Теория автоматического управления. Линейные системы управления

ВИМ - время-импульсная модуляция; ФИМ -- фазо-импульсные и др.

Период Т квантования сигналов в таких системах, как правило, постоянный. Например, широтно-импульсное нереверсивное управление можно представить в виде

ошибки управления. С другой стороны, скважность - это отношение времени ty генерации управляющего воздействия с амплитудой Um к периоду Т управления, )fis(t))~ty(t)/T

Цифровые системы управления оперируют с сигналами, представлен­ ными в виде цифровых кодов. Для этого непрерывные сигналы цифровой системы управления должны быть подвергнуты квантованию по времени и по уровню. Квантование непрерывного сигнала по времени реализуется с помощью импульсного модулятора, а квантование по амплитуде - с помо­

Рис. 11.2. Квантование непрерывных сигналов в цифровых САУ

В соответствие с теоремой Котельникова-Шеннона импульсный моду­ лятор должен обеспечивать дискретизацию непрерывного сигнала по време­ ни с частотой, по крайней мере, в 2 раза превышающей максимальную час­ тоту изменения непрерывного сигнала. В любом случае частота квантования по времени должна быть выбрана такой, чтобы обеспечить наилучшее вос­ становление непрерывного сигнала (исходных данных) на интервале време­

рассматриваться как процесс экстраполяции. Функция fit) на интервале Т может быть представлена в виде ряда Тейлора

где / \ к Т ), / "(кТ\... - оценки производных в момент времени t = кТ,

1 \ к Т ) Л [ / { к Т ) - т - \ ) Т ) \ ,

/ W ) = j [ f ' ( k T ) - f ' ( ( k -\)Т)] = ^ [ Д к Т ) - 2№ - 1)T ) +f((k - 2)7’)];

Таким образом, для повышения точности экстраполяции сигнала тре­ буется либо использовать информацию о выборках в прошедшие моменты времени, либо повышать частоту квантования по времени. Поскольку вре­ менное запаздывание оказывает неблагоприятное влияние на устойчивость систем управления с обратной связью, на практике обычно идут по второму пути, ограничиваясь удержанием лишь первого члена разложения ряда (11.4), т. е. принимают /(/) = /(кТ).

Импульсный модулятор, в котором удерживается лишь член J[kT)7 содержит 2 элемента (см. рис. 11.2) - квантователь непрерывного сигнала по времени с периодом Т и фиксатор Ф нулевого порядка (экстраполятор нуле­ вого порядка). Квантователь можно рассматривать как идеальный ключ, замыкающийся на бесконечно короткое время через каждые Т секунд. Тогда выходной сигнал квантователя будет представлять собой решетчатую функцию

периода Т квантования. Передаточная функция фиксатора, реагирующего на импульсные воздействия вида (11.5), имеет вид

(11.6)

Реакция импульсного модулятора (квантователя и фиксатора) на неко­ торое непрерывное воздействие fit) приведена на рис. 11.3. Вертикальными стрелками обозначена реакция собственно квантователя, реализующего про­ цесс дискретизации по времени.

В схемотехническом плане функции квантователя и экстраполятора (фиксатора) нулевого порядка реализуют с помощью устройства “выборкихранения” (УВХ) [4].

Амплитудный квантователь обеспечивает квантование входного сиг­ нала /ф (0 по уровню и выполняется на основе аналого-цифровых преобра­ зователей (АЦП). При достаточно большом числе двоичных разрядов АЦП

(12-24) квантованием по уровню при исследовании цифровых САУ обычно * пренебрегают и цифровые САУ рассматривают как импульсные (амплитуд­ но-импульсные с фиксатором нулевого порядка).

Рис. 11.3. Реакция импульсного модулятора

на непрерывное воздействиеАО

Анализ и синтез импульсных систем осуществляют с применением ме­ тода z-преобразования или метода пространства состояний.

Преобразование Лапласа квантованного по времени сигнала имеет вид

зволяет сделать вывод, что область устойчивости дискретной САУ на ком­ плексной плоскости ограничена окружностью единичного радиуса.

Физический смысл сомножителя z~k при функции f(kT) - фиксация ее текущего (к = 0) и предшествующих значений (к= 1,2,...).

Четвертая передаточная функция (семейство передаточных функций) получена на основе метода прямоугольников со смещенной оценкой произ­

водной выходного сигнала (а = var).

Дискретные передаточные функции дифференцирующего звена могут быть получены из приведенных выше путем перестановки полиномов числи­

теля и знаменателя.

К дискретным передаточным функциям и соответствующим структур­ ным схемам применимы те же правила структурных преобразований, что и для непрерывных систем.

Для синтеза систем управления реального времени, исследования циф­ ровых систем управления во временной области используют разностные уравнения. Если известна дискретная передаточная функция какого-либо звена, то получение разностного уравнения не представляет труда. В частно­ сти, разностные уравнения, описывающие процессы в интегрирующих звеньях (формулы 11.10-11.13), имеют вид:

1.Y(kT) = Y((k-\)T) + TX(kT);

2.Y(kT) = У((*-1)7) + Щ (*-1)7);

3.Г(КГ) = Y((k-\)T) + 0,5 Т[Х(кТ) + Щ к - 1)7)J;

4.Y(kT) = У((*-1)7) + (77 (1+а)) [Х(кТ) + аХ((к-1)Т)].

Впространстве состояний цифровые (импульсные) систрмы управления представляют либо в виде векторно-матричных разностных уравнений, либо в виде структурных схем с дискретным временем (схем про­ странства состояний) [2].

11.3. Синтез цифровых систем управления

Существует множество методов синтеза цифровых систем управления, основанных на описании управляемых динамических процессов, как в час­ тотной области, так и во временной области [1-4].

Для синтеза цифровых САУ применяют, в частности:

метод дискретизации по времени аналоговых регуляторов класса “вход-выход” (метод аналогий) или метод билинейного преобразования;

метод переменного коэффициента усиления; методы аналитического конструирования дискретных регуляторов

состояния САУ.

11.3.1. Метод дискретизации аналоговых регуляторов класса “вход-выход”

Данный метод основан на применении рассмотренных выше проце­ дур синтеза линейных аналоговых САУ В качестве критериев оптимально­ сти принимают общепринятые при синтезе таких систем интегральные квад­

ратичные функционалы, а следовательно, динамические процессы в оптими­ зированных контурах регулирования соответствуют реакциям тех или иных оптимальных фильтров, например фильтров Баттерворта и-го порядка. Син­ тезированное аналоговое устройство управления содержит, как правило, один или несколько последовательно включенных регуляторов (корректи­ рующих устройств) класса “вход-выход”

Суть метода заключается в замене передаточных функций синтезиро­ ванных непрерывных регуляторов их дискретными аналогами. Отсюда и вто­ рое название данного метода синтеза - метод аналогий.

Для преобразования аналоговых передаточных функций регуляторов в дискретные применяют замену непрерывных операторов р Лапласа их дис­ кретным аналогом z = j[p). В качестве примера рассмотрим дискретизацию непрерывного ПИД-закона регулирования. Процедура преобразования ил­ люстрируется рис. 11.4.

Входным воздействием регулятора является ошибка регулирова­ ния (<e(t) для непрерывного и е(кТ) для дискретного), выходным - сигнал управления (и (t) для непрерывного и и (кТ) для дискретного).

Приведенное преобразование основано на замене:

(11.14)

T(\ + z~l) T(z + 1)

при формировании интегральной составляющей ПИД-закона регулирования;

Рис. 11.4. Преобразование непрерывного ПИДрегулятора

в его дискретный аналог

фиксируется с помощью экстраполятора нулевого порядка с каждым тактом дискретизации Т.

В соответствие с теоремой об п интервалах дискретного управления система будет оптимальной по быстродействию (в концепции импульсных САУ), если переходные процессы в ней заканчиваются через п тактов управления, причем без перерегулирования выходной координаты, где п - порядок линейного объекта управления. Критерий оптимальности системы

где V[(/c-l )7] - вектор состояния САУ на предыдущем такте управления;

У(кТ*)~ вектор состояния на текущем такте управления после замы­ кания ключевых элементов (фиксации новых значений измеренной коорди­ наты и ошибки регулирования);

Ф(Kj, Т) - расширенная матрица перехода системы, зависящая от ис­ комых коэффициентов Kj;

В(7) - матрица переключения импульсных элементов.

В результате решения системы п неоднородных алгебраических урав­ нений, составленных из дискретных уравнений состояний, находят числен­ ные значения коэффициентов Kj.

На заключительном этапе синтеза оптимальный регулятор представ­ ляют в виде дискретной передаточной функции

В отличие от рассмотренного ранее метода синтеза такт управления здесь выбирается исходя из ограничений ресурсов управления (чем меньше требуемое время регулирования, тем большими ресурсами управления долж­ на обладать САУ). В частности, для цифровых электромеханических САУ в зависимости от регулируемой координаты значение Т находится в пределах 0,005...0,05 с.

К существенным недостаткам метода следует отнести доволь­ но высокую чувствительность синтезированных САУ к вариациям парамет­ ров объекта управления и “чужим” аддитивным воздействиям. Например, система, оптимизированная по критерию быстродействия по задающим воз­ действиям, может оказаться далеко не оптимальной в смысле этого критерия при отработке возмущающих воздействий.

11.3.3. Метод синтеза апериодических дискретно-непрерывных САУ с регуляторами состояния

Многие системы управления относятся к классу систем, функциони­ рующих в режимах малых отклонений координат: систем стабилизации той или иной технологической координаты (скорости вращения или переме­ щения рабочего органа, температуры, давления, натяжения и т. п.), следящих систем управления, систем воспроизведения движений. Поскольку основ­ ным технологическим требованием при синтезе таких систем является максимальное быстродействие и минимум динамической ошибки отработки

Синтез апериодических динамических систем, а именно такими являются системы, гарантирующие отсутствие перере1улирования в замкнутых дискрет­ ных САУ, традиционно проводят на основе идеальной компенсации нулей

иполюсов объекта управления полюсами и нулями дискретной передаточной функции регулятора и добавления новых полюсов и нулей в соответствующих областях z-плоскосги [1, 2]. Неточность математического описания, временной

итемпературный дрейф параметров объекта управления, ограничения в реали­

зации передаточной функции регулятора техническими средствами приводят к неустойчивости замкнутой системы. Более того, такая процедура синтеза САУ даже при идеальной компенсации полюсов и нулей предполагает “апериодич­ ность” переходных процессов только по отношению к входным воздействиям определенного вида и места их приложения. По отношению к “чужим” вход­ ным воздействиям система может иметь неприемлемое качество. В этой связи синтез САУ предлагается осуществлять на основе контроля полного состояния системы и реализации апериодических регуляторов состояния.

Ниже рассмотрена аналитическая процедура синтеза апериодиче­ ских регуляторов состояния, обеспечивающих апериодические переход­ ные процессы в линейных системах произвольного порядка. Предлагае­ мая процедура синтеза обеспечивает в системе управления астатизм первого порядка по задающим воздействиям, а следовательно, повышенную точность отработки изменяющихся во времени задающих воздействий САУ.