Гитман, М.Б. Г51 Введение в комбинаторику и теорию вероятностей
.pdf
The answer: a) 0.6, b) 0.3, c) 0.9.
14. 15 tutorials are put on a rack in the library in the casual order, 5 of them in an interlacing. The librarian takes 3 tutorials in a case order. Find the probability that even one of them will appear in an interlacing.
The answer: 6791 .
15. Two cubes are thrown once. A random quantity S – total of the dropped out numbers. Spot the expectation and the variance S.
The answer: M (S) = 7. D(S) = 356 .
16.There are 6 white and 4 black balls in the urn. A ball is taken out 5-ve times from the urn, and each time it is returned in a urn. An aleatory variable S – number of white balls that were extracted. Spot the expectation and the variance S.
The answer: M (S) = 3. D(S) = 1.2.
17.The aleatory variable X is presets by a cumulative distribution function,
|
0, |
|
|
x < 1 |
||
|
|
|
− 1 |
|
||
|
x |
|
||||
FX |
(x) = |
|
|
|
|
, x [1,3] |
|
2 |
|
||||
|
|
|
x > 1 |
|||
|
1, |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
Spot the hit probabilities of an aleatory variable X in intervals (1.5; 2.5) and (2.5:3.5).
The answer: 0.5; 0.25.
18. The shooter makes 3 shoots on the target. The probability to hit the target at each shoot is 0.3. Construct the distribution law of number of hits. (Use the Bernully formula).
The answer:
Х |
0 |
1 |
2 |
3 |
р |
0.343 |
0.441 |
0.189 |
0.027 |
913
19. Вычислить математическое ожидание, дисперсию и построить график плотности и функции распределения для случайной величины, равномерно распределенной на отрезке [0, 1].
Ответ: M (X ) = |
1 |
; |
D(X ) = |
|
1 |
. |
|
2 |
12 |
||||||
|
|
|
|
||||
20. АТС получает в среднем за час 300 вызовов. Какова вероятность того, что за данную минуту она получит ровно 2 вызова?
Ответ: P = 52 exp(−5) ≈ 0,09. 2!
21. Стрельба ведется из точки О вдоль прямой ОХ. Средняя дальность полета снаряда равна m. Предполагая, что дальность полета снаряда Х распределена по нормальному закону со средним квадратичным отклонением σ = 80 м, найти, какой процент выпускаемых снарядов дает перелет от 120 до 160 м.
Ответ: 4,4 % (полученный результат от числового значения m не зависит).
924
19. Spot the expectation, variance, plot the chart of densenesses and cumulative distribution function for an aleatory variable uni-
formly distributed on a segment [0, 1]. |
|
|
|
||||
The answer: |
M (X ) = |
1 |
, D(X ) = |
|
1 |
. |
|
2 |
12 |
||||||
|
|
|
|
||||
20. Durig one hour the automatic telephone exchange receives 300 calls. What is the probability that in given minute it will receive equally 2 calls?
The answer: P = 52 exp(−5) ≈ 0.09. 2!
21. The fire is conducted from a point O lengthways direct OX. The mean range of flight of the shell is peer m. Guessing, that the range of a shell X is distributed by the normal law with a medial quadratic deviation o = 80 m, find, what percent of emitted shells gives the over fly from 120m up to 160m.
The answer: 4.4 % (obtained outcome does not depend on a numerical value m).
935
4. ЗАДАЧИ
Во множестве учебников и on-line ресурсах можно найти массу примеров и упражнений, включая «веселые задачи», например [10, 11], и др. Некоторые из них мы предлагаем. Решая эти задачи, можно попрактиковаться в использовании приобретенных знаний по комбинаторике и теории вероятностей.
1.Студент гр. ММ-10 Вальдемар Пупкин застал двухлетнюю племянницу Катю в момент, когда та инспектировала свой тайник, расположенный в проеме между стеной и книжным шкафом. В тайнике у Кати хранились пуговицы, срезанные в разное время с различных предметов одежды: 5 белых пуговиц с теперь уже не новой папиной рубашки, 3 красные пуговки с маминого халатика и 4 пуговицы с купленной три дня назад Вальдемаровой джинсовой куртки. Не обращая внимания на Катины протесты, Вальдемар нащупал 2 пуговицы и вытащил их. Какова вероятность того, что это пуговицы с куртки?
2.Когда Аделаида Уткина, студентка гр. ММ-10, которая официально находится на диете, наконец-то обнаружила в буфете кулек с конфетами, она услышала, как отворилась входная дверь. Это пришла из магазина бабушка Дездемона Мерседесовна. Времени на выбор не было, и Аделаида, запустив руку в кулек, едва успела переместить к себе в карман две конфеты. Какова вероятность того, что ей досталась хотя бы одна из конфет «Мишка на Севере», если в кульке было 7 конфет с помадкой, 5 соевых батончиков и 3 «Мишки на Севере»?
3.Элен Крякина наивно верит, что если она соберет 20 разных наклеек от жвачек Барби и отошлет их по указанному адресу, то добрые тети и дяди пришлют ей взамен настоящую куклу Барби. Объясните Леночке строго математически нереальность ее затеи, вычислив вероятность собрать 20 различных наклеек, купив ровно 20 жвачек. (Примечание: вероятность вытащить любую наклейкуиз произвольнойжвачки одна ита же.)
946
4. PROBLEMS
In many textbooks and on-line recourses you can find a large number of tests and exercises, including "entertaining problems", for example [10, 11] etc. Some of them we are offering below, solving them you can practice newly obtained knowledge in Combinatorial Analysis and Probability Theory.
1.The student of gr. MM-10 Valdemar Pupkin found his two- year-old niece Katya at the time when she was inspecting her hiding place, located in the opening between the wall and the bookcase. Buttons that were kept in this hiding place had been cut at different time from different clothes: 5 white buttons from a no longer new daddy’s shirt, 3 red buttons from her mother's gown and 4 buttons from Valdemar’s jean jacket purchased three days ago. Ignoring Katya’s protests, Waldemar took 2 buttons from the hiding place. What is the probability that these buttons are from his jacket?
2.When the student of gr. MM-10, Adelaide Utkina, who is officially on a diet, finally found in a cupboard a pack of candies, she heard the front door opening. Her grandmother Desdemona Mersedesovna came back from the shop. There was no time to choose, and Adelaide dived her hand into the pack. She only had time to move two candies into her pocket. What is the probability that she got at least one candy "Bear in the north" if there were 7 candies with fudge, 5 soy bars, and 3 "Bears in the North"?
3.Helen Kryakina is naive to think that if she collects 20 different labels from the Barbie gum and sends them to the specified address, good people will send her a real Barbie doll. Explain Lena mathematically the unreality of her venture by calculating the probability of gathering 20 different labels by buying exactly 20 packs
of gum. (Note: the probability of drawing each label of any gum the same.)
957
4.Чайный сервиз на 6 персон состоит из 6 чашек, 6 блюдец, чайника, сахарницы и молочника. Во время ссоры нигде не работающая бывшая студентка гр. ММ-10 Клава запустила в своего бойфренда, бывшего студента гр. КМ-09 Григория тремя первыми попавшимися под руку предметами из сервиза. Какова вероятность того, что не пострадали чашки? (Указание: считать, что предметыпопадалисьКлавеподрукусовершеннослучайно.)
5.Пустые горшочки с медом Винни-Пух ставит на полочку вместе с полными для того, чтобы вид уменьшающегося числа горшков не слишком портил ему настроение. В настоящий момент в буфете у Пуха вперемежку стоят 5 горшочков с медом и 6 абсолютно пустых. Какова вероятность того, что в двух взятых на ужин горшочках окажется мед?
6.В самом тихом районе Перми (Ленинском) за неделю совершается 7 ограблений. Найти вероятность того, что хотя бы один день в неделю милиция будет отдыхать. (Примечание: все возможные распределения числа ограблений по дням недели равновероятны.)
7.В ящике комода лежат 10 носков черного цвета и 6 носков в зеленую полосочку. Наудачу вынимается 3 носка. Найти вероятность того, что образовалась пара.
8.Студент гр. ММ-10 Вальдемар Пупкин вечером возвращается домой. У него в руках связка из пяти ключей, причем
только один подходит к дверям квартиры. По причинам,
о которых можно только догадываться, Вальдемар пробует ключи наугад так, что при каждой попытке любой ключ, включая нужный, выбирается с одинаковой вероятностью. За этим захватывающим зрелищем через замочную скважину дверей соседней квартиры внимательно следят Иван Кузьмич и Пелагея Марковна. Иван Кузьмич готов биться об заклад, что Вальдемар и с третьей попытки в дом не попадет. Сердобольная же Пелагея Марковна утверждает, что по крайней мере на третий раз дверь поддастся. У кого больше шансов победить в споре?
968
4. The tea set for 6 persons consists of 6 cups, 6 saucers, a teapot, a sugar bowl and a milk jug. During a quarrel the nonworking ex-student of gr. MM-10 Klava launched to her boyfriend exstudent of gr. KM-09 Gregory three items from the set, that came to her hand. What is the probability that cups are not damaged? (Hint: assume that objects came to Klava’s hand
by random.)
5.Empty honey pots Winnie the Pooh puts on a same shelf with the full ones in order not to see the declining number of pots and not to spoil his mood. Now there are 5 full pots and 6 completely empty ones. What is the probability that at dinner time he will find honey in two random pots?
6.In the most quiet district of Perm (Lenin) 7 robberies a week take place. Find the probability that at least one day a week, the police will have a rest. (Note: all possible distributions of the
robberies’ number on the days of the week are equal.)
7.In the chest of drawers there are 10 black socks and 6 socks with green stripes. 3 socks are taken out at random. Find the probability that a pair would be formed.
8.The student of gr. MM-10 Valdemar Pupkin is returning back home in the evening. He has a bunch of five keys in his hands, and only one comes to the door of his apartment. For the reasons which we can only guess, Waldemar tries keys at random so that every time at every attempt any key, including the right one, is selected with equal probability. Ivan Kuzmich and Pelagia Markovna are closely watching this spectacular sight through the keyhole of the neighbor’s door. Ivan Kuzmich bets that Valdemar would not enter his house even at the third attempt. Compassionate Pelagueya Markovna argues that at least at the third time the door would be opened. Who has more chances to win the argument?
97
9.Фирма «Ха-Ха-Ха» выпустила акции и обещает своим вкладчикам несусветные дивиденды. Котировки акций меняются каждый день так, что стоимость одной акции возрастает в два раза.
Впонедельник, в первый день продажи акций, Пелагея Марковна, отстояв многочасовую очередь, втайне от мужа Ивана Кузьмича, вложила в фирму 200 тысяч рублей из своей пенсии, надеясь кконцу недели получить 12 млн 600 тыс. рублей чистой прибыли. Сбудутся ли ее чаяния, если вероятность того, что лавочка не закроется, в день открытия составляла 1/10 и каждый день уменьша-
етсяв 10 раз? (Найтивероятностьуказанногособытия.)
10.Пелагея Марковна и Иван Кузьмич вечерами обычно играют в преферанс со своим соседом, студентом гр. ММ-10 Вальдемаром Пупкиным. Вальдемарову двухлетнюю племянницу Катю сажают на прикуп. Сколько раз за вечер нужно сдать колоду, чтобы в прикупе по крайней мере один раз оказалось два туза с вероятностью не меньше 1/2. (Примечание: при игре в преферанс старшие 32 карты колоды случайным образом сдаются между тремя игроками, получающими по 10 карт, и прикупом, куда кладутся две карты.)
11.Ослик Иа-Иа к словам песенки «и-а» пытается наугад подобрать мелодию. Какова вероятность того, что ему это уда-
стся хотя бы на 40-й раз? (Указание: а) ослиному крику соответствует сочетание нот ля-до; б) ослик пользуется основной октавой и уже проверенные парные сочетания не запоминает, но безошибочно отреагирует на подходящую.)
12.Студент гр. ММ-10 Вальдемар Пупкин и два его приятеля засели с рогатками в кустах, чтобы пострелять по голубям, воркующим на карнизе ближайшего от института полицейского участка. Едва они сделали по одному выстрелу, как оконное стекло со звоном разлетелось и всей компании пришлось спасаться бегством от выскочившего начальника полиции. Какова вероятность того, что разбитое окно дело рук Вальдемара Пупкина, если из 10 выстрелов он обычно попадает 8 раз,
а его приятели по 7? (Примечание: случай коллективного попадания в окно исключается.)
10098
9. The firm "Hahaha" has emitted shares and promises its investors fantastic dividends. The shares are changing every day, so that the value of one share increases twice. On Monday, the first day of sale, Pelagia Markovna stood many hours in a queue and secretly from her husband Ivan Kuzmich invested 200 thousand rubles from his pension into the company, hoping to receive 12 million 600 thousand rubles of net profit by the end of the week. Will these aspirations come true, if the probability that the shutters will be put up at the opening day is 1/10 and every day it reduces by tenfold? (Find the probability of this event.)
10. Pelagia Markovna and Ivan Kuzmich during the evenings usually play preference with their neighbor, a student of gr. MM-10 Valdemar Pupkin. Valdemar’s two-year niece Katya is usually put on the talon. How many times a night you need to pass a deck so that the talon at least once contained two aces with a probability at least 1/2. (Note: when you play preference the
highest 32 cards of the deck are randomly given to the three players, who receive 10 cards a time, and to the talon, at which two
cards are placed.)
11. The donkey Ee-Ee is trying to pick up the melody for the words of the song "Ee-ee" at random. What is the probability that he will succeed at least for the 40th time? (Note: a) the donkey’s cry
consists of a combination of notes La-Do; b) our donkey uses the main octave and does not remember already checked paired combi-
nations, but he would easily recognize the right one.)
12. The student gr. MM-10 Valdemar Pupkin and his two friends sat down in the bushes with slingshots to shoot the pigeons cooing in the eaves of the nearest police station from the institute. As soon as each one has done a shot, a pane of glass crashed with a plunk, and they had to flee from the police chief. What is the probability that the broken window was the job of Waldemar Pupkin, if he usually gets 8 shots of 10 and his pals – 7? (Note: the case of a
collective hit in the window is excluded.)
10199
13.Студент гр. ММ-10 Вальдемар Пупкин и его приятель, заняв выгодную позицию вблизи дверей корпуса «В» ПГТУ, обстреливали снежками всех выходящих девчонок-студенток. Когда дверь
вочередной раз открылась, два снежка одновременно полетели
вголову застывшего на пороге Лукреция Ипполитовича. Какова вероятность того, что цель была поражена, если известно, что Вальдемаробычнопопадает8 разиз10, аегоприятельтолько7?
14.Любимое занятие двухлетней девочки Кати – срезать пуговицы с одежды. Пока мама готовила кашу, Кате удалось отстричь все 5 белых пуговиц с папиной пижамы и 3 черные пуговицы с маминого вечернего платья. Одну пуговицу Катя проглотила, а остальные засунула в глубокую щель между полом и плинтусом. За этим занятием ее и застала мама. С большим трудом мама сумела выковырять из щели 2 пуговицы. Какова вероятность того, что платье можно привести в порядок, если одна запасная пуговица у мамы есть?
15.Пока мама пекла пирог, двухлетняя девочка Катя успела срезать 7 белых пуговиц с новой папиной рубашки и 3 красные пуговицы с маминого халатика. Одну пуговицу Катя проглотила, а остальные засунула в щель между книжным шкафом и стеной. Маме, заставшей Катю за этим занятием, удалось с помощью реквизированных ножниц выковырять из-за шкафа одну белую пуговицу. Остальные достать не удалось. Какова вероятность того, что проглочена пуговица с папиной рубашки?
16.Симпатичная студентка Аделаида Уткина к зачету ус-
пела выучить только 10 вопросов из 20, но надеется, что в случае неудачи уговорит профессора Аркадия Аристарховича задать ей второй вопрос. По многолетним наблюдениям, профессора можно разжалобить в двух случаях из трех, и это соотношение не меняется с годами. Каковы шансы Аделаиды сдать зачет?
17. Симпатичная студентка Аделаида Уткина знает к зачету только 15 вопросов из 30. Она считает, что если пойдет отвечать вторая, то ее шансы вытянуть счастливый билет увеличатся. Права ли она? Докажите.
1002