Совершенствование методов нормирования макрошероховатых дорожных по

ческую базу для разработки автоматических систем управления, использовать компьютеры и микропроцессоры для управления строительно-дорожными машинами.

Математические модели геометрии участков автомобильных дорог могут быть синтезированы с помощью аналитических или статистических методов. Аналитическая модель предполагает полную детерминированность цифрового ряда цифровой модели. Однако реальные цифровые модели практически невозможно достаточно точно описать с помощью детерминированных моделей. Обычно происходит усложнение их математического описания в виде алгебраических или дифференциальных уравнений и увеличивают размерности моделей. Чтобы исключить их детальное описание, используют вероятностностатистические методы моделирования, одним из которых является корреляционный анализ.

Синтезу математической модели геометрии участка автомобильной дороги должен предшествовать этап сбора экспериментальных данных о геометрии участка, полученных в автоматическом цикле проезда передвижной дорожной геоинформационной или видеолаборатории. После сбора этих данных объектом исследования становится случайный цифровой ряд одного из сечений цифровой модели участка автомобильной дороги.

Если удается выявить величину цикла стохастического процесса, например профиля макрошероховатого дорожного покрытия, то такой временной ряд можно использовать для прогнозирования с использованием аддитивных и мультипликативных моделей.

Аддитивную модель числового ряда можно представить в виде F = T + S + E, где F – прогнозируемое значение; Т – тренд; S – сезонная компонента; Е – ошибка прогноза. Применение мультипликативных моделей обусловлено тем, что в некоторых временных рядах значение сезонной компоненты представляет собой определенную долю трендового значения. Эти модели можно представить формулой F = T×S×E.

91

Пусть в результате проведения эксперимента имеется дискретная последовательность с целочисленными значениями аргумента:

где xn – отклонение места измерения дорожного покрытия от заданного значения в n -м такте измерения; Xn – фактическая координата места измерения; Xзад – заданная (номинальная) координа-

таучастка автомобильной.

Анализируя изменение средних значений по пробам с течением времени, получим точечные диаграммы смещения средних значений отклонения места измерения дорожного покрытия от заданного значения в п-м такте измерения. При этом под пробой понимается ряд последовательных значений групп значений в цифровой модели для данного (например, продольного сечения по полосе наката) сечения (от 10 до 30 значений). По виду точечных диаграмм можно судить о характере изменения уровня участка автомобильной дороги, а по разбросу значений относительно средних значений – о мгновенном разбросе отклонений. Последовательность отклонений места измерения дорожного покрытия от заданного

теризуется математическим ожиданием); – случайные от-

клонения от текущего среднего значения, т.е., другими словами, разделим последовательность отклонения места измерения на систематическую и случайную составляющие.

Основной задачей при исследовании характера последовательности отклонений места измерения является задача ее раз-

ний места измерения дорожного покрытия, выраженная в виде

92

детерминированной (кусочно-линейной) и периодической (коррелированной) составляющих.

Естественным критерием разделения последовательности отклонений места измерения на систематические и случайные является некоррелированность случайных отклонений. Следовательно, о качестве разделения можно судить по степени корреляции отклонений от систематической составляющей. В соответствии со введенным критерием идеальное условие разделе-

ния имеет вид M n n k 0 , k 0 . Наиболее общим способом

выделения систематической составляющей является сглаживание исходной реализации { xn } полиномом r-й степени по мето-

ду наименьших квадратов. В большинстве случаев систематическая составляющая может быть аппроксимирована линейной (кусочно-линейной) зависимостью. Это обусловлено преобладающим влиянием на последовательность отклонений мест измерения таких факторов, как монотонный износ дорожного покрытия, тепловые деформации, отклонения водного режима и др. В этом случае для систематической составляющей можно записать gn a bn .

Однако указанный способ еще не гарантирует полного выделения систематической составляющей. О погрешности разделения можно судить по виду корреляционной функции отклоне-

ний от линейной составляющей Kxn0 , где xn0 xn a bn . Чем медленнее затухают значения Kxn0 с ростом , тем более

грубым оказывается метод разделения последовательности отклонений путем линейной аппроксимации.

Более точные методы разделения основаны на учете автокорреляционных связей в последовательности отклонений от линейной составляющей.

Кроме детерминированной (линейной) части систематической составляющей присутствует случайная часть, возникающая в результате последействия собственно случайных факторов:

93

j 0

тельность затухания последействия. Тогда [57]

l

xn ln n j n 1 .

j 0

Рассмотрим задачу разделения последовательности отклонений мест измерения дорожного покрытия. В основе ее решения лежит спектральный метод оценки параметров мгновенного распределения. В дальнейшем будем оперировать отклонениями от линейной составляющей:

xn0 xn ln n n .

Выделение линейной составляющей целесообразно проводить методом наименьших квадратов. При таком способе полу-

чения реализации xn0 ее математическое ожидание M xn 0 . Величина xn0 чаще всего распределена по нормальному закону. Проверку такой гипотезы целесообразно проводить по критерию Пирсона. Дисперсия последовательности xn0 явля-

ется суммой соответственно систематической и случайной составляющих: Gx2 G2v G2 . Дисперсия случайных составляю-

щих характеризует мгновенный разброс отклонений: Gмгн2 G2 .

Задача выделения систематической составляющей аналогична задаче выделения «шума», обусловленного случайными помехами. Такие задачи решаются методом линейной фильтрации. Для рассматриваемых условий решение задачи фильтрации заключается в отыскании некоторой линейной функции от из-

вестных значений xn0 , обеспечивающей наилучшее приближение к искомой составляющей [57]:

n

n bk xn0 k . k 0

Значения коэффициентов bk , обеспечивающие наилучшее приближение по минимуму среднего квадрата отклонений n отn , определяется из системы линейных уравнений [57]:

где коэффициенты j являются решением нелинейной системы

В этих формулах фигурируют точные значения корреляционных функций Kx , K , K , поэтому значения выбо-

95

рочных корреляционных функций Kx , K , K необ-

ходимо сгладить. Без существенной потери в точности сглаживание корреляционных функций можно производить в наиболее

простой форме – в виде экспоненты: Kx Gx2e x , где x –

коэффициент аппроксимирующей кривой.

Для решения последней системы необходимо знать значение дисперсии некоррелированной составляющей G2 . Оценка вели-

чины G2 производится с использованием спектральных методов. Введем нормированную корреляционную функцию x

j 0

Свойства для реальных процессов таковы, что величинане превышает 4 % от величины x . Учитывая это, можно записать [57]:

начает, что влияние погрешности n на n , n 1, ..., n l значительно уменьшается от цикла к циклу. Можно ограничиться небольшими значениями величины l l 3...6 .

При участии авторов был разработан программный модуль формирования оценок математической модели.

96

2.9.Новые параметры геометрии дорожных покрытий

смакрошероховатой поверхностью

При исследовании статистической природы шероховатой поверхности для выявления и обоснования новых параметров геометрических и триботехнических свойств дорожного покрытия с шероховатой поверхностью был применен морфологический подходдля выявления «белых пятен» в изученииэтого вопроса.

Оказалось, что в вопросах исследования шероховатых поверхностей подробно изучено применение таких параметров, как отклонение от базы измерения, среднего, текущего среднего, оценки радиуса кривизны активного выступа (зерна щебня), расстояния от средних значений выступов до впадин (ГОСТ 2789–79 [21]), среднеквадратического отклонения (дисперсии) (ГОСТ 2789–45) и др.

Морфологический подход показал слабую изученность характеристик гистограммы распределения высот активных выступов и глубин впадин дорожных покрытий с шероховатой поверхностью, а также корреляционной функции активных выступов. Этот вывод позволил перейти к постановке и решению задачи формализации и обоснованию простых оценок параметров автокорреляционной функции значений высот активных выступов дорожного покрытия с макрошероховатой поверхностью. Такие оценки могут быть использованы для задач диагностики и контроля качества устройства дорожных покрытий.

Был применен достаточно известный прием анализа знакочередований отклонений размеров деталей, обработанных на металлорежущих станках [57]. ИспользуяопытА.В. Кочетковавобласти применения корреляционного анализа в теории знаковых адаптивных пульсирующих подналадок дискретных технологических процессов, выбрали в качестве критерия декорелированности числового рядаисследуемого параметра«синус-косинус»-коррелятор.

В качестве номинальной границы предложена средняя линия активных высот выступов макрошероховатости, определяемая как среднее или методом наименьших квадратов числового ряда высот

97

активных выступов. Данная линия может быть выбрана как прямая (линейная аппроксимация) илив видеполинома.

В качестве анализируемого параметра рассматриваются отклонения высот активных выступов от нее и, конкретно в данном случае, знаки отклонений высот активных выступов макрошероховатости (знак активного выступа).

Для анализа числового ряда высот активных выступов приемлема обобщенная модель [57], в которой отклонение Xn из-

меряемой величины для п-го измерения от своего номинального значения представляется суммой трех слагаемых: детерминированной составляющей ln , переменной случайной составляющей

n с коррелированными значениями и собственно случайной составляющей n (типа дискретного белого шума):

Xn ln n n ,

где ln – линейный тренд, ln a bn ; n – случайная составляющая, представляющая собой нормальную случайную величину с нулевым математическим ожиданием M n 0 .

Авторами впервые предложено оригинальное представление статистической цифровой модели измерения макрошероховатости на локальном участке (до 15 м) состоящей из детерминированной (уклон), коррелированной (нормативные периодические составляющие и периодические отклонения от ровности) и собственно случайной составляющей (искомые значения макрошероховатости).

Прогнозирование и компенсация двух первых ( ln , n ) ком-

понентов возможна с помощью алгоритмов подналадки, случайная составляющая непрогнозируема. Детерминированную составляющую ln можно рассматривать как сумму начального

случайного смещения настройки l0k и линейного тренда l k n ,

вызванного суммарным действием систематических возмущающих факторов

98

l0 l0k l k n ,

где k – индекс реализации; l k – скорость изменения текущего математического ожидания.

Принимается, что коэффициенты l0k и l k имеют различные

априорно неизвестные значения. Подобные процессы относятся к квазидетерминированным. Природа возникновения составляющей n вызвана действующими от цикла к циклу медленно из-

меняющимися возмущающими воздействиями, а составляющейn – совокупным действием собственных случайных составляющих возмущающих факторов. Можно принять, что последовательность n независимо от n распределена по закону нормаль-

ного распределения с M n 0 и G n const, не зависящей от

n . Последовательность n [1] является последовательностью

стационарных коррелированных величин с нулевым математическим ожиданием и корреляционной функцией [57]:

где – целочисленный сдвиг (на количество мест измерения);

персия функциональной случайной составляющей; M n 0 ,

n 1 .

Условимся, что для анализа числа знакочередований будем брать выборку с базой (+). Выборку с симметричным расположением знаков по умолчанию рассматривать не будем, так как формулы для определения числа знакочередований будут одинаковыми.

Можно по-разному конкретизировать индикативный параметр и размер выборки. Если отслеживать число одинаковых знаков в выборке, то для получения трех групп необходимо брать скользящую выборку из последних четырех выступов:

99

а) число техи других знаковнеравное, ноне нулевое (+ + – +); б) все знаки одинаковые (+ + + +); в) равенство числа противоположных знаков (+ – – +);

Если же принимать в расчет не только соотношение числа знаков, но и порядок их чередования, то достаточен объем выборки из трех выступов:

а) первый и третий знаки – разные (+ + – или + – –); б) все знаки одинаковы (– – –); в) первый и третий знаки отличны от второго (– + –).

Соответственно, для выборки из двух предыдущих знаков имеется два варианта чередования (++) и (+ –).

Основной идеей является представление участков с нечередующимися выступами как участков скольжения, а участков с чередующимися выступами – как участков сцепления.

Процедура синтеза математической модели разделения на статистические составляющие числового ряда содержит этапы:

1.Представление погрешности обработки в виде временного ряда. Построение точечных диаграмм.

2.Выделение линейной составляющей ln методом наимень-

ших квадратов. Вычисление корреляционной функции отклонений от линейной составляющей:

3. Проверка соответствия закона распределения xn0 нормальному закону по критерию Пирсона.

4.Вычисление оценки спектральной плотности и дисперсии некоррелированной составляющей.

5.Вычисление весовых коэффициентов j . Получение сгла-

женныхоценоккорреляционных функций Kx , K , K . 6. Выделение коррелированной и случайной составляющей.

100