Метод конечных элементов. Основы
.pdfW,. При постепенном приложении нагрузки |
|
|
W',-V1(A,)1F,=Vi(A1F1)/?b |
(2.5) |
|
где нижний индекс у |
и справа от круглых скобок, содержащих |
Д,, означает соответствие силе 1. Прикладывая теперь F 2 и оставляя неизменной Flt с использованием аналогичных обозначений полу чим
Wl = 4 2(A2)2F a+ (A 1)tF1= y i(fitF a)F2+(tl2F 3)F1, |
(2.6) |
поэтому полная работа Wi равна |
|
Wi= W h+ W ^ 4 J u ( F ^ + 1ltf2i{F2Y + h 2F 2F i. |
(2.7) |
Меняя теперь порядок приложения сил и вновь подсчитывая вклад каждого слагаемого в работу, получим для нагружения силой F2 (работу для указанной последовательности нагружений обозначим через W „)
Wu = 4 2(A2)2F2= 4 2f 22{F2y |
(2.5а) |
и для прикладываемой вслед за этим силы Fi |
|
l^ II= V 2(A1)1F1+(A a)1F a= V 2/ 11(F02+ / 2i/7i/r2, |
(2.6а) |
так что |
|
^ « i = ^ (il+ ^ , I = V 2/ 22(Fa)2+ V 2/ 11(Fl)2+ / 2ifi/72. |
(2.7а) |
Так как для линейного упругого тела последовательность при ложения нагрузок не влияет на величину производимой работы, можно приравнять полученные выражения для W и, сократив по добные члены, получим
/1.=Л«- |
(2.8) |
В общем случае будем иметь |
|
f u 4 n - |
(2.9) |
Это утверждение известно как теорема взаимности |
Максвелла. |
Так как матрица, обратная симметричной матрице, также сим метрична, а матрица жесткости является обратной к матрице подат
ливости, то имеем |
|
ki)=kji. |
(2.10) |
Теорема взаимности Максвелла обычно устанавливается как специальный случай закона Бетти, который гласит, что работа, производимая системой нагрузок {Рх} на перемещениях {Д2}, вызванных системой нагрузок {Р*Ь равна работе, производимой системой сил {Ра} на перемещениях {А,}, вызванных силами {Р,}.
2.6.Преобразование соотношений жесткости и податливости
Имея для элемента один тип соотношений между силами и переме щениями, можно получить другие типы соотношений с помощью про стых операций. Рассмотрим сначала преобразование соотношений жесткости в соотношения податливости. Проиллюстрируем этот случай на примере плоского элемента, изображенного на
Рис. 2.11. Плоский элемент, (а) Незакрепленный; (Ь) закрепленный.
рис. 2.11 (а). Как указано в разд. 2.3, при построении соотношений податливости элемент должен быть закреплен таким образом, чтобы исключить движение его как твердого целого, и система должна быть статически определима. Указанный способ закрепления эле мента изображен на рис. 2.11(b).
Величины, отвечающие закреплению, обозначаются нижним индексом s, а величины, соответствующие оставшимся степеням сво боды,— нижним индексом /.
Итак, разбиваем матрицу жесткости следующим образом:
k/ / iк/s |
(2 |
. 11) |
|
М к«
где для случая, изображенного на рис. 2.11(b), каждая из под матриц {[kff] и т. д.) является (ЗхЗ)-матрицей и
14/( — L “i ". ц J т. |
|Д ,1 - L". '•>, |
J т. |
Так как из-за условий закрепления {Д3}=0, то |
|
|
|
{А/}. |
(2.13) |
Уравнения, записанные выше линии, разделяющей матрицу, пред ставляют собой независимую систему уравнений, связывающую внешние силы {Fy} с соответствующими допустимыми узловыми смещениями. Решая указанные уравнения путем обращения мат рицы [куу], получим
{A/}=[fJ{Fу}, |
(2.14) |
где |
(2.15) |
[f] = [ky/ | “1. |
(Заметим, что операция обращения матрицы обозначается сте пенью —1.) Матрица [f], по определению, состоит из искомой сово купности коэффициентов податливости элемента. Поэтому соотно шения податливости выводятся из соотношений жесткости путем статически определимого закрепления тела с последующим исклю чением столбцов и строк матрицы жесткости, отвечающих компонен там закрепления, и обращением матрицы из оставшихся элементов.
Чтобы осуществить обратный процесс построения полной мат рицы жесткости по известной матрице податливости, необходимо начать с обращения матрицы податливости. Итак,
{F/}=[f]_1{A/}=[k//]{A/}. (2.16)
Так как матрица податливости отвечает статически определимому неподвижному закреплению, то соотношения, связывающие внеш ние силы и реакции опоры, легко устанавливаются путем выписы вания уравнений статического равновесия. Эти соотношения могут быть записаны в виде
{FS}=[R]{F/ } |
(2.17) |
и при помощи подстановки уравнений (2.16) получим |
|
{Fs}=[R][fl-1{Ay}=[ksy]{Ay}, |
(2.18) |
так что |
(2.19) |
[ks/] = [R][fl“1. |
Для получения остальных составляющих полной системы урав нений жесткости исследуем предполагаемую конечную форму этих соотношений, т. е. уравнений (2.11). Работа, выполненная внешними нагрузками {Fy} на соответствующих им перемещениях {Ду}, должна равняться работе, производимой оставшимися силами {Fs} на соответствующих им перемещениях {As}, если считать, что {Fy} становятся реакциями опоры. Это можно записать в матричном виде следующим образом:
|
v 2 L F, J {Да>=1/2 L Д/ J {F/}- |
(2.20) |
|
Так как |
в результате транспонирования соотношений |
(2.18) |
|
L F, J = |
L А/ J[k e/]T, то (2.20) можно записать |
в виде |
|
|
^ L A / J [ M T{ M = V ,L * /J{ F |
/} . |
(2.20а) |
(2.21)
(2.22)
Принимая во внимание окончательный вид матрицы жесткости (см. (2.11)), можно вывести из условий равновесия те же соотноше ния, что и в (2.17). Подставляя (2.21) в (2.17) и учитывая (2.22),
приходим к равенству |
|
{Fe}=[R][fl-l[ RlT{As>=[kae]{Ae}. |
(2.23) |
Поэтому конструируемая матрица жесткости принимает вид |
|
|
(2.24) |
В итоге оказывается, что матрица жесткости строится путем об ращения матрицы податливости и матрицы [R], которая получается из условий статического равновесия элемента. Исходная матрица [fl является симметричной. Так как [k/s] получается в результате транс понирования [ks/], то указанные блоки результирующей матрицы жесткости симметричны. Также видно, что блок Ik6.J представляется в виде произведения трех матриц, причем первый сомножитель по лучается транспонированием последней матрицы. Указанное трой ное произведение, называемое конгруэнтным преобразованием, дает симметричную матрицу, если центральная матрица в произведении симметрична. Следовательно, так как [f| симметрична, то и [keJ симметрична. Соотношения (2.24) представляют общую формулу преобразования матрицы податливости в матрицу жесткости с уче том степеней свободы, отвечающих движению тела как твердого целого. Число s усилий в опорах предопределено требованиями неподвижности и статической определимости системы, а на число внешних сил / нет ограничений (т. е. отсутствуют ограничения на размерность матрицы податливости).
Чтобы проиллюстрировать эту процедуру, рассмотрим консоль ный балочный элемент, изображенный на рис. 2.8(c). Матрица по датливости If] была выписана ранее, а уравнения для реакций имеют вид
Поэтому стоящая в правой части равенства матрица 2x2 есть матрица [R1. Читатель может проверить, что использование матриц [fl и [R] в (2.24) приводит к указанной ранее матрице жесткости для балочного элемента.
Теперь в нашем распоряжении имеются все соотношения, позво ляющие построить определенные в разд. 2.3 соотношения между уси лиями и перемещениями смешанного вида. В этом представлении
величины L ^/ Л/ J выражаются через L ^sA sJРешая сначала (2.17), имеем
{F/}=[R]-1{FS}. (2.17а)
Используя далее (2.24) (верхний блок), записываем верхнюю часть соотношения (2.11) в виде уравнения
{F/}=[f]-1{A/}+[f|-1| RP {Д8}- |
(2-24а) |
Разрешая относительно {А/}, получим
{A/}=lfl{F/}—(R]т{А3}. (2.24Ь)
После подстановки (2.17а) для {F/} имеем
{A/}=lf|[ R]_1{FS)—[R1T{AS). |
(2.24с) |
Тогда, используя (2.17а) и (2.24с), приходим к соотношению
R-1 ! О |
(2.3а) |
f f j [ R f i t R T |
|
|
А, |
Квадратная матрица, стоящая в правой части данного уравнения, играет роль матрицы Ш] из (2.3). Символом нуль в правом верхнем углу матрицы (2.3а) обозначена нулевая матрица, т. е.. матрица, со стоящая полностью из нулевых элементов.
2.7. Преобразование степеней свободы
Часто уравнения, записанные для некоторых степеней свободы {Д'}, необходимо записать относительно других степеней свободы {Д}. Наиболее распространен случай, когда исходные степени свободы отвечают одной системе координат и требуется, чтобы уравнения задачи были записаны для степеней свободы, отвечающих другой системе координат. Иными словами, разыскивается преоб разование координат. В общем случае преобразованные степени свободы могут не иметь определенного физического смысла, а их число не обязательно должно совпадать с числом исходных степеней свободы. Соотношение, связывающее указанные две системы сте пеней свободы, можно записать в виде
{Д/ } = [Г1{Д}. |
(2.25) |
Предположим, что уравнения, которые требуется преобразовать, имеют вид
lk '|'A ')= { F '} . |
(2.26) |
Предположим также, что каждая компонента F\ вектора усилий {F'} производит работу 1/ 2FfA t на перемещении Д|, а ее работа вдоль любой другой компоненты перемещения {А'} равна нулю. Если выполняются указанные условия, т. е. условия справедливы при действии сил в ортогональных направлениях, то такие векторы сил и перемещений называются сопряженными векторами. Обе системы векторов {A'}, {F'} и {A}, {F} выбираются сопряженными.
Чтобы величина работы оставалась инвариантной |
при заданном |
|||
преобразовании, |
необходимо выполнение |
равенства |
|_ F 'J {А' }= |
|
= LF J{Д}> откуда с учетом (2.25) имеем |
[_ F' J |
[Г|{Д}= |_ F J {А}, |
||
следовательно, |
L F' J 1Г]= L F J , или |
после |
транспонирования |
|
|
[riT{F'}={F>, |
|
(2.27) |
|
где символом (~) обозначена совокупность сил, |
|
£ |
||
полученная в ре |
зультате преобразования {F'}.
Откуда вытекает, что преобразование перемещений (2.25) подра зумевает преобразование сил согласно (2.27). Преобразования сил и перемещений называются контраградиентными, если оговорены условия сопряженности. Если преобразование сил задано, то мат рица преобразования перемещений получается в результате транс понирования сил. Принцип контраградиентности очень важен в том случае, когда преобразования перемещений (или сил) легко нахо дятся, исходя из физического смысла, а преобразование сопряжен ного вектора осуществить нелегко. Это имеет место, например, если уменьшение числа степеней свободы осуществляют путем про цедуры преобразования, описанной в разд. 2.8.
Для уяснения следствий проведенных выше рассмотрений, ка сающихся соотношений жесткости элемента, удобно иметь дело с введенными в разд. 2.4 величинами энергии деформации и внешней работы. Потребуем снова, чтобы величина работы оставалась инва риантной при заданном преобразовании. Выполняя непосредствен
ную |
подстановку |
(2.25) |
в |
(2.4а) |
и (2.4), |
получим |
|
||
V = |
Ч г ! X ] X } |
= Ч |
2 w |
X ] [р] х н |
^ |
|
(2.4с) |
||
|
^ = - Ц ^ { Р '} |
= |
Ц |
^ [ Г ] '{F') = |
^ { F ) . |
(2.4d) |
Следовательно, преобразованная матрица жесткости, отмеченная знаком (Л), дается выражением
[к]=[Г]т[к'1[Г]. (2.28)
Вектор сил, естественно, преобразуется согласно (2.27). Задавае
мое соотношением (2.27) преобразование [k'l в Ik] имеет вид кон груэнтного преобразования. Таким образом, если [к'] — симмет
ричная матрица, то и преобразованная матрица [к] должна быть симметричной.
Если осуществляется преобразование для ортогональных осей координат, то указанные формулы можно получить более непосред ственно, проведя, однако, несколько больше выкладок. Предполо жим, что преобразование компонент перемещения задается в ре зультате непосредственного рассмотрения соотношений, связываю
у
Рис. 2.12.
щих векторы смещений {А'} и {А}. Вместо того чтобы принять со отношение (2.27) в качестве преобразования векторов сил, пред положим, что это преобразование задается независимо, в резуль тате непосредственного рассмотрения соотношения, связывающего векторы сил {F'} и {F}. Запишем указанное преобразование в виде
{ F' }=[Г] { F }. |
(2.29) |
Поэтому, подставляя (2.25) и (2.29) в (2.26), получим |
|
[k'][r]{A}=[r]{F} |
|
или |
|
[ ri”1[k'l[r]{A} = {F}. |
(2.30) |
Преобразование координат в случае ортогональных координат ных осей обладает свойством [Г][Г] г=[I], где [I] — единичная матрица, т. е. диагональная матрица, все элементы которой равны единице. Так как, по определению обратной матрицы, [Г][Г]_1=[1], то
[Г]т=[Г]-1. (2.31)
Если матрица обладает свойством (2.31), т. е. ее транспонированная матрица равна ее обратной матрице, то такая матрица называется ортогональной. Подставив (2.31) в (2.30), приходим к определению
[к|, данному в (2.28).
Предположим, к примеру, что матрицу жесткости для плоского элемента, заданную в системе координат х' и у \ показанной на рис. 2.12, требуется задать в системе координат* и у . Для векторов, отнесенных к произвольной точке р элемента, имеем преобразование
cos ф sin ф‘
— Э Ш ф СОЭф
И
coscp —cossin ф'ф;]-[г,г.
Поэтому, если весь элемент содержит п/2 узлов (т. е. в рассматри ваемом плоском случае п степеней свободы), искомая матрица пре образования всего элемента имеет вид
Г И
[П = [г,]
[r«/,]J
(символом Г J обозначается диагональная матрица).
Так как не требуется обращать матрицу преобразований, а нужно лишь транспонировать ее, то можно определить неквадрат ные матрицы преобразования координатных осей. Матрица жест
Рис. 2.13.
кости стержневого элемента (разд. 2.3) характеризует два осевых смещения. Этот элементе глобальной системе координат (рис. 2.13) описывается шестью компонентами смещений. Обозначая направ ляющие косинусы осей элемента в системе координат *, у и z через Ix'x, lx'у и т. д., представим преобразование координатных осей
в виде
} ^1 \ |
_ |
Ix'x |
lx'у |
1х'г |
0 |
0 |
\ иг l |
~ |
L 0 |
0 |
О |
1*х |
1х,у |
(Для удобства в точке 2 показаны только глобальные (без штриха) компоненты, а в точке 1 — только осевая компонента иг.)
2.8. Конденсация
Термин конденсация означает снижение размерности системы урав нений при помощи исключения некоторых степеней свободы. Чтобы сократить общее число исходных степеней свободы, редуцированная система уравнений (конденсированные уравнения) должна быть выражена в терминах заранее выбранных степеней свободы {Ас}, которые хотят оставить, а также через дополнительные степени
свободы {А6}, т. е. LA J = L L J LAc J J• Исходные уравне ния представляются следующим образом:
(2.32)
и редуцируются (конденсируются) к виду
lkcc]{Ac}= {F c}. |
(2.33) |
Рассмотрим подход, в котором конденсирование основано на преобразовании координат. Итак, задача состоит в построении соот ношений
(2.34)
где [Г0] — искомая матрица преобразований. Для этого решим сначала верхнюю часть уравнения (2.32):
{At,}= —[kbb]-1[k6c){Ac}+[k&b|-i{ F b>. |
(2.35) |
Так как второй член в правой части соотношения есть константа для заданных нагрузок, соотношения жесткости между степенями свободы {Ас} и {А6} задаются с помощью матрицы—[kbb]“1[k/,c]. Замечая также, что {ЛС} = [1|{АС}, можно записать следующее
преобразование координат
—[к»*]~Ч>ьЛ |
[Г0]{АС |
(2.36) |
|
........... I |
|||
|
|
Применяя указанное преобразование к уравнению (2.32) как обычное преобразование координат, получим соотношения (2.33),
где |
|
[ k J = [[k c c ]-[M [k M] - 1[M ] . |
(2-37) |
{Fc} = [Г0]т { р‘ } = {Fe)- [ М [Kb]'1{F*}. |
(2.38) |
Заметим, что данное преобразование, полученное на основе соотно шений, связывающих лишь степени свободы, можно применять так же для преобразования векторов в правосторонней системе коор динат.
Эти результаты можно непосредственно получить, если подста вить (2.35) в нижнюю часть уравнения (2.32), однако конденсация на основе преобразования степеней свободы [Г0] оказывается по лезной при анализе динамической и упругой устойчивостей и может оказаться удобной с точки зрения программирования даже для линейных задач статики.
Для иллюстрации рассмотрим вновь консольную балку, изображенную на рис. 2.8(c), и исключим с помощью конденсации степень свободы 0i. Опорная матрица жесткости получается из представ-
*> Может вначале показаться, что преобразование, задаваемое с помощью
(2.36), должно содержать постоянный вектор {А^}= [к^^1—1 {Fb}, входящий в (2.35), и записываться в виде
(2.36а)
Однако можно доказать, что наличие вектора [_ А^О ._|не оказывает влияния на
преобразование. Вектор [_ А&О J отвечает движению тела как твердого целого. Хотя преобразование, включающее движение тела как твердого целого, изменяет пол ную энергию системы, алгебраические уравнения, которые задают поведение конструкции (например, уравнения жесткости (2.1)), выводятся из условия ста ционарности энергии, а на это условие движение тела как твердого целого не влия ет. Можно убедиться в этом, подставляя (2.36а) в выражение для потенциальной энергии:
п |
L.AftAcJ |
k6CjAfc\ |
L |
J\ F C |
' |
2 |
|
После подстановки в указанное выражение соотношений (2.36а) и последующего дифференцирования по {А&} приходим к результату, совпадающему с результа том, получаемым, если применить преобразование [Г 0]. Представления, поясня ющие эгу последовательность операций, содержатся в гл. 6 и 7.