Теплопередача учебное пособие

С учетом того, что d3 d2 → 1, можно ограничиться первым членом ряда:

ln d3 ≈ d3 − d2 . d2 d2

Отсюда

Если λиз не удовлетворяет этому условию, то с ростом d3 ql будет вначале расти. Дальнейший рост d3 позволит снизить ql (рис. 1.11).

Рис. 1.11. Зависимость тепловыхпотерь от толщины изоляции, наложенной на цилиндрическую стенку

41

Дифференциальное уравнение теплопроводности применительно к двухмерному потоку тепла в массиве запишется в виде

Для решения рассмотренной задачи удобно воспользоваться принципом наложения и методом источников для температурных полей.

Сущность принципа наложения заключается в том, что если температурные поля, возбуждаемые действием тепловых источников, сосредоточенных в теле, описываются линейным дифференциальным уравнением

и если граничные условия на поверхности также описываются линейными уравнениями, то температурные поля, создаваемые отдельными источниками, оказываются независимы друг от друга. В этом случае результирующее распределение температуры в исследуемом теле определяется суперпозицией температурных полей от каждого из источников.

Допустим, что в неограниченном массиве имеется идеальный источник тепла в виде бесконечно тонкой трубки производительностью ql + (Вт/м) и на расстоянии 2 y0 от этого источни-

ка находится такой же производительности сток тепла ql − . Ли-

нии теплового потока от источника к стоку, очевидно, пройдут через плоскость симметрии F .

При независимом действии теплового источника и стока

вмассиве каждый из них создаст температурное поле, которое

вплоскости поперечного сечения осей трубчатого источника и стока имеют вид концентрических окружностей. Для точки P (см. рис. 1.12) можно записать

43

Уравнение (1.80) является решением дифференциального

бесконечного массива с трубчатым источником тепла производительностью ql , Вт/м.

Изотермические линии вмассиве описываются выражением

которой отстоит от начала координат тем дальше, чем меньше перепад температур Θ ( x, y ). Таким образом, для различных

при заданном ql получаем семейство окружностей,

представляющих температурное поле в массиве. Центры окружностей сдвинуты в глубину массива.

Если из бесконечного множества окружностей изотермических линий выбрать одну, диаметр которой равен диаметру трубы d, то из выражения (1.80) можно определить тепловой поток ql .

Предварительно определим отношение r′′r′ , выразив его

через диаметр трубы и глубину ее заложения в массиве. Для двух точек M и N (см. рис. 1.12), взятых на пересечении линий, соединяющих источник и сток с окружностью трубы, справедливы следующие равенства:

тогда

46

или

Можно заметить, что при (2hd )2 >>1 массив, окружаю-

щий трубу, оказывается равновеликим по термическому сопротивлению цилиндрической стенке с наружным диаметром

dэкв = 4h .

Распределение температурного поля в полуограниченном массиве с трубой вычисляется по формуле

Для определения y0 запишем систему трех уравнений:

где r′′ = r′′(M ); r′ = r′(M ) .

Сложим первое и второе уравнения системы (1.88):

умножим и разделим третье уравнение системы (1.88) на 2:

Подставим полученные первоеивтороеуравнения в третье:

откуда

−4 y02 + 4 y0 h + 2 y0 d − 4hy0 + 4h2 + 2hd + 2 y0 d − 2hd − d 2 = = 4 y02 + 4 y0 h + 2 y0 d − 4hy0 − 4h2 − 2hd + 2 y0 d + 2hd + d 2 .

После преобразования получим

8 y02 − 8h2 + 2d 2 = 0,

48

откуда

Тогда уравнение (1.87) можно записать в виде

Принятое условие одинаковой температуры во всех местах плоской поверхности массива F может быть достигнуто лишь при достаточно больших значениях коэффициентов теплоотдачи окружающей среды с неизменной и одинаковой во всех точках температурой.

При конечном значении коэффициента теплоотдачи αF

плотность теплового потока на поверхности массива различна и имеет наибольшую величину в нормальном направлении к поверхности массива от оси трубы (в т. 0 на рис. 1.12). Перепад температуры между поверхностью массива и окружающей средой в этом случае может быть определен по формуле

Теплопередачу трубы при заданных температуре окружающей среды t0 и одинаковом во всех местах поверхности

массива коэффициенте теплоотдачи αF приближенно можно определить, если ввести такую эквивалентную толщину слоя массива δэкв , которая условно заменит внешнее термическое сопротивление:

49

50