Математическое моделирование химико-технологических систем.-1

или ее близость к реальному объекту не доказана, то результаты расчета не могут быть основанием для каких-либо технологических выводов и рекомендаций.

Существует несколько способов оценки адекватности модели, однако их суть сводится к сравнению расчетных и экспериментальных данных с помощью статистических критериев, на основании которых делают вывод об адекватности или неадекватности модели.

В качестве примера рассмотрим систему параметрического мониторинга котла, вырабатывающего сухой насыщенный пар, технологическая схема которого представлена на рис. 5.7.

Рис. 5.7. Схема движения материальных потоков котла, вырабатывающего сухой насыщенный пар

Суть работы параметрической системы мониторинга заключается в том, что выброс загрязняющих веществ в атмосферу непрерывно рассчитывается на основании расхода дымовых газов, определенного из материального и теплового балансов, и концентраций загрязняющих веществ, рассчитанных по адекватной математической модели. Пример обработки экспериментальных данных при составлении модели представлен на рис. 5.8.

Как видно, обе математические модели (линии) достаточно хорошо описывают соответствующие наборы экспериментальных значений (точки). Средняя погрешность моделей составляет 2,52 и 2,76 %.

71

Адекватность моделей была проверена по критерию Фишера, который в обоих случаях превышает табличное значение, следовательно, обе модели могут использоваться для расчетов.

Рис. 5.8. Пример обработки экспериментальных данных при составлении математической модели выбросов оксида азота (NO)

В случае, если адекватность математической модели не доказана, т.е. математическая модель не соответствует технологическому процессу, то данной моделью пользоваться недопустимо. Таким образом, проверка адекватности модели для всех планируемых интервалов изменения параметров является необходимой процедурой перед использованием любой математической модели для целей оптимизации.

72

6. ОПТИМИЗАЦИЯ, КРИТЕРИЙ ОПТИМАЛЬНОСТИ

Оптимизацией называется целенаправленная деятельность, заключающаяся в получении наилучших результатов при соответствующих условиях.

Исторически сама проблема оптимизации неразрывно связана

сконкуренцией на рынке, т.е. с вопросами поиска условий производства продукции, позволяющих выпускать один и тот же товар

сминимальными издержками. При этом необходимость поиска оптимальных решений привела к созданию специальных математических методов еще в XVIII веке (вариационное исчисление, численные методы и др.), однако до второй половины XX века методы оптимизации во многих областях науки и техники применялись очень редко, поскольку практическое использование математических методов оптимизации требовало огромной вычислительной работы, которую без ЭВМ реализовать было крайне трудно, а в ряде случаев невозможно. При этом основные трудности возникали при решении задач оптимизации химико-технологических систем из-за большого числа параметров и их сложной взаимосвязи между собой.

Вобщем виде при формулировке задачи оптимизации нужно учитывать следующие требования:

1. Наличие цели оптимизации. При этом формулировка каждой задачи оптимизации должна требовать экстремального значения лишь одной величины, т.е. одновременно системе не должно приписываться два и более критериев оптимальности, поскольку обычно экстремум (минимум или максимум) одного критерия не соответствует экстремуму другого. Кроме того, критерии оптимизации могут зависеть друг от друга.

Типичный пример неправильной постановки задачи оптимизации: получить максимальную производительность при снижении себестоимости продукции. Ошибка заключается в том, что ставится задача поиска оптимума двух взаимосвязанных величин. По этой причине задача требует конкретизации критерия оптимальности. Так, в одном случае речь может идти о снижении расходных норм при постоянной производительности, что позволит снизить удельные текущие затраты на выпуск продукции, что приведет к снижению себестоимости. В другом случае допускается увеличение производительности за счет увеличения расходных норм, что приведет увеличению удельных текущих затрат, но данное увеличение в денежном выражении должно быть меньше положительного эффекта

73

от снижения условно-постоянных затрат на единицу продукции, связанного с увеличением производительности. При этом в первом случае цель оптимизации – себестоимость, а во втором – производительность.

2.Наличие ресурсов оптимизации, под которыми понимают воз-

можность количественного изменения значений некоторых параметров оптимизируемого объекта. При этом объект должен обладать определенными степенями свободы – управляющими воздействиями.

Например, на конкретных трубопроводах должны стоять задвижки с приводом и была возможность оценить степень закрытия задвижки, была возможность изменить состав сырья на конкретное количество процентов конкретного вещества и т.п.

3.Возможность количественной оценки оптимизируемой ве-

личины, поскольку только в этом случае можно сравнивать эффекты от выбора тех или иных управляющих воздействий на выбранный критерий оптимальности.

Например, концентрация целевого компонента в потоке после реактора увеличилась на 0,5 мас. %, выброс конкретного загрязняющего вещества в окружающую среду снизился на 250 кг/ч и т.п.

Необходимо отметить, что существуют еще задачи оптимиза-

ции структуры технологической системы, связанной с оптимизацией ее топологии, и задачи оптимизации работы элементов тех-

нологической системы, позволяющей достичь более высоких тех- нико-экономических показателей ее работы. Кроме того, принято различать задачи статической оптимизации для процессов, протекающих в установившихся режимах, и задачи динамической оптимизации. В первом случае решаются вопросы создания и реализации оптимальной модели процесса, а во втором – задачи создания и реализации системы оптимального управления процессом при неустановившихся режимах эксплуатации.

При любой постановке задачи оптимизации в первую очередь определяются с целью оптимизации, т.е. с параметром, который при конкретном рассмотрении будет рассматриваться как критерий оптимальности.

Критерием оптимальности называется количественная оценка оптимизируемого качества объекта. Иным образом, критерий оптимальности – это главный признак, по которому судят

отом, насколько хорошо функционирует технологическая система, работает данный процесс и т.д., а также насколько хорошо решена задача оптимизации.

74

Критерий оптимальности является одним из выходов системы и

кнему предъявляются следующие требования:

1)критерий оптимальности должен выражаться количественно;

2)критерий оптимальности должен быть единственным;

3)величина критерия оптимальности должна изменяться монотонно (без разрывов и скачков);

4)критерий оптимальности должен отражать наиболее существенные стороны процесса;

5)критерий оптимальности должен иметь ясный физический смысл и легко рассчитываться.

На основании выбранного критерия оптимальности составляется целевая функция, представляющая собой зависимость критерия оптимальности от параметров, влияющих на ее значение. Вид критерия оптимальности или целевой функции определяется конкретной задачей оптимизации. Таким образом, задача оптимизации сводится к нахождению экстремума целевой функции.

Наиболее общей постановкой оптимальной задачи является выражение критерия оптимальности в виде экономической оценки (производительность, себестоимость продукции, прибыль, рентабельность). Однако в частных задачах оптимизации, когда объект является частью технологического процесса, не всегда удается или не всегда целесообразно выделять прямой экономический показатель, который бы полностью характеризовал эффективность работы рассматриваемого объекта. В таких случаях критерием оптимальности может служить технологическая характеристика, косвенно оценивающая экономичность работы агрегата (время контакта, выход продукта, степень превращения, температура). Например, устанавливается оптимальный температурный профиль, длительность цикла «реакция – регенерация» и т.п. Однако в любом случае крите-

рий оптимальности имеет экономическую природу.

Различают простые и сложные критерии оптимизации. Критерий оптимальности называется простым, если требуется определить экстремум целевой функции без задания условий на какие-либо другие величины. Такие критерии обычно используются при решении частных задач оптимизации (например, определение максимальной концентрации целевого продукта, оптимального времени пребывания реакционной смеси в аппарате и др.).

Критерий оптимальности называется сложным, если необходимо установить экстремум целевой функции при некоторых условиях, которые накладываются на ряд других величин и ограничений.

75

Таким образом, процедура решения задачи оптимизации обязательно включает в себя, помимо выбора управляющих параметров, еще и установление ограничений на эти параметры. Ограничения могут устанавливаться по технологическим ограничениям, экономике, экологии и т.п. Различают следующие основные ограничения:

–по количеству и качеству сырья и продукции (состав сырья, качество продукции, производительность и др.);

–по условиям технологии (размеры аппарата, время пребывания, температура зажигания, температура зажигания или деструктурирования катализатора и др.);

–по экономическим соображениям;

–по охране труда;

–по охране окружающей среды и т.д.

Таким образом, для решения задачи оптимизации необходимо:

1)составить математическую модель объекта оптимизации;

2)выбрать критерий оптимальности и составить целевую функцию;

3)установить возможные ограничения, которые должны накладываться на переменные;

4)выбрать метод оптимизации, который позволит найти экстремальные значения искомых величин.

Основной задачей оптимизации является нахождение экстремума (минимума или максимума) функции критерия оптимальности. Нахождение экстремума функции возможно различными методами. Выбор того или иного метода нахождения оптимума является одним из важнейших этапов оптимизации. Методы поиска оптимума можно разделить на следующие группы:

– аналитические методы;

– методы математического программирования.

Группа аналитических методов оптимизации объединяет ана-

литический поиск экстремума функции, вариационные методы

ипринцип максимума. Аналитический поиск экстремума функции, заданной без ограничений на независимые переменные, является наиболее простым, но применяется к задачам, у которых оптимизируемая функция имеет аналитическое выражение, дифференцируемое во всем диапазоне исследования, а число переменных невелико.

Группа методов математического программирования включает динамическое программирование, линейное программирование

инелинейное программирование.

76

Динамическое программирование – эффективный метод реше-

ния задач оптимизации многостадийных процессов. Метод предполагает разбивку анализируемого процесса на стадии (во времени или в пространстве), например: реактор в каскаде или тарелка в колонне. Рассмотрение задачи начинается с последней стадии процесса, оптимальный режим определяется постадийно.

Линейное программирование – метод для решения задач оп-

тимизации с линейными выражениями для критерия оптимальности и линейными ограничениями на область изменения переменных. Подобные задачи решаются итерационными способами. Эти методы используются при оптимальном планировании производства, ограниченном количестве ресурсов, для транспортных задач и др.

При нелинейном программировании используются различные способы решения оптимальных задач: градиентные, безградиентные и случайного поиска. Общим для методов нелинейного программирования является то, что их применяют при решении задач с нелинейными критериями оптимальности. Все методы нелинейного программирования – это численные методы поискового типа. Суть их заключается в определении набора независимых переменных, дающих наибольшее приращение оптимизируемой функции.

Необходимо отметить, что вопросы, связанные с особенностями оптимизации химико-технологических процессов и систем, являются комплексными и связаны как с особенностями протекающих процессов, так и с функционированием всей ХТС и ее топологией, поэтому более детально рассматриваются в ряде специальных курсов.

77

СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1.Методы и средства автоматизированного расчета химикотехнологических систем / Н.В. Кузичкин, С.Н. Саутин, А.Е. Пунин [и

др.]. – Л.: Химия, 1987. – 152 с.

2.Химико-технологические системы. Синтез, оптимизация, управление / под ред. И.П. Мухленова. – Л.: Химия, 1986. – 424 с.

3.Кутепов А.М., Бондарева Т.И., Беренгартен М.Г. Общая химическая технология: учеб. для техн. вузов. – 2-е изд., испр. и доп. – М.: Высшая школа, 1990. – 520 с.

4.Бояринов А.И., Кафаров В.В. Методы оптимизации в химической технологии. – М.: Химия, 1973. – 564 с.

5.Кафаров В.В., Перов В.Л., Мешалкин В.П. Принципы математического моделирования химико-технологических систем. – М.: Хи-

мия, 1974. – 344 с.

6.Амирова С.А., Островский С.В. Основы теоретического анализа химико-технологических процессов: метод. рекомендации / УрО РАН. – Екатеринбург, 1992. – Ч. I, II.

7.Кафаров В.В., Мешалкин В.П., Перов В.Л. Математические основы автоматизированного проектирования химических производств: методология проектирования и теория разработки оптимальных технологических схем. – М.: Химия, 1979. – 320 с.

8.Островский Г.М., Бережинский Т.А. Оптимизация химикотехнологических процессов. Теория и практика. – М.: Химия, 1984. –

240с.

9.Банди Б. Методы оптимизации. Вводный курс. – М.: Радио и связь, 1988. – 128 с.

10.Второй фронт ХТС // The Chemical Journal. – 2002. – Сентябрь. – С. 50–54.

11.Design-II для Window. Основные правила пользования программным обеспечением (на примере создания ХТС): метод. указания / Д.В. Саулин; Перм. гос. техн. ун-т. – Пермь, 1998. – Ч. 1. – 16 с.

12.Саулин Д.В. Математическое моделирование химикотехнологических систем: конспект лекций / Перм. гос. техн. ун-т.—

Пермь, 2005.— 72 с.

13.Саулин Д.В. Теоретические основы энерготехнологии химических производств: конспект лекций / Перм. гос. техн. ун-т. – Пермь,

1999. – 150 с.

78

14. Холоднов В.А. Компьютерные технологии точечного и интервального оценивания параметров парной линейной регрессии по методу наименьших квадратов: учеб. пособие. – СПб.: Изд-во СПбГТИ (ТУ), 2008. – 78 с.

Дополнительные информационные источники

1. Информация на интернет-сайте фирмы WinSim Inc. – URL:

http: //www.winsim.com.

2. Информация на интернет-сайте фирмы AspenTech Inc. – URL: http: //www.aspentech.com.

79