальный (внешний) и эндо-

стальный (внутренний) диаметры. Их начальные значения в рассматриваемом примере равны 30 мм и 20 мм соответственно.

79

Если мгновенные значения эндостального и периостального диаметров равны De (t) и Dp (t) соответственно, то

Подставляя формулу (4.15) для напряжений в соотношение (4.12), получим выражение для ω& , откуда можно получить выражение для

скорости восстановления повреждаемости при диаметрах DeRE и DpRE .

Если же крутящий момент стал в два раза меньше, то скорость изменения повреждаемости напериостальной поверхности

и функциональная нагрузка (в гомеостазе) определяют скорость восстановления повреждаемости в сечении диафиза. Выражение (4.16)

для (ω& − ω& RE ) может быть подставлено в уравнение перестройки

(4.6) для определения выражений, определяющих скорость изменения Dp или De .

Например, скорость изменения Dp

dDp (t) = C (ω& − ω&RE ) = dt

извольныймомент времени t .

80