Принципы и практика решения задач по общей физике Часть 2. Электромагн

Соответственно падения напряжения на конденсаторах составят

Pj и р2. Конденсатор находится под постоянным напряже­ нием U , причем электрическое поле направлено от слоя 1 к слою 2. Найти поверхностную плотность сторонних заря­ дов на границе раздела диэлектриков.

Внутри однородного проводника при протекании по не­ му постоянного тока нет избыточных зарядов. Это сразу сле­ дует из уравнения непрерывности (JjdS = 0, если его перепи­

сать с учетом закона Ома j = Е /р . Тогда для однородного

Входящий сюда интеграл в силу теоремы Гаусса про­ порционален избыточному заряду внутри замкнутой поверх­ ности и если р = const, то и заряд равен нулю. Но в нашей ситуации на границе раздела диэлектриков р * const. Пусть часть замкнутой поверхности находится в одном диэлектри­ ке, а другая - во втором, вблизи границы раздела. Тогда из соотношения (1) следует

E L = E L

PI Р2

Если к этой же замкнутой поверхности применить тео­

рему Гаусса для вектора индукции D , то получаем

Здесь а - искомая поверхностная плотность избыточных за­ рядов на границе раздела диэлектриков. Так как электриче­ ское поле внутри каждого диэлектрика однородное, то для него выполняется условие

Эти заряды вытягивают на себя заряды от источника тока, и таким образом в цепи появляется ток. Воспользуемся опре­ делением силы тока

ной точке: / = ЗА, (7 ^ = 70 В. Значит, резистору R «доста­

лось» напряжение 15 В, и тогда его сопротивление будет равно 5 Ом.

пряжений, если только их изменения происходят не слишком быстро. Распространение электромагнитных возмущений по цепи длиной I происходит со скоростью света с. Если за время т = //с, необходимое для передачи возмущения от од­ ного конца цепи до другого, ток изменяется незначительно, то мгновенные значения силы тока во всех сечениях цепи бу­ дут практически одинаковы. В этом случае, как говорят, мы имеем дело с квазистационарными токами.

Пусть исходный заряд одного из конденсаторов, напри­ мер левого, равен q0. Его величина связана с напряжени­ ем U0: q0 =CU0. Мгновенные значения зарядов обоих кон­

Запишем теперь закон Ома для участка цепи от точки 1 (верхняя пластина левого конденсатора) до точки 2 (верхняя пластина правого конденсатора):

Здесь I - мгновенное значение силы тока в цепи (оно во всех сечениях одинаково); ф, и ф2 - потенциалы верхних обкла­ док конденсаторов. Если принять потенциал нижних обкла­ док за нуль (это наше право), то

С учетом этих условий закон Ома приобретает вид

(2)

С

В это уравнение входят три изменяющиеся со временем величины: l,q x и q2, причем две из них связаны услови­

ем (1). И для определения функции /(f) осталось только свя­

зать силу тока и величину заряда (либо qv, либо q2). Для это­ го воспользуемся определением силы тока

Здесь dq - величина заряда, прошедшего через любое сече­ ние цепи за время d t. Но именно на столько уменьшается за­ ряд левого конденсатора (или увеличивается заряд правого конденсатора) за это же время, т.е.

Теперь у нас есть два варианта преобразования уравне­ ния (2): либо выразить все через один из зарядов ( qx или q2), либо через силу тока. Второй вариант более предпочти­ тельный, так как мы сразу получим уравнение для искомой силы тока. Для этого продифференцируем по времени равен­ ство (2):

и характеризует скорость разряда конденсатора (чем боль­ ше т , тем медленнее происходит разряд конденсатора).

2.1.10. Измерение напряжения. К источнику тока через переменное сопротивление R подключен вольтметр. Если сопротивление R уменьшить втрое, то показания вольтметра возрастут вдвое. Во сколько раз изменятся показания вольт­ метра, если сопротивление уменьшить до нуля?

В этой задаче неясными остаются два момента, каким образом подключен вольтметр и надо ли учитывать сопро­ тивление источника тока? Судя по условию задачи, вольт­ метр подключен последовательно переменному со­

его сразу равным нулю мы не имеем права (об этом явно не сказано в условии задачи). С другой стороны, если состав­ ленная нами система уравнений, реализующая условия зада­ чи, окажется недостаточной для его определения, то нам придется принять это сопротивление равным нулю.

Пусть первоначальное показание вольтметра при сопро ­ тивлении R равно U . Это значение нетрудно найти из зако­ на Ома для замкнутой цепи:

где Rv - сопротивление вольтметра. При уменьшении сопро­ тивления R втрое имеем

где значение Г| и является вопросом задачи.

На первый взгляд в трех уравнениях содержится шесть неизвестных: U,2?,Rv,R ,r и т]. На самом деле независимых переменных только три, некоторые величины входят в виде

отношений. Таким образом, система уравнений (1)—(3) явля­ ется достаточной для определения величины т], и после не­

сложных вычислений находим: г| = 4, т.е. показания вольт­

метра возрастают в 4 раза.

2.1.11.Зарядка аккумулятора. Генератор с ЭДС

ивнутренним сопротивлением г, подключен к аккумулятору с ЭДС «Г2 и внутренним сопротивлением г2 через внешнее

сопротивление R , как показано на рис. 2.15 (кружком со стрелкой обозна­ чен генератор, стрелка указывает на­ правление тока). При каком наибольшем значении R аккумулятор будет нахо­ диться в режиме зарядки?

Это классическая задача на приме­ нение правил Кирхгофа. Эти правила «на автомате» позволяют написать пол­ ную систему алгебраических уравнений, из которых можно найти, например, как

неизвестный нам ток, протекающий через аккумулятор, так и все другие токи. При этом нужно учитывать следующее:

а) если в разветвленной цепи имеется N узлов, то число независимых уравнений по первому правилу Кирхгофа мож­ но составить лишь для N -1 узлов;

б) если в разветвленной цепи можно выделить несколько замкнутых контуров, то независимые уравнения по второму правилу Кирхгофа можно составить только для тех конту­ ров, которые не являются наложением уже рассмотренных. Иначе говоря, в каждое следующее уравнение должен вхо­ дить какой-нибудь новый, не рассматривавшийся ранее уча­ сток цепи.

В нашей схеме два узла, значит, число независимых уравнений по первому правилу Кирхгофа только одно. Неза­

висимых контуров - два (например, верхний, включающий в себя и «?2, и нижний, включающий в себя %г и R ). Зна­ чит, уравнений по второму правилу. Кирхгофа будет только два. Таким образом, для трех неизвестных токов /,,/2 и / мы имеем систему из трех независимых уравнений. Обозна­ чим стрелками (не задумываясь) предположительные на­ правления токов /,, /2 и I (см. рис. 2.15). Если после вычис­ лений окажется, что какой-то ток отрицателен, то его истин­ ное направление противоположно направлению стрелки (выбранное нами направление тока /2 соответствует режиму зарядки аккумулятора). Условимся считать ток положитель­ ным, если он втекает в узел, и отрицательным - в противном случае. Тогда для узла 2 первое правило Кирхгофа запишется как

Составим теперь уравнения по второму правилу Кирх­ гофа. Для этого произвольно выберем положительное на­ правление обхода контуров (например, как показано на рис. 2.15). Если предположительное направление некоторого тока совпадает с выбранным направлением обхода контура, то соответствующее слагаемое IR во втором правиле Кирх­ гофа нужно брать со знаком плюс, в противном случае - со знаком минус. Аналогично поступаем и с ЭДС - если на­ правление обхода совпадает с направлением действия ЭДС, то ее нужно брать со знаком плюс. Иначе, если контур обхо­ дится от плюса ЭДС к ее минусу по внешней цепи, то знак ЭДС положителен. В противном случае знак отрицателен. В соответствии с этими договоренностями имеем