Курс механики сплошных сред
..pdfто будем |
считать, что |
Хк определяют, совместно ст]я, предысторию |
|||||
среды, |
включая момент t. Величины У\, связанные |
со скоростями |
|||||
деформации, |
должны |
быть в этом случае определены через допол |
|||||
нительные |
законы, |
которые |
будут сформулированы |
на базе дисси |
|||
пативной |
функции |
|
(X х), |
существование которой |
было доказано |
||
в VI 1.3.3 для |
случая |
нормального диссипативного механизма. |
|||||
VIII.6 .2 . Среда Максвелла в линейном приближении. Не будем раз |
|||||||
вивать |
дальше представление общей формы законов поведения — это, |
||||||
в принципе, можно |
было бы сделать и определить соответствующие |
допустимые термодинамические процессы. Ограничимся иллюстрацией
метода на |
простом примере, |
который представляет собой обобщение |
|
рассуждений, основанных на |
идее двойственности и высказанных |
||
в VIII.3.2 относительно |
упругой линейной среды на случай линеари |
||
зованной |
вязкоупругой |
модели. Если для простоты ограничиться |
только изотермическими процессами, то, очевидно, для упругой
среды будем |
иметь |
|
р0а=Ф(<т,7), |
|
(60) |
|
|
|
|
|
|||
где р0— плотность |
в |
исходном |
состоянии, а |
ср —преобразование |
||
Лежандра функции |
(59). Очевидно, что |
|
|
|||
- |
Р |
- |
d / d f i \ „ d / d c p \ |
|||
P0) = J L p 0co = |
p0a l 7 4 r |
= aif -$[ |
[ |
. |
так как в соответствии с методом линеаризации отношение р/р0 можно заменить на 1.
Таким образом, приходим к формуле |
|
еи = 1^77 • eU = &еч + е“/* |
(61) |
где г", — по определению, упругая составляющая деформаций; efy — вязкая составляющая. Диссипация (VII.13) при этом
Так как напряжения oif определяют предысторию среды до мо мента t, то в соответствии с общей теорией можно написать, что Ф = <=D*(Pij). Точнее, предположим, что @>* положительно опреде ленная квадратичная форма, которую обозначим через Ь; в соот ветствии с общей теорией будем полагать
detj |
1 |
ап |
(62) |
|
At |
2 |
dcijj |
||
|
Очевидно, эти зависимости определяют величины е)) лишь с точ ностью до постоянного слагаемого. Чтобы устранить неопределен ность, предположим, что существует момент времени /0, для кото рого о,7 (0 будут равны нулю при t < t 0, е^(/) = 0 при t ^ . t 0.
Таким образом, можно на основании уравнений (61) и (62) написать законы поведения в дифференциальном виде, предполагая
при этом, что Beij(t) дифференцируема по времени t :
de/y _ |
d |
/ |
ftp \ . |
1 |
дЬ |
dt ” |
dt |
\ |
дои ) + |
2 |
дои * |
к этим зависимостям необходимо добавить начальные условия: если
о,7 (0 = 0 |
при |
* < < 0 и |
|
|
|
тогда |
|
|
I |
(64) |
|
е,7 (t) = 0 |
при |
t < t0 и е,7 (/„) = |
(о?/). ^ |
||
|
Развернем полученные результаты для частного случая изотроп ных сред, когда функция <р задается в форме (44). По аналогии с этой формулой имеем (тс и xg константы):
|
Ь(о,7) = 3 |
( 1 - 2 у) |
(°s)2 |
1± |
|
|
|
|
(65) |
||
|
Етс |
|
£т 0?Р?Ь |
|
|||||||
откуда вытекают законы |
поведения: |
|
|
|
|
]■ |
|
||||
de5 |
1— 2v [da* |
|
оП |
defy |
1 + v |
Г do?j . |
0 ° |
(66) |
|||
dt ~ |
E L d* |
+ |
T J |
* |
dt |
E |
I dt |
+ |
%g |
||
|
Ss (t0) = ± -fi-(o * )\ |
tf(to) |
+ |
K )° |
|
(67) |
Константы тс и rg имеют, очевидно, размерность времени; они положительны, так как уже известно, что положительны следующие величины:
1— 2v |
1 |
1 + v |
1 |
Е |
“ 3 К ' |
Е |
2\а |
и, кроме того, квадратичная форма (65) должна быть положительно определенной. Если тс и xg— бесконечно большие величины, то зако ны (66) и (67) совпадают с законами классической теории упруго сти.
Рассуждая, как в предыдущем параграфе, можно разрешить законы поведения (66) относительно о5 и получить с учетом началь ных условий (67) первое уравнение в следующем виде (полагая /о = 0):
os (t) = ЗК (е5)0ехр +
|
|
|
|
+11 зк £<''>е1‘р ( - т |
г ) ‘г - |
|
|
(68) |
||||
Если величина |
es (t) |
постоянна и равна |
(е5)0 при/ > 0, то интег |
|||||||||
рал |
в уравнении (68) равен |
нулю; os (/) — функция времени, убываю |
||||||||||
щая |
до нуля |
от |
значения |
(os)°= os (0) = ЗК (е5)0, |
которое |
она |
при |
|||||
няла |
мгновенно |
при / = 0 |
|
(чем меньше |
тс, |
тем |
быстрее |
убывает |
||||
функция). Принято говорить, что тс —время |
релаксации при объем |
|||||||||||
ном |
расширении. |
Если |
бы |
тс было бесконечно |
большим, то |
для |
||||||
любого положительного |
t |
|
имели бы а5= (а5)0. Таким образом, |
для |
||||||||
того |
чтобы |
поддерживать |
постоянным объемное расширение, среднее |
|||||||||
напряжение |
и |
os нужно |
уменьшать во времени |
по экспоненциаль- |
ному закону, так что для больших t величина os (t) будет стремиться к нулю. Это явление типично для вязкоупругих сред и называется
релаксацией напряжений.
Заметим, |
что после интегрирования по частям уравнение (68) |
||||
может быть |
записано в виде |
|
|
|
|
о‘ (() - 3 К (.«)•ехр ( - £ ) + [зкв* (Г) ехр ( |
- |
' |
I |
||
О |
|||||
|
|
|
|
—«'«') exp ( - £ = ! ! ) d/',
или |
еще (производя под знаком интеграла замену переменных |
t =* |
|
= f |
+ k) |
|
|
|
о’ (t) = 3Kes (t) + |
{З/С exp (=*■) } e* (t -X ) d*. |
(69) |
Эта зависимость представляет собой частный случай общей фор мулы (VI, 37). Среда Максвелла в изотермическом процессе входит в класс вязкоупругих сред, определение которых дано в главе VI, когда модуль объемной релаксации
К(К) = Кехр ( - £ ) .
Очевидно, что такие же результаты могут быть получены на базе второго из законов (66); в частности, можно показать, что
а/у(0 = 2це<7(0 + |'- ^ { 2 ц е х р |
( - ^ ) } е , 7 (*-Х )сй, |
(70) |
|
где т^—время релаксации при сдвиге, |
а функция |
|
|
|
ц(Х) = ц е х р ( - А ) |
(71) |
|
— модуль релаксации |
при сдвиге. |
|
|
VIII. 7. ВВЕДЕНИЕ СКРЫТЫХ ПАРАМЕТРОВ. |
|
||
ВЯЗКОУПРУГАЯ МОДЕЛЬ С ТРЕМЯ ПАРАМЕТРАМИ. |
|
||
V III.7.1. Другой |
метод построения среды Максвелла. |
Среды |
Максвелла были определены с использованием первого из обобще ний метода локального состояния, который представляет собой двой ственную формулировку теории, развитой в главе VII. Сейчас полу чим те же результаты и дадим их обобщения, вводя в термодинами ческий потенциал новые параметры, называемые скрытыми. Сущность такого обобщения заключается в новой формулировке исходной гипотезы (VII.2) метода локального состояния. Допустим, что термо
динамический |
потенциал |
среды |
является, с одной стороны, функ |
|
цией ( я + 1) |
переменной |
Хо. |
•••» Ъп соответствующей |
термоста |
тической системы, а с другой —функцией т параметров |
., £ш, |
называемых «Iскрытыми». В любом обратимом термостатическом про цессе эти параметры остаются постоянными и, следовательно, не участвуют в выражении элементарной обратимой работы со. В термо
динамическом же процессе они, очевидно, меняются и должны при
ниматься в расчет при вычислении со.
Плотность свободной энергии, например, запишется в такой форме:
Ф(7\ Xi. Хг> |
Х„» Si. |
5я)=*Ф(7’, X» S). |
(72) |
энтропия и законы состояния задаются, |
как и в термостатике, урав |
||
нениями |
|
|
|
s = — Ц -(7 \ X. 6), Ля |
I), |
|
|
в то время как |
|
|
|
со - 2 |
dХя |
дг|> d|? |
(73) |
п ^ dt |
э1 7 "ат ■ |
Р = 1
Чтобы не усложнять выкладок, не будем выходить за рамки линейной теории, полагая, что все рассматриваемые процессы —изо термические. Переменные %it %2, . . . , %„ будут, как и в теории упру гости, компонентами тензора деформаций при малых возмуще ниях, иначе говоря (и это несколько облегчает расчеты), компонен тами шаровой составляющей и девиатора этого тензора е4, eg, при этом е& равны нулю. Рассмотрим выражение (72) и, используя (42), запишем (предполагая для простоты, что в состоянии отсчета плотность равна 1):
Ф = - ^ (е* - £)2 + |
Ц (eg - |
6,у) (eg - |
|,у). |
(7 4 ) |
Скрытые параметры здесь \ и шесть |
чисел |
6/у (Б/у — Еу/)» |
причем |
|
последние связаны соотношением |
= |
Сделанный выбор уже позво |
ляет интерпретировать эти параметры как компоненты тензора дефор
мации. Таким образом, |
имеем |
|
|
|
|
||
“ “ 9К (е- - |
В ( £ - § ) |
+ % (eg — {,,) ( * 2 |
di,7 |
|
|||
dt |
)• |
||||||
|
|
|
|
|
|||
С другой стороны, |
линеаризованная теория дает |
|
|
||||
|
п |
Г) _Qa s |
D |
|
|
|
|
|
I nD &ги |
|
|
|
|||
|
Оии и — 60 -7Г+ °и ---- |
|
|
|
|||
|
|
|
dt |
|
|
|
|
так что диссипация Ф, запишется в виде |
|
|
|
||||
Ф4= 3 {а4- |
3К (г*- $ } % |
+ {erg—2ц (eg - |
£„)} |
|
+ |
||
+ |
9К (е4- 1) -g-+2р. (eg - £„) |
. |
|
(75) |
На базе этого выражения сформулируем дополнительные законы. Предположим, что имеем дело с нормальным диссипативным меха низмом и что диссипативная функция является неотрицательной квадратичной формой, зависящей только от производных от скрытых
параметров, точнее:
Следовательно,
а* = 3/С (е'-6), а?1 = 2ц(г?,-1иу,
откуда сразу вытекает, что |
а& = 0. Далее |
|
9^ . - а г |
= 9/С(е*-6) = За*, |
|
2^ “5Г |
= |
(г?1— Ъ;) = <*?/• |
Так что, исключая скрытые |
параметры, уже можно написать законы |
|
поведения: |
|
|
|
|
(77) |
Итак, вновь приходим к уравнениям вида (66), характеризую щим вязкоупругую среду Максвелла; К и р, являются мгновенными модулями релаксации, хс и xg— время релаксации. Этот результат поясняет выбор переменных в выражениях (74) и (76) для свобод ной энергии и функции внутренних диссипаций.
VIII.7.2. Трехпараметрическая модель. Очевидно, что метод скры тых параметров позволяет строить, с хорошим приближением, все более и более сложные модели вязкоупругих сред. Модель Макс велла, описываемая уравнениями (77), соответствует функциям ре лаксации, зависящим от двух параметров: К, хе и р, xg. В прило жениях часто допускают, что объемной релаксацией можно прене бречь и считать, что хс бесконечно велико.
Модель, которую необходимо построить, будет обладать этим
свойством, так что можно написать |
|
<т* = 3/(е4, |
(78) |
где /(—-константа, аналогичная той, которая употребляется в теории упругости.
Явление релаксации при сдвиге будет рассмотрено более под робно.
С этой целью возьмем за основу следующее выражение для сво бодной 'энергии, предполагая, как и выше, что плотность в исход ном состоянии равна единице:
Ф = |
(в*)2+ |
+ pj (е°—\tj) (ъц— |
(79) |
|
в Котором \ tj —-шесть |
скрытых |
параметров, связанных |
соотношением |
|
бм = 0; р„ и р ,—две |
константы, аналогичные модулям релаксации |
|||
при сдвиге. |
|
|
|
|
Оперируя, как и выше, образуем диссипацию
Ф* = 3 (а*- 3/Се*) ^ + {а?,- 2p„eg- 2pt(eg- £„)} |
-f |
+2Ml (efj — g/y) -gj
ипримем в качестве диссипативной функции
d£// d1и dt di '
так что закон поведения шаровых составляющих совпадает с соот ношением (80). Кроме того, получаем
°и = 2p„eg + 2|Xj (eg— £,7 ),
*'/• |
(81) |
Исключая скрытые параметры, получаем закон поведения для девиаторов
|
|
= 2 (|i. + рх) |
|
~ |
|
(о?!- |
2p„eg). |
|
||||
Полагаем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Чо = Мч + И„. |
|
М--в-= р.0х |
|
(82) |
||||||
с той целью, чтобы записать |
|
это |
соотношение в одной из следую |
|||||||||
щих эквивалентных форм: |
D |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
, D |
, |
0ii |
, D |
, |
п |
«о |
|
|||
|
|
dai/ |
оц |
_ |
de// |
(83) |
||||||
|
|
df |
|
^ 7 |
“ |
4 i,>"dT+ |
2 1 7 |
е‘/ |
||||
или |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 $ |
- |
+ |
|
° |
? |
, |
+ |
\ ^ |
f y |
(84) |
Как было сказано выше, полученный закон поведения опреде |
||||||||||||
ляется |
помимо |
коэффициента |
К, |
введенного |
уравнением (78), |
еще |
||||||
тремя |
параметрами. |
|
|
|
(83), |
как |
и следовало ожидать, |
ста |
||||
Если р„ = 0, |
то уравнение |
новится законом поведения для среды Максвелла (0? в этом случае равно бесконечности). Если же нулю равно xg (р0 стремится к бес конечности), то уравнение (84) дает закон поведения среды Кель вина— Фойхта (55).
Как и в случае (67), этот закон, выраженный дифференциальным уравнением, должен быть дополнен начальными условиями, в ка честве которых можно применить условия, оговоренные в VI11.6.2.
В общем случае будем предполагать, что |
erg и eg равны нулю для |
отрицательных значений времени и что эти |
величины могут терпеть |
одновременно разрывы в соответствии с соотношением |
|
Aofi = 2p0Aeg. |
(85) |
Рис. |
1. Модуль релакса |
Рис. 2. Функция запазды |
|
ции при сдвиге |
вания при сдвиге |
Из этого |
предположения, как |
видно, вытекает [и это можно про |
верить также с использованием |
уравнений (81)], что при появлении |
разрывов параметры е,7, фигурирующие в выражении для диссипа ции, остаются непрерывными.
Если предположить, что все ef) равны нулю, за исключением e« = e2i (этот компонент равен нулю при t < 0 и единице при t > 0), интегрированием уравнения (83) получим выражение для а1а, из которого, полагая oria = 2p(<), получаем функцию, представляющую модуль релаксации при сдвиге (рио. 1):
^ ( 0 = Ц„ + (М.0— HJexp ( — |
(86) |
Таким образом, p0— мгновенный модуль, |
длительный модуль |
и тg—время релаксации при сдвиге. |
|
Если теперь предположить, что равны нулю все Су, кроме сг12=<т21
(последний компонент равен нулю |
при t < 0 и единице при |
* > 0), |
интегрированием уравнения (84) |
получим выражение для |
из |
которого определяем функцию запаздывания* при сдвиге si2 = J(t) (рис. 2):
J ( 0 = |
К + (Л,- |
J J ехр (■- £ ) , |
(87) |
|
где |
|
|
|
|
|
= |
= |
I' |
|
6g—время запаздывания |
сдвига. Формулу |
(87) следует сопоставлять |
с формулой (58) для компонента е^; из этого сопоставления видно,
что соотношение (87) |
представляет собой обобщение формулы (58). |
|
Законы поведения |
(83) и (84) могут быть записаны в интеграль |
|
ной форме с учетом выражений для модуля релаксации |
(86) и функ |
|
ции запаздывания (87): |
|
|
ои (/) = 2р (0) е0 (t) + J ' 2 f - (A) e,7 (t - X) dX, |
(88) |
|
e// (0 = |
J (0) ai/ (0 + Jo "3\ M °u W ~ |
|
* В отечественной литературе эту функцию чаще называют функцией ползу чести.— Прим. ред.
откуда видно, что определенная таким образом среда действительно
является вязкоупругой в смысле определения, |
данного |
в главе |
VI. |
||
Зависимости (89) |
можно интерпретировать как |
решение |
интеграль |
||
ного |
уравнения |
(88), если считать а1у заданными, а ety —неизвест |
|||
ными |
переменными. |
|
|
|
|
V III.7.3. Заключительные замечания относительно законов |
по |
ведения вязкоупругих сред. Формулы (88), (89) и рис. 1 и 2 отра жают общее поведение вязкоупругой среды при сдвиге. Трехпара метрическая модель представляет собой частный случай общей тео рии, когда модули релаксации и функция запаздывания определя ются соответственно уравнениями (86) и (87). Модель Кельвина — Фойхта и модель Максвелла являются еще более специальными слу чаями, вырожденными по сравнению с общим случаем (бесконечный
мгновенный |
модуль и равенство нулю времени релаксации для модели |
|||||||
Кельвина —Фойхта, |
равенство нулю |
|
длительного |
модуля |
и беско |
|||
нечное время запаздывания для модели Максвелла). |
|
|||||||
Можно было бы построить и более сложные модели, нежели |
||||||||
модель с тремя параметрами, введя |
другие |
скрытые параметры. |
||||||
Например, можно обобщить (79), полагая |
|
|
|
|||||
|
|
|
п |
|
|
|
|
|
|
т |
(**)•+и . в К + £ |
^ |
(в?/-й?) (в?/-йр), |
(90) |
|||
|
|
|
<7= 1 |
|
|
|
|
|
гДе К», Иг» Н'г» |
•••» |
|ып — постоянные; |
величины |
%\f представляют |
||||
собой шесть |
скрытых параметров |
(&\? = $Р), |
удовлетворяющих q |
уравнениям £$ = 0.
Выражение вида (90) хорошо описывает изотропные среды; более того, обобщение на случай анизотропных сред не представляет за труднений. Возможна также экстраполяция моделей на неизотерми ческие процессы.
Ниже описывается метод, который позволяет, отбросив предпо ложение о линеаризации, построить более общие модели нелиней ных вязкоупругих сред.
V III.8. УПРУГО-ИДЕАЛЬНО-ПЛАСТИЧЕСКИЕ СРЕДЫ
Ниже покажем, каким образом может быть использован метод локального состояния с целью введения законов пластичности в наи более простых случаях. Будем рассматривать для простоты только малые возмущения, считая при этом, что остаются справедливыми предположения метода линеаризации. Кроме того, будем рассмат ривать только изотермические процессы.
V III.8.1. Качественный подход к построению моделей. В любой теории пластичности предполагается, что существует предел напря жений (предел текучести) и поведение среды различается в зависи мости от того, находятся ли напряжения ниже предела текучести или же на этом пределе. Ниже предела текучести среда считается
Рис. 3. Схематическое изо |
Рис. 4. Нагрузка и разгрузка |
|
бражение напряженного |
при чистом растяжении |
|
состояния: |
|
|
д(р- поверхность |
текучести; |
|
ср-упругая |
область |
|
упругой, на пределе текучести движение среды происходит по новым законам, которые и предстоит сформулировать.
Ограничимся случаем идеально пластических сред. Для таких сред предел текучести остается неизменным, определенным раз и навсегда заданием среды, иными словами, для каждой частицы этот предел не зависит от предыстории. Если же (что будет всегда пред полагаться) среда однородна, предел текучести будет одинаковым для всех частиц рассматриваемой системы.
Для рассуждений удобно использовать вспомогательное ортонормированное пространство девяти измерений, называемое простран ством напряжений. Точка 2 такого пространства изображает тензор напряжений 2, координаты ее равны компонентам оiJ. Обозначим через ду множество точек 2 , изображающих напряженные состоя ния на пределе текучести. Будем считать, что ду—замкнутая поверх ность, ограничивающая открытую связную область внутри которой находится начало координат. Множество точек 2 из ^ представляет собой совокупность состояний ниже предела текучести. Рассмотрим частицу М системы, в которой тензор напряжений 2 непрерывно меняется во времени. Изображение напряженного состояния в этой частице в пространстве напряжений представляет собой дугу непре рывной кривой Г, причем положение частицы на кривой опреде ляется временем t. Предполагаем также, что каковы бы ни были воздействия на частицу М, дуга Г всегда принадлежит замкнутой области ^ (именно в этом основной смысл понятия предела текучести).
Другими словами, |
ни в одной из |
своих точек система не |
может |
иметь тензора напряжений, изображение которого лежало |
бы вне |
||
данной замкнутой |
области. Пусть |
AlA2A3A4iAbA(SA1 —дуга |
кривой, |
ориентированная в сторону возрастающих t (рис. 3). Во всех точках полуоткрытой дуги [АгА3[ (т. е. кроме А3) или полуоткрытой дуги ]Л5Л7] (т. е. кроме Л5) частица находится в упругом режиме. Во всех точках открытой дуги ]А3АЬ[ (иными словами, кроме точек А3 и Л5) частица находится в пластическом режиме, и локальный про цесс в частице является процессом нейтрального нагружения. В точке
А3 локальный процесс есть процесс нагружения (Л8—точка нагру жения). В точке Аъ локальный процесс представляет собой раз грузку (Л5—точка разгрузки).
Закончим качественную характеристику описанием поведения деформаций в одном частном случае. Предположим, что с течением времени тензор напряжений в рассматриваемой частице остается одноосным тензором простого растяжения и лишь один из компо нентов ац отличен от нуля. Будем изучать поведение компонента е1( тензора деформаций (рис. 4). Обозначим через ft и — ft' значения компонента ап, в которых достигается предел текучести (ft и ft' по ложительные величины): ft—предел упругости (текучести) среды при простом растяжении, ft'—предел упругости при простом сжатии. Предположим, что в начальный момент и напряжения и деформации равны нулю. Если в течение процесса ап остается в интервале ]—ft', +ft[, то материал ведет себя как упругая среда и в каждый момент имеет место равенство
аи — £ eii>
где постоянный коэффициент Е является модулем Юнга. Предполо жим теперь, что в некоторый данный момент времени компонент olt достигает значения k и сохраняет это значение в течение интер вала времени (/lt /2). (Напомним, что, по предположению, alf не может быть больше k.) В течение этой фазы (tiy t2) частица оста ется в пластическом режиме. Опыт показывает, что в этом режиме в изучаемых средах, модель которых необходимо построить, дефор мация % растет. В плоскости (е^, an) точка В2 изображает состоя ние в момент /2. Предположим затем, что точка В2 является точкой разгрузки, иными словами, в течение времени t2< t < t3 компонент <% принимает значения, лежащие между —k' и k. Начиная с точки В2
среда находится в упругом режиме, или, точнее, |
производные alf |
и elt от alt и 8if удовлетворяют уравнению |
|
Оц = £ёц, |
(91) |
где Е —все тот же модуль Юнга. В точке типа В3 деформация пред
ставляет |
собой сумму: |
|
|
|
|
|
|
|
eii = en + eflt ои = |
Ее{и |
(92) |
где, по |
определению, |
eft — пластическая |
(постоянная) |
деформация; |
|
— упругая |
деформация. В течение времени (t8, te) |
пластическая |
|||
деформация |
остается |
постоянной. В точке В4 в момент времени tx |
|||
компонент ап равен нулю (деформация |
отлична от нуля). В точке ВБ, |
соответствующей моменту tb, деформация равна нулю, а компонент сг^
(отличный от нуля) определяет |
остаточное напряжение в этой точке. |
||||||
В точке |
в момент |
tn достигается |
предел текучести при сжатии. |
||||
Если Glt |
остается |
постоянной |
и равной —k' на отрезке (/в, /7), то |
||||
соответствующая |
фаза |
будет |
пластической. |
Здесь |
компонент еп |
||
уменьшается. |
|
примере |
видно, |
что в упругих |
режимах при |
||
На этом простом |
|||||||
ращения |
напряжений |
и деформаций |
связаны |
упругими соотноше |