764

Ни одна из моделей феноменологического подхода не ставит целью объяснить и детально описать эти явления, но каждая должна быть основой для прогнозирования свойств материалов и расчета конструкций при ис­ пользовании в качестве исходной информации минимального числа опыт­ ных данных. Поэтому широкое распространение при прогнозировании ре­ сурсов материалов (в том числе и композитов) и оценке надежности конст­ рукций и систем получили теории, в которых реакция исследуемого объек­ та на внешнее воздействие отождествляется с некоторой величиной, назы­ ваемой мерой поврежденности. Математические соотношения, в которые входит мера поврежденности, оказываются одинаковыми или очень близ­ кими в моделях различных физических процессов, что придает теориям с мерой поврежденности известную степень общности. Анализ таких теорий содержится в монографии В.В. Болотина [6].

Простейшие теории основаны на введении скалярной меры повреж­ денности. Накопления повреждений в объекте описываются с помощью скалярной функции времени и условий нагружения © (Г, q ), где q — век­ тор нагрузок. Функция © принимает значения на отрезке [0, 1]. При этом значение со = 0 соответствует случаю, когда повреждения отсутствуют, значение со = 1 соответствует уровню повреждений, при котором объект выработал свой ресурс. Выбор физических состояний, соответствующих этим крайним значениям, достаточно произволен. При необходимости уче­ та технологических дефектов для начального состояния можно принять

® (^.Я)|г=/„ = а о> 0 <«о„ < 1.

Значение со = 1 и промежуточные значения © допускают многозначное толкование, поэтому в задачах прогнозирования скалярная мера поврежде­ ний допускает интерпретацию, не связанную непосредственно с физиче­ ской картиной повреждений материала или конструкции. При этом мера поврежденности играет роль параметра, который характеризует условия нагружения и воздействия окружающей среды, позволяя прогнозировать показатели ресурса и надежности при сложных условиях на основании опытных данных, относящихся к более простым условиям нагружения.

Функция © (г, q) может быть задана с помощью кинетического урав­ нения или некоторого функционала. Коэффициенты уравнения и парамет­ ры, входящие в определяющий функционал, устанавливаются из экспери­ ментов при простых условиях нагружения.

Если приращение функции © на малом отрезке времени зависит лишь от достигнутого уровня повреждений и нагрузок, действующих на этом отрезке, то для меры повревденности имеем дифференциальное уравнение

да ,

в правой части которого стоит функция / меры © и нагрузок q . Как обыч­ но, следует наложить ограничения, при которых решение этого уравнения существует и единственно.

Пусть в начальный момент времени t = t9 мера поврежденности име­ ла значение © = 0. Время tp до разрушения определим, решив обратную

краевую задачу для приведенного дифференциального уравнения с гра­ ничными условиями

©I г=/о = 0, ©

Рассматривая частные случаи дифференциального уравнения, при­ дем к известным соотношениям и критериям. Например, считая, что правая часть не зависит от меры поврежденное™ ©, получаем правило линейного суммирования повреждений

y ^jfc+i ~ 1к =1

& ‘р Ш " ’

где tp — время до разрушения от постоянной нагрузки q * , действующей на отрезке \tk,tk+J . Время до разрушения для заданного закона нагруже­ ния a(t) , 0 < t< t p, определяется уравнением [27]

dx

= 1.

к(о(т))

Вкачестве некоторой универсальной функции напряжения o(t) обычно

принимается либо одна компонента тензора напряжений, например, растя­ гивающее напряжение а п , либо некоторая величина, связанная с инвари­

антами тензора напряжений и называемая эквивалентным напряжением

о т ­

правило линейного суммирования повреждений включает в себя по­ стулат о независимое™ суммарной поврежденное™ от последовательное™ приложения нагрузок.

Правило линейного суммирования повреждений было предложено Пальмгреном (1924 г.) при интерпретации результатов испытаний шарико­ подшипников на усталостную прочность [46]. Сначала при постоянных значениях нагрузки Р{ (/=1, 2, 3, ...) определялись сроки службы N,, т. е.

количества оборотов до разрушения. Затем проводились испытания при различных, но на каждом этапе постоянных значениях нагрузки Pt, каждая из которых прикладывалась в течение ni оборотов. На основании этих ис­ пытаний Пальмгрен предложил следующее условие разрушения:

! > . / * , ) - 1-

Отношение D, = n jN j позднее получило название усталостного повреж­ дения, произведенного за п, циклов нагрузки с уровнем Pt. Тогда условие разрушения можно записать как

Пальмгреном не были представлены количественные сравнения ре­ зультатов испытаний и предложенного условия разрушения. Возможно, поэтому оно осталось почти незамеченным. Но с тех пор, как Майнер (1945 г.) вновь выдвинул эту гипотезу, она привлекла внимание проектировщи­ ков. Впоследствии она получила известность под названием закона Пальмгрена — Майнера или линейного закона накопления повреждений при ус­ талостном разрушении под действием нагрузки переменной амплитуды. Аналогичное определение повреждений при ползучести было предложено Робинсоном (1952 г.) [46].

Рис.1. Зависимость поврежденности при усталости D от от­ носительного числа циклов n/N

где h(t - т) — функция, описывающая влияние нагрузки и меры повреж­ денное™ в момент времени т на скорость роста повреждений в момент времени t .

В рассмотренных граничных условиях критический уровень повреж­ дений (йктпринят постоянным и равным единице. Между тем, многие яв­

ления накопления повреждений характерны тем, что критический уровень повреждений зависит от значения нагрузки в момент достижения предель­ ного состояния. Учитывая сказанное, граничные условия представим в ви­ де

причем возможен переход к нормированной мере поврежденное™ со = со/ш^р . В целом, переход к нормированной мере не дает преимуществ,

а приводит к частичной утрате мерой поврежденное™ физического смысла (например, в задаче о критической длине трещины).

Обобщением скалярных мер поврежденное™ являются тензорные меры©. Введение тензорных мер поврежденное™ связано, как правило, со стремлением увеличить число независимых параметров, каждый из кото­ рых представляет собой меру поврежденное™ одного из нескольких про­ текающих одновременно или последовательно процессов.

Введение тензора критических значений меры поврежденное™ ®кр

по сути означает переход к моделированию разрушения по совокупное™ критериев:

каждый из которых определяет уровень повреждений в /-м процессе, при котором объект выработал свой ресурс.

Поля напряжений и деформаций в конструкциях, как правило, неод­ нородны. Поэтому накопление повреждений протекает в различных точках неодинаково, так что меры повреждений — функции не только времени, но и координат. Это приводит к континуальным моделям накопления повреж­ дений, в которых наряду с полями напряжений рассматривают поля неко­ торых скалярных и (или) тензорных характеристик поврежденное™ мате­ риала.

А.А. Ильюшин [16, 27], постулируя существование макрообъекта

1. х является функцией состояния макрочастицы, т.е. однозначн определяется процессом нагружения (тензором напряжений о , тензорами моментных напряжений различного порядка р , температурой Т и так да­ лее). Функционал х :

x U t o > K * ) ,7 'o o , - }

предполагается вполне непрерывным на некотором классе достаточно гладких функций нагружения вплоть до состояний, как угодно близких к разрушению.

2. х характеризует накопление повреждений и состояние, непосре ственно предшествующее разрушению макрочастицы. Существуют неко­ торые неотрицательные меры, называемые мерами повреждений,

которые являются функциями компонент х и Г, инвариантными относи­ тельно группы преобразований симметрии Г, и существуют соответствую­ щие положительные константы материала Ст(т = 1,2,...,ти') такие, что если для любого т:

м т ( х ) < с т ,

то состояние макрочастицы прочно; если же для какого-нибудь т = к:

мк(г) = с к,

адля остальных М т< Ст , то происходит разрушение типа «к».

3. х является нулевым на интервале 0 £ т £ /, т.е. все компонент

Х1,Хг*Хз>-*Хп и меры М т(%) (т = 1,2,...,/и') равны нулю, если на этом интервале равны нулю параметры нагружен сг(т), р(т),

Повреждение х в момент t как функционал трехмерных тензоров сг(т), ц(т), может быть только трехмерным тензором или совокупностью

тензоров некоторых порядков. В последнем случае и меры М т(х) опреде­ ляются по совокупности компонент этих тензоров. Простейшим вариантом теории накопления повреждений макрочастицы А.А. Ильюшин назвал слу­ чай, когда тензор х является симметричным тензором второго ранга, хотя и не исключаются случаи, когда х задается комбинацией нескольких ска­ ляров.

В рамках подхода Л.М. Качанова и Ю.Н. Работнова при помощи не­ прерывно изменяющейся переменной состояния, а именно величины поля поврежденности, осуществляется описание образования внутренних раз­

рывов (таких, как микротрещины). Если через © обозначить площадь тре­ щин, приходящуюся на единицу площади поперечного сечения в данный момент, то связь средних напряжений а с деформациями б одноосно рас­ тягиваемого повреждаемого стержня из материала с модулем упругости Е устанавливается соотношением

сг = £ ( 1 -© )е .

В этом случае критическое значение функции поврежденности может быть определено по формуле

шч, = 1 - о в/( ев£-),

где ав , ев — предельные напряжение и деформация образца в направле­ нии растяжения. В работе [39] приведены данные о ськр (в диапазоне от

0,057 до 0,514) для некоторых композитов.

По существу, модели теорий пластичности и вязкоупругости пред­ ставляют собой континуальные модели накопления повреждений, в кото­ рых степень повреждения материала определена через инварианты полей тензора пластических (вязкоупругих) деформаций [6].

Микромеханические аспекты проблемы разрушения структурно­ неоднородных тел представлены в книге С.Д. Волкова [11], в которой опи­ сано построение статистической теории прочности с учетом микронеодно­ родности полей напряжений. Статистические модели и краевые задачи ме­ ханики композитов с повреждениями изложены в монографии С.Д. Волко­ ва и ВЛ. Ставрова [12].

Континуальные модели процессов повреждения композиционных материалов развиты в работах Ю.В. Соколкина, В.И. Середина, В.А. Скач­ кова, А А . Ташкинова [32-34, 38-40]. Суть разработанного подхода заклю­ чается в том, что тензор поврежденности четвертого ранга явным образом выделяется в определяющих соотношениях, а условиями разрушения яв­ ляются условия достижения некоторыми инвариантными мерами функции поврежденности своих критических значений. Описание стохастических процессов образования и развития структурных повреждений строится с привлечением математического аппарата теории случайных функций. В работе [37] на основе данного подхода сформулирована стохастическая краевая задача, позволяющая прогнозировать изменение жесткостных свойств и оценивать предел выносливости материалов при различных ви­ дах циклического нагружения, а в работе [33] разработана стохастическая модель накопления повреждений композиционных материалов в условиях ползучести.

В рамках модели микронеоднородной среды [11, 12] наряду с эле­ ментами первого порядка малости dlV вводятся элементы второго порядка

малости dnV Элементы dlV имеют свойства композиционного материа­

ла, а элементы d uV — свойства компонентов. Для описания процесса на­ копления повреждений композита вводятся функции микро- и макропо-

врежденности и вероятности разрушения [38] одного двух

Р2П(г1>г2)> тРех Р^(ти г29г3) ит. д. />п(П э-,г||) элементарных микрообъе-

MOB duV в точках М ,^ ) . М 2(г2), М 3(г3), ....

Эти верояшости также являются инвариантными мерами поврежденности, представляют собой локальные числовые характеристики и оп­ ределяются при следующих условиях: а) известна плотность распределения структурных напряжений (или деформаций); б) задан локальный критерий разрушения структурно-неоднородной среды. Функция поврежденности также может вводиться на основе определения вероятности микроразру­ шения [32, 38].

Установление связи вероятностей микро- ( / >п(г)) и макро- (Р г(т))

разрушения позволяет осуществить прогнозирование прочностных свойств композита с построением предельных поверхностей при заданном уровне надежности [45]. В работе [36] с этой целью предложено строить описание процесса дробления армирующих волокон с использованием теории мар­ ковских процессов на основе кинетического уравнения для переходных ве­ роятностей.

Как отмечено в [12], к основным задачам статистической механики разрушения композитов наряду с установлением критериев прочности сле­ дует отнести исследование макроскопических законов деформирования при прогрессирующей микроповрежденности и определение меры микроповрежденности при данном напряженном состоянии с учетом истории на­ гружения.

Упругопластическое деформирование среды, сохраняющей изотро­ пию свойств, можно описать с помощью изотропного тензора поврежденности

Соотношения (1) в этом случае сводятся к следующим:

где X и G — упругие модули объемного сжатия и сдвига. Величины к и g выражают изменение деформационных свойств, определяющих поведение материалов при гидростатическом давлении и чистом сдвиге соответствен­ но. Из соотношений (5) следует, что инварианты тензора напряжений

Особенность определяющих соотношений (5) заключается в том, что в общем случае они предполагают нелинейную зависимость относительно­ го изменения объема от гидростатического давления. Хотя классические эксперименты Баушингера, Бриджмена [3, 4] и опыты других исследовате­ лей подтверждают нелинейный характер этой зависимости, однако при тех значениях давлений, которые обычно встречаются в технических расчетах, для металлов и их сплавов нелинейность весьма мала. В теории пластично­ сти ею принято пренебрегать.

Существенную нелинейность зависимости изменения объема от гид­ ростатического давления проявляют некоторые полимеры. Значительные пластические объемные изменения свойственны пористым материалам. Это может быть справедливо и для других неоднородных тел. Структурная