962

со следующими соотношениями, соответствующими закону Гука для анизотропной среды:

2

r0

Рис. 1. Схематизация задачи об образовании инъекционной полости в грунте: 1 – ствол инъектора; 2 – инъекционное уширение

Данная запись предполагает различные модули деформации и упругости в общем случае – по трем главным направлениям. Если напряжения сжимающие и одновременно большие, чем σк, тогда в формировании деформаций в этом направлении участвует модуль деформации Е, если же напряжения растягивающие, тогда деформации формируются с модулем деформации при растяжении Ер.

Отметим также, что такое разномодульное представление напряженного состояния впервые предложено В.А. Амбарцумяном; возникло даже отдельное направление механики сплошной среды – разномодульная теория упругости [1].

В рамках же модели упрочняющейся разномодульной грунтовой среды (УРС) разномодульное представление используется для учета допредельных пластических деформаций. Другими словами, учет разномодульности грунта есть, по сути, учет пластичности грунта, т.е. факта образования необратимых деформаций.

101

Более строгое представление модулей деформации – упругости в модели УРС осуществляется по правилам

при σк ≥ 0 и dσк ≥ 0 Ек = Е; при σк ≥ 0 и dσк < 0 Eк = E0;

при σк < 0 и dσк<0 Ек= Ер.

Таким образом, любое решение задачи требует предварительного знания как знака напряжения (сжимающие или растягивающие), так и знаков их приращений по сравнению с ранее действовавшими напряжениями.

Наиболее простому случаю, когда начальные напряжения от собственного веса невелики, соответствует диаграмма, приведенная на рис. 2. Наклоны соответствующих ветвей графика характеризуют (рис. 2, а) модули деформации при сжатии Е или растяжении Ер; наклон графика сдвига в координатах σi – εi (рис. 2, б) соответствует модулю сдвига,

G = EEP/E+ (I – 2v)Ep.

Соответствующие обобщенные напряжения и деформации выражаются так:

–σi = 1/√6 √ [(σ1 – σ 2)2 + (σ 2 – σ 3)2 + (σ1 – σ 3)2] – интенсивность касательных напряжений;

–εi = √2/3 √ [(ε1 – ε2) + (ε2 – ε3)2 +(ε1 – ε3)2 ] – интенсивность де-

формаций сдвига.

Рис. 2. Зависимости модели упрочняющейся разномодульной грунтовой среды: а – диаграмма деформирования σ = f (ε); б – график сдвига τ = f (σ)

При некотором значении критического напряжения σ1кр, которому соответствуют различные значения осевых напряжений в области сжатия σ1кр и растяжения σjкp образуется пластическое течение

102

(см. рис. 2, а). В модели УРС принят закон пластического течения согласно закону, ассоциированному с условием прочности F = 0, т.е.

dsf = dF/dakdf,

где de – приращение пластических деформаций течения; dF/dak – частная производная условия прочности по каждому их главных напряжений, участвующих в реализуемом предельном состоянии; df – параметр, определяемый в зависимости от достигнутого НДС в конкретной задаче.

Второй важнейшей особенностью модели УРС является запись условия прочности F = 0. Для площадки, по которой реализуется сдвиг и по которой действует нормально σп и касательное τп напряжения, предельному состоянию соответствует уравнение

где ct = с + σп (tqφ – tqφ0) – переменное сцепление, зависящее от стандартных параметров с; φ среднего напряжения σх =(σ1 + σ2 + σ3) / 3 и угла внутреннего трения φ0 при заданном давлении σп.

Графическая иллюстрация условия прочности (2) приведена на рис. 2, б. Принципиальное отличие этого условия от традиционно примененного условия прочности Кулона τ = с + σ tgφ состоит в том, что состояние сдвига анализируется с переменным сцеплением с, и постоянным углом внутреннего трения φ0.

Это обстоятельство отвечает понятию об упрочнении грунта и отражает его фундаментальное свойство как сжимаемой среды, которая увеличивает прочность при возрастании среднего напряжения в грунте σх и практически сохраняет ее при уменьшении σп. Это понятие основано на многочисленных экспериментах ВНИИГА [1], а в расчетную практику введено Н. Хворслевым в начале XX века. Соответственно закон в форме (2) называют теперь условием прочности КулонаХворслева. Известны многочисленные модификации этого условия [2]. В настоящей модификации новым является использование всестороннего (среднего) напряжения σх в качестве параметра упрочнения, который «контролирует» ситуацию в отношении не только прочности, но, как было показано выше, – и упрочнения.

То же условие прочности (2), записанное через главные напряжения (максимальное σ1 и минимальное σ3), т.е. в форме, подобной условию Кулона – Мора, имеет вид

F= σ1 – σ3 – (σ1 + σ3) sin φ0 – 2 c{ cos φ0= 0

иможет быть названо условием прочности Кулона – Мора – Хворслева.

103

Таким образом, модель УРС имеет две принципиальные особенности: разномодульность и упрочнение, которые зависят как от свойств грунта, так и от конкретного НДС.

В.В. Лушниковым [1] показано, что учет этих двух факторов отражает практически все известные зависимости свойств грунтов от напряженного состояния и способов его создания, в частности:

–от траектории нагружения;

–от вида напряженного состояния;

–от поворота главных осей при нагружении.

Другими словами, модель УРС является современной расчетной нелинейной моделью, которая имеет высокую разрешающую способность.

Параметры ее следующие:

–Е – модуль деформации;

–λ – коэффициент разномодульности, λ = Е/Ер;

–v – коэффициент поперечной деформации;

–с – удельное сцепление;

–φ – угол внутреннего трения;

–as – коэффициент упрочнения, as = φ / φ0.

Кроме перечисленных достоинств модели, ее положительно характеризует использование в основе общепринятых (стандартных) параметров (Е, v, с, φ) и минимальное количество дополнительно привлекаемых параметров (λ, as), которые могут быть легко табулированы или вычислены косвенно, через другие известные и более просто определяемые характеристики.

Решение плоской осесимметричной задачи о расширении цилиндрической полости достаточно хорошо известно.

В настоящей работе рассматривается частный случай общего решения, относящийся к анализу НДС невесомой среды. Задача заслуживает специального рассмотрения, поскольку представляет собой не только частный, но также особый случай, когда решение механически не сводится к частному.

Рассмотри задачу в упругой постановке. При решении задачи используются физические соотношения (3), условия равновесия (4) и совместности деформаций (5).

Физические соотношения для частного случая невесомой среды, когда растяжение возникает с самого начала нагружения, имеют вид:

104

Эти соотношения вытекают из общей формы записи закона Гука; при этом индекс 1 соответствует оси r (радиальное направление), 2 – оси Ө (тангенциальное), 3 – оси z (осевое). Обозначения к задаче показаны на рис. 2.

Уравнение равновесия для данного случая, когда рассматриваемые оси являются главными, а касательные напряжения отсутствуют, имеет вид

Уравнение совместности деформаций, вытекающие из уравнений сплошности среды, записывается как

где и – радиальные перемещения произвольной точки (см. рис. 1). Необходимо задать условия относительно третьей (осевой) ком-

поненты деформации ε3. Возможные расчетные схемы – плоская деформация ε3 = 0 или плоское напряженное состояние σ3 = const и соотношения для ε3.

Казалось бы, наличие по торцам цилиндра сферической полости, создает растягивающие напряжения в осевом направлении. Однако трещины, если они возникнут, сразу же заполнятся раствором, т.е. осевых деформаций грунта фактически не возникнет. Кроме того, различие в расчетных схемах, очевидно, не изменит принципиального характера зависимостей. По этой причине без дополнительного исследования рассматривается схема плоской деформации.

Это условие позволяет, приравняв к нулю третье выражение в (3), найти связь между ε и σ для плоской деформации, поскольку

Заметим, что σ3 всегда меньше нуля; в противном случае в выражениях закона Гука в третьем столбце следовало бы подставлять модуль не растяжения, а сжатия. После подстановки (10) в (7), выражения получат вид:

ε1 = A11 σ1 + A12 σ2,

ε2 = А21 σ1,+ А22 σ2,

где A11 =1 – v2/E; А12 = –λv(l + v) /Е; А21 = –v(1 + v)/E; А22 = λ (1 – v2)/Е.

105

Решение этих уравнений приводит к дифференциальному урав-

нению

r2 d2 σ1 /dr2 + а1 r dσ1 /dr + a2 σ1, = 0,

где а1 = (A21 – A12+ 3A22)/A22; а2 = (А22 + А21 – А12 – А11) /А22;

Решение его в общем случае имеет вид

σ1 – С1 r1ω + С2 r 2 ω,

где ω1,2 = [A12 – A21 – 2A22]/2А22 ± √{ [(A12 – А21 – 2A22/2A22)]2 – [А22 + А21 –

– А12 –А11]/А22}.

Произвольные постоянные С1,2 находятся следующим образом: из условия равенства нулю дополнительных (к природному) радиальных напряжений (и, следовательно, – перемещений) следует, что С2 = 0; постоянная С1 находится из условия на контуре скважины r0 = 1:

σ1 = С1 r0ω = (р – σ2) r0ω,

где р – полное давление, действующее на внутреннюю поверхность полости (см. рис. 2); σ0 – горизонтальное давление в грунте; ω = ω1, поскольку значение ω2 в дальнейшем анализе не участвует.

Относительно горизонтального давления в грунте существует несколько гипотез, главные из которых:

–геостатики или теории упругости: σ0 =уz &0, где у – удельный вес; z – глубина; &0= vI(1 – v) – коэффициент бокового давления;

–гидростатики: σ0 = yz;

–предельного равновесия: σ0 = λап yz, где λап = tq2 (45° ± φ/2) – коэффициент бытового давления, который в зависимости от знака учета угла внутреннего трения при φ/2 может принимать значения от активного (а) до пассивного (п) равновесия.

Имея в виду, что в формировании напряженно-деформиро- ванного состояния грунта участвует давление от собственного веса сразу в двух направлениях – горизонтальном и вертикальном. Здесь целе-

сообразно в качестве σ0 принять среднее значение между тремя компонентами давления от собственного веса грунта – двух горизонтальных σh = yz&0 (соответственно в осях 1 и 2) и одного вертикального σz = yz

(по оси 3), т.е. σ0 = (2σh σz)/3.

Таким образом, выражения, характеризующие НДС среды, следующие:

– для полных напряжений:

σ1= (р – σ0) r ω + σ0,

σ2 = (1 + ω) (р – σ0) yω + σ0;

106

– для деформаций

ε1 = A11 σ1 + A12 σ2 = [А11 + (1+ ω) А12] (p – σ0) r ω; ε2 = F21 σ1,+ А22 σ2 = [А21 + (1+ ω) А22] (p – σ0) r ω;

– для перемещений

u= [А21+ (1 + ω) А22] (р – σ0) r 1+ω;

–для перемещений стенки скважины (r = r 0 = 1)

u0 = А(р – σ0) r,

где А = A21 + (1+ ω) A22.

Полученные теоретические и экспериментальные результаты упрочнения электрохимическим способом грунтов, расположенных в основании дорог, позволяют увеличить срок службы дорожной конструкции путем устранения морозобойных трещин на асфальтобетонном покрытии автомобильных дорог.

Список литературы

1.Лушников В.В. Развитие прессиометрического метода исследований нескальных грунтов: дис. … д-ра. техн.наук / ВНИИГ им. Б.Е. Ве-

денеева. – Л., 1991. – 393 с.

2.Оржеховская Р.Я. Анализ результатов статических испытаний грунтов оснований зданий и сооружений на основе модели упрочняющейся разномодульной среды: дис. … канд. техн. наук.– Свердловск, 1989. – 150 с.

Получено 2.08.2010

107

УДК 624.014.046.5

РАСЧЕТ ОСТАТОЧНОГО РЕСУРСА МЕТАЛЛОКОНСТРУКЦИИ С УЧЕТОМ РИСКА

В.И. Кычкин, Л.А. Рыбинская

Пермский государственный технический университет

Рассмотрен расчетный метод определения остаточного ресурса металлоконструкции грузоподъемных механизмов, основанный на совместном использовании численных процедур и данных обследования машин и результатов испытания материалов элементов изделий. Дается описание оценки метода с привлечением мнений экспертов по уровню риска принимаемых решений.

Современные методы проектирования, расчета, моделирования, производства металлоконструкций средств механизации и существующие нормы позволяют реализовывать качественную продукцию для рынка предложений грузоподъемных механизмов (ГПМ).

В значительной степени качество продукции ГПМ обеспечивается надежностью. Надежность как показатель является свойством, характеризующим ГПМ на стадии проектирования и производства, а проявляется этот показатель при эксплуатации машин у определенного потребителя и в определенных условиях. Факт надежности машин в реальных условиях эксплуатации называют «эксплуатационной надежностью» [1]. Это сохранение работоспособности конструкции и механизмов при использовании в течение определенного промежутка времени. В качестве меры продолжительности может быть выбран любой неубывающий параметр, характеризующий длительность эксплуатации ГПМ. Наиболее универсальной единицей является единица времени.

В соответствии с ГОСТ 27.002–89 суммарная наработка конструкции определяется как ресурс. Ресурс тесно связан со сроком службы ГПМ, определяющим переход конструкции в предельное состояние. Нормирование ресурса требует измерение ресурса как в единицах наработки, так и в единицах времени. Для ГПМ, находящихся в эксплуатации, основным индикатором является индивидуальный остаточный ресурс. Если измерение осуществляется в единицах времени, то это

108

продолжительность функционирования ГПМ от некоторого начала до достижения времени, в котором состояние металлоконструкций машины достигнет предельного уровня. При этом учитываются межремонтные периоды в зависимости от индивидуального технического состояния. Расчет индивидуального остаточного ресурса можно рассматривать как систему управления процессом технического обслуживания и функционирования ГПМ. Однако любая методика расчета остаточного ресурса имеет свои преимущества и недостатки, влияющие на величину фактического ресурса и его допустимый уровень.

Возможны ситуации, когда специалисты, оценивая ресурс определенного типа ГПМ, получают существенные расхождения итоговых оценок в абсолютном виде [5]. Таким образом, возникает необходимость оценки риска прогнозирования остаточного ресурса ГПМ, представляющая собой установление предельно допустимых остаточных сроков эксплуатации объекта при возрастающем риске и, соответственно, выдаче рекомендаций о мерах по повышению безопасности. Прогноз всегда содержит элементы вероятностного характера, поэтому в случае расчета остаточного ресурса с учетом возникающих при этом рисков представляет собой математическую формализацию интуитивных представлений, используемых специалистами-экспертами при решении вопроса о продолжении эксплуатации конкретных ГПМ.

С учетом вышеизложенного рассмотрим практическую задачу оценки риска принятия решения о сроках эксплуатации ферменной конструкции мостового крана, схема которого приведена на рис. 1.

Рис. 1. Схема фермы мостового крана

На первом этапе анализа осуществим необходимые расчеты нагрузок и уровни напряжений в элементах фермы. Базируясь на методе

109

вырезания узлов получим значения усилий в элементах фермы, приведенные в табл. 1.

Таблица 1

Результаты расчета нагрузок в элементах фермы

В процессе эксплуатации конструкция, в общем случае, подвергается воздействию сложного спектра внешних нагрузок. При анализе напряженного состояния элементов конструкции ГПМ необходимо использовать статистические данные о материале, компонентах и элементах фермы, нагрузках, воздействиях и условиях климатического характера и т. п. При недостаточном количестве статистических данных необходимо привлекать экспертов.

По рекомендованным значениям параметров [1] эксплуатационной надежности были проведены исследования влияния факторов на остаточный ресурс металлоконструкции по двум детерминированным методикам.

Прогнозирование остаточного ресурса ГПМ на основе зависимо-

сивность отказов, не исследуется в данной статье. В этом случае прогнозирование надежности осуществляется на основе случайных процессов наработки металлоконструкции до отказа, при котором особенности протекания режимов эксплуатации во времени и их статистические характеристики хотя и устойчивы, но вызывают трудности анализа состояния конкретного образца металлоконструкции [8]. В таких случаях могут быть применены численные методы, в частности метод статистических испытаний, базирующийся на моделировании случайных величин.

110