Строительная механика стержневых систем Часть 2

Задача 10.3

Рассмотрим два варианта:

1. В заданной раме консоль можно отбросить и заменить её действие моментом и поперечной силой, приняв их за внешнюю

нагрузку (рис. в). Для этой системы nкин 1 2 3. Основная система на рис. г.

2. Консоль заданной системы оставляем, тогда узел А ригеля надо считать жестким. Шарнирная схема для вариантов 1) и 2) одна и та же (рис. б). Жестких узлов два и, следовательно, число угловых перемещений (ny) равно двум. Число линейных перемеще-

ний, как и в варианте 1), равно двум, так как nл 2 5 (4 4) 2, а nкин 2 2 4 . Основнаясистема случая 2) показана нарис. д.

41

Задача 10.4

nкин nу nл : число угловых перемещений nу 2 (два жестких узла), число линейных перемещений по шарнирной схеме nл 2у С 2 6 (5 7) 0. Это означает, что степень подвиж-

ности системы на (рис. б) w = 0. Проверяем шарнирную систему на геометрическую неизменяемость. Оказывая давление на каждый из шарниров по горизонтали и по вертикали, получим, что шарнир С имеет возможность перемещения по горизонтали (случай мгновенной изменяемости). Перемещению по горизонтали узлов А, В, D и F препятствуют две горизонтальные связи опоры А и опоры F, а достаточно только одной горизонтальной связи. На опоре С горизонтальной связи недостает. Надо при-

нять число линейных перемещений nл 1. Тогда nкин 2 1 3 . Основная система на (рис. в).

10.5. Сопоставление метода сил и метода перемещений

42

3) Может оказаться:

а) nст nкин, например, для рамы на рис. 10.3 nст пкин 3 ;

Рис. 10.3

в) пст < пкин, например, для рамы на рис. 10.4. В этом случае предпочтительнее метод сил.

nст 2, пкин 3;

Рис. 10.4

в) пст > пкин, например, для рам на рис. 10.5 и на рис. 10.6.

43

Для рамы на рис. 10.5 nст 4, nкин 2 ;

для рамы на рис. 10.6 nст 9 , nкин 1.

Очевидно, что предпочтительнее метод перемещений.

Покажем основные системы: а) рамы на рис. 10.3;

б) рамы на рис. 10.4;

в) рамы на рис. 10.5 и 10.6.

44

В шарнирной схеме возможны линейные смещения горизонтальных элементов по горизонтали.

В основной системе, кроме неизвестных перемещений Z1, Z2 , Z3 , покажем и внешнюю нагрузку. Такое состояние, на-

зываемое состоянием эквивалентным заданному (см. рис. 10.7, в), назовем состоянием Z.

Для того чтобы система состояния Z деформировалась так же, как заданная, необходимо и достаточно, чтобы суммарные реакции во всех дополнительных связях, вызываемые действием всех неизвестных перемещений ( Z1, Z2 , Z3 ) и заданной нагруз-

кой, равнялись нулю.

Для заданной рамы получим такие три условия:

1)R1Z 0;

2)R2Z 0;

3)R3Z 0.

Первый индекс указывает на номер дополнительной связи,

авторой индекс на состояние основной системы.

Вразвернутом виде эти равенства представляют систему канонических уравнений метода перемещений

r11Z1 r12 Z2 r13Z3 R1 p 0,

r21Z1 r22 Z2 r23Z3 R2 p 0, (10.3) r31Z1 r32 Z2 r33Z3 R3 p 0.

где Z1 – угол поворота узла; Z2 , Z3 – линейные смещения узлов основной системы рамы; rik – реактивное усилие, возникающее в i-й дополнительной связи от перемещения k-й дополнительной связи на Zk 1 ; т.е. это реакции в дополнительных связях основной системы от единичных перемещений; RiР – реактивное уси-

лие, возникающее в i-й дополнительной связи основной системы от внешней нагрузки.

46

Коэффициенты при неизвестных, имеющие одинаковые первый и второй индексы rii или rkk , всегда положительные.

Для побочных коэффициентов справедливо равенство rik rki .

Все эти реакции (коэффициенты и свободные члены системы уравнений) в дополнительных связях находят с использованием таблиц единичных и грузовых эпюр, построенных относительно основной системы, как совокупности статически неопределимых балок (см. подр. рис. 10.4). В основной системе могут быть и простые балки, как на рис. 10.7, в, в основной системе метода перемещений рамы на рис. 10.5 и рамы на рис. 10.4.

Эпюры моментов в статически неопределимых балках от единичных перемещений их концов и внешней нагрузки представлены в прил. 1 и 2.

Реакции опор и концевые моменты от единичных перемещений выражены через погонную жесткость балки (стержня),

10.7.Определение момента и поперечной силы

впроизвольном сечении статически неопределимых балок (прил. 1 и 2)

Вприл. 1 и 2 указаны реакции опор и даны эпюры моментов со стороны растянутого волокна. В произвольном сечении статически неопределимых балок изгибающие моменты и поперечные силы можно найти по следующим правилам:

1. По формулам

47

сила, взятые со своими знаками в сечении k простой балки того же пролета, что и статически неопределимая, и находящаяся под той

же нагрузкой; Mправ и Mлев – концевые моменты со своими знаками, взятые с эпюры моментов статически неопределимой балки пролета l ; х– расстояниеот сечениядолевойэпюрыбалки.

На примере балки (рис. 10.8, а) покажем использование формул (10.5) и (10.6).

Рис. 10.8

48

где Qn0 RA0 .

2. По определению усилий Изгибающий момент в сечении есть сумма моментов сил,

расположенных слева или только справа от сечения. Поперечная сила в сечении есть сумма проекций всех сил,

расположенных слева или только справа от сечения на ось, перпендикулярную оси балки. При этом необходимо учитывать правило знаков. Рассмотрим балку на рис. 10.9. По формулам, указанным в прил. 1 найдем реакции опор (RA , RB , MA , MB ) ста-

тически неопределимой балки (см. рис. 10.9).

Рис. 10.9

При определении реакций опор RA и RB необходимо учитывать знаки опорных моментов (они отрицательные).

49

Тогда

Мk RA xk M A q xk 2 a 2

или

Мk RВ l xk q l 2xk 2 M B ,

Qk R A q xk a ,

или

Qk R В q l xk ,

Mn RA a MA ,

или

Mn RВ b qb22 МВ, Qn RA ,

или

Qn RВ qb.

3. В том случае, когда эпюра моментов в статически неопределимой балке или ее участке прямолинейная, величина поперечной силы постоянная и находится по формуле

где α – угол наклона эпюры моментов к оси балки.

Поперечная сила положительная, если ось балки поворачивается (по наименьшему углу) до совмещения с эпюрой моментов по часовой стрелке. В противном случае поперечная сила отрицательная. Например, в балке (рис. 10.10), взятой из прил. 2, от смещения правой опоры на δ = 1 эпюра моментов прямолинейная.

50