554

На рис. 1.22 приведена графическая интерпретация нечеткого вывода по Ларсену.

Нечеткий вывод по Цукамото

В данном варианте нечеткого вывода используется тот же алгоритм, что и при выводе по Мамдани, но требуется, чтобы функции принадлежности выхода были монотонны (убывающие или возрастаю-

щие) [5].

Пусть продуктивные правила П1 …П 4 записаны в следующейформе:

П1: если х есть A1 и y есть B1, то z естьC1,

П2: если х есть A2 и y есть B2 , то z естьC2 ,

где х, у, z – имена переменных входа и выхода соответственно, а A1, B1, A2 , B2 A3 , B3 , A4 , B4 , С1,С2 – упрощенная запись заданных непрерывных функций принадлежности, при этом четкое значение z0 необ-

ходимо определить при текущих переменных x0 и y0 .

1.Введение нечеткости: находим текущие степени принадлежности для предпосылок правил: (П1…П4): А1 x0 , А2 x0 , В1 у0 , В2 у0 .

2.Находим степени принадлежности после операции минимум, где нечеткая импликация Т-типа (по Мамдани) определяется по формуле

μA B (x, y) μA (x) μB ( y) min[μA (x),μB ( y)]

или

1 min[A1 (x0 ), B1 ( y0 )] A1 (x0 ) B1 ( y0 ),

2 min[A2 (x0 ), B2 ( y0 )] A2 (x0 ) B2 ( y0 ).

3.Определяем заключения с заменой аргумента на функцию и на-

оборот

4. Четкое значение выходной переменной определяется сразу как взвешенная комбинация

z0 1z1 2 z2 .

1 2

Пример 1.20. Рассмотрим нечеткий вывод по Цукамото.

61

Пусть дана система управления нечеткой логики с двумя правилами нечеткого управления:

Rule1: IF x is A1 AND y is B1 THEN z is C1 , Rule 2 : IF x is A2 AND y is B2 THEN z is C2 .

Предположим, что величины xi и yi , считываемые с датчиков, яв-

ляются четкими входными величинами для лингвистических переменных х и y . При этом заданы следующие термы для нечетких подмно-

жеств A1 , A2 , B1 , B2 ,С1 ,С2 этих переменных:

На рис. 1.23 приведена иллюстрация нечеткого вывода поЦукамото. Предположим, что в момент времени t1 были считаны значения

датчиков x0 t1 3 и y0 t1 2 . Определяем срезы для обоих правил на основе заданных функций и с учетом x0 t1 3 и y0 t1 2 :

62

μA1 x0 3 0,5 ; μB1 y0 2 0,7 ; μA2 x0 3 0,6 ; μB2 y0 2 0,3 .

Рис. 1.23. Иллюстрация нечеткого вывода по Цукамото

Затем в соответствии с правилом вывода алгоритма Мамдани определяем уровни среза (нечеткая импликация):

α1 min μA1 x0 ,μВ1 y0 min 0,5 0,7 0,5 ,

α2 min μA2 x0 ,μВ2 y0 min 0,6 0,3 0,3.

Определяем

Четкое значение выходной переменной определяется сразу как взвешенная комбинация:

Нечеткий вывод по Сугено-Такаги

Пусть продуктивные правила П1 …П4 записаны в следующей форме:

П1: если х есть A1 и y есть B1, то z1 а1x1 b1 у1,

63

П2: если х есть A2 и y есть B2 , то z2 а2 x2 b2 у2 ,

через x0 и y0 .

1.Введение нечеткости: находим текущие степени принадлежности для предпосылок правил (П1…П4): А1 x0 , А2 x0 , В1 у0 , В2 у0 .

2.Находим степени принадлежности после операции минимум, где нечеткая импликация Т-типа (по Мамдани) определяется по формуле

μA B (x, y) μA (x) μB ( y) min[μA (x),μB ( y)]

или

α1 min[A1 (x0 ), B1 ( y0 )] A1 (x0 ) B1 ( y0 ),

α2 min[A2 (x0 ), B2 ( y0 )] A2 (x0 ) B2 ( y0 ).

3.Определяем «индивидуальные выходы»

z1 а1 x b1 у; z2 а2 x b2 у,

где коэффициенты аi и bi задаются.

4. Методом центроида приводим к четкости переменной вывода:

i 1

Пример 1.21. Пусть дана система управления модуля нечеткой логики с двумя правилами нечеткого управления:

Rule 1: IF x is A11 AND y is A21 THEN z1 4 2x 2y , Rule 2 : IF x is A12 AND y is A22 THEN z2 2 4x 2y .

Предположим, что величины x и y , считываемые с датчиков, являются четкими входными величинами. При этом заданы следующие термы нечетких подмножеств A11 , A21 , A12 , A22 этих переменных.

64

Рис. 1.24. Иллюстрация к модулю управления Сугено-Такаги

μA11 4 0,25 ; μA12 4 0,8 ,

μA21 5 1; μA22 5 0,5 .

Затем в соответствии с правилом Мамдани рассчитываем нечеткую импликацию:

α1 min 0,25 1 0,25 , α2 min 0,8 0,5 0,5.

Кроме того, рассчитываем «индивидуальные» выходы: z1 f1 4, 5 4 2 4 2 5 2 ,

z2 f2 4, 5 2 4 4 2 5 8 .

Рассчитываем значение z по формуле метода центроида

k

Пример 1.22. Рассмотрим контур управления напряжением бесщеточного синхронного генератора (БЩСГ) с применением нечеткого регулятора, реализующего, например, алгоритм Сугено-Такаги(рис. 1.25) [8].

65

μ Ui ОМ Ui А22 0,34, ,

где Ui – дельта-функция; U i – текущее значение производной отклонения напряжения; U i 0,17 ; μ Ui Н – степень принадлежности Ui А23 (терм Н); μ U i ОМ – степень принадлежности

Ui А22 (терм ОМ).

Находим степени принадлежности после операции минимум, где нечеткая импликация Т-типа (по Мамдани) определяется по формуле

μA B (x, y) μA (x) μB ( y) min[μA (x),μB ( y)]

или

α1 min[μ Ui Н ,μ Ui Н ] min 0,66;0,66 0,66,

α2 min[μ Ui Н ,μ Ui ОМ ] min 0,66;0,34 0,34,

α3 min[μ Ui ОМ ,μ Ui Н ] min 0,34;0,66 0,34,

α4 min[μ Ui ОМ ,μ Ui ОМ ] min 0,34;0,34 0,34

иопределяем «индивидуальные выходы»:

z1 μ Ui Н Ui μ Ui Н Ui 0,66 0,17 0,66 0,17 0, 22,

z2 μ Ui H Ui μ Ui ОМ Ui 0,66 0,17 0,34 0,17 0,17, z3 μ Ui ОМ Ui μ Ui Н Ui 0,34 0,17 0,66 0,17 0,17, z4 μ Ui ОМ Ui μ Ui ОМ Ui 0,34 0,17 0,34 0,17 0,12.

По методу центроида определяем выход:

i 1

67

Иерархические системы нечеткого логического вывода

Для моделирования многомерных зависимостей «входы – выход» целесообразно использовать иерархические системы нечеткого вывода [6]. В таких системах выход одной базы знаний подается на вход другой, более высокого уровня иерархии. В таких системах отсутствуют обратные связи. Применение иерархических нечетких баз знаний позволяет преодолеть «проклятие размерности». При большом количестве входов эксперту трудно описать нечеткими правилами причинноследственные связи. Это обусловлено тем, что в оперативной памяти человек может одновременно хранить не более 7 2 понятийпризнаков. При большом количестве информации ее необходимо иерархически классифицировать, так как человек перерабатывает информацию по иерархическому принципу.

Второе преимущество иерархических баз знаний – компактность. На рис. 1.27 показана иерархическая система нечеткого вывода.

f3 x6

Рис. 1.27. Иерархическая система нечеткого вывода

Небольшим количеством нечетких правил в иерархических базах знаний можно адекватно описать многомерные зависимости «входвыход». Пусть для пяти лингвистических переменных используется по шесть терм. Тогда максимальное количество правил для задания зависимости у f x1 , x2 , x3 , x4 , x5 , x6 с помощью одной базы знаний будет

равно 56 15625. Как показано, для иерархической базы знаний количество правил будет 52 52 52 53 = 200.

68

1.10. Деффазификация. Способы реализации

Дефаззификация – операция перевода нечеткой информации в четкую информацию [9]. Известны методы дефаззификации; центр тяжести (centroid), центр медианы (bisector), наибольшего из максимумов (lom), наименьшего из максимумов (som) и центр максимумов (mom). На практике чаще применяют метод центроида и центр максимумов. Рассмотрим модифицированный метод центроида с целью сокращения объема вычислений и повышения быстродействия.

Дефаззификация модифицированным методом центроида

Необходимо определить минимальную координату абсцисс, соответствующую максимальной высоте (ординате) нелинейного объединенного усеченного множества после нечеткой импликации и нечеткой композиции.

Известны разные формулы расчета координат ЦТ фигуры по методу центроида. Одна из них [10]

Формула (1.5) удобна в случае, когда функции принадлежности дефаззификатора есть синглетоны.

Известна формула вычисления абсциссы ЦТ линейных объединенных усеченных множеств (фигуры) с фиксацией координат ее характерных точек [11].

i 1

где xi , yi – координаты характерных точек элементарных фигур, опре-

деляющих границы i -результирующего нечеткого множества (фигуры). Расчет координат ЦТ фигуры по формуле (1.6) требует знания координат характерных точек элементарных фигур и имеет фиксирован-

ную точность, которая зависит от формы фигуры.

69

Далее приводятся формулы определения координат ЦТ фигуры, которые предполагают равномерное разбиение фигуры по оси абсцисс с построением i -прямоугольников разной высоты с расчетом центра тяжести каждого прямоугольника [9].

абсциссы ЦТ i -прямоугольника.

Недостатком применения формул (1.7) и (1.8) является большой объем вычислений и снижение быстродействия формирования управляющего воздействия на объект.

С целью повышения быстродействия расчета координат ЦТ и снятия ограничений на характер функции y f x рассмотрим прибли-

женный алгоритм на основе неравномерного разбиения по оси абсцисс фигуры объединенного усеченного множества с построением i -прямоугольников равной площади [20].

Пусть объединенное усеченное множество описывается функцией y f x и сложная фигура расположена на интервале [a, b] по оси абс-

цисс.

Предлагается следующий алгоритм вычисления координат ЦТ фигуры:

–площадь S 1;

–разбиваем сложную фигуру на n простых фигур с неравномерным разбиением по оси абсцисс, причем площади этих фигур должны

быть одинаковыми и равными S n 1 . Число разбиений n определяется из соотношения n 2 F 1 , где F – абсолютная погрешность воспроизведения функции y f x ;

– задаемся приращением C изменения координаты абсциссы, которое должно быть хотя бы на порядок меньше, чем в a n 1 ;

70