1104
.pdfусловиям на торцах мягких слоев, которые, как правило, свободны от нагрузок; в-третьих, оценить погрешность вычислений после завершения очередного шага итераций.
В нулевом приближении и во всех последующих приближениях не соответствие между рассчитанными к тому моменту и заданными значе ниями напряжении на торцах пластины устраняется вычислением погранфункций мягких слоев (27) . Пользуясь соотношениями (2 1 ), можем записать:
dHT^ |
_ 60 Е * |
|
720 — |
т,2“+ Я ‘; |
|
|
d%о4 |
G* |
dxо2 |
|
|||
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
(38) |
dhS* |
|
dx23 |
+ 1750 |
о M r2 + |
Е г 2-, |
|
|
|
|
Е * |
|
|
|
dxо3 |
|
d Xo |
Е * |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d 3a M r2 |
d(TMr2 |
d o x r2s |
Е * ~ |
~ |
(39) |
|
dxо3 |
|
dxо - 5- ^ + 60 - ^ ^ + M |
||||
|
|
где FTi — заданные или известные из предыдущих вычислений функции (/=1,2,3). Погранфункции на правом торце находятся из этих же урав нений, если неизвестные пометить двумя волнами, а аргумент индекси ровать единицей. Легко заметить, что собственные значения соответст вующих характеристических уравнений системы (38), (39) попарно оди наковы по абсолютному значению и имеют противоположные знаки вещественной части корня. Это обеспечивает затухание как левых, так и правых погранфункций, и, как показывают численные результаты, про тяженность погранслоев соизмерима с величиной порядка толщины мяг кого слоя. Последнее замечание справедливо в том случае, если коли чество граничных условий слева и справа пластины одинаково. В рас сматриваемых здесь задачах это условие всегда выполнено. В частности, в нулевом приближении два дополнительных условия уравнения (38) имеют вид:
то2а = 0; CTJVO2= (1+v) {а*-а)Е*&. |
(40) |
Соотношениями (40) в расчет вводится температура нагрева—охлаж дения пластины, которая не могла быть учтена при решении вырожден ной задачи (37), поскольку в уравнениях, связывающих неизвестные во внутренних областях пластины, пренебрегается сопротивлением связую щего в продольном направлении. Об этом говорилось ранее, а теперь можем дать механическую интерпретацию вычислениям при нахождении погранфункций. Она состоит в том, что жесткие — конструктивные — слои на этом этапе расчета принимаются абсолютно жесткими. Сперва находим напряжения в мягких слоях при всевозможных нагрузках в погранслоях (FTj в (38), (39) и на торцах (40). Затем, приступая к следую щему приближению по МПФ, определяем реакцию «жестких опор», т. е. вычисляем погранфункции (24) с помощью интегралов
СО
axr'=-fr i [TlB- T lH]r-idxo |
и т. д. |
Хо
Интегралы, взятые но длине всей краевой зоны, с противоположным знаком
00 |
|
— СТЛГГ1 (0 ) = - ^ - J [т1п—т1п]г-1^X0 |
ит.д., |
о |
|
определяют интегральное воздействие напряжений в погранслоях и яв ляются дополнительными условиями при повторном решении систем (34) —(36) в первом или в любом последующем приближении. Итерации завершаются и проводится суммирование всех найденных неизвестных по формуле (23) в случае, если невязки между заданными и вычислен ными (34) значениями напряжений на торцах мягких слоев удовлетво ряют предъявленным требованиям точности. В большинстве случаев точ ность в пределах 5% обеспечивает решение задачи в нулевом приближе нии с последующей корректировкой неизвестных внутренней задачи в первом приближении. Хорошая сходимость асимптотического разложе ния к точному имеет место благодаря тому, что геометрию и механиче ские свойства композита характеризуют малые безразмерные величины sk/l- hi/l; E*,JEi.
В заключение приведем результаты расчета распределения напряже ний (рис. 2 ) в симметричном трехслойном образце со следующими без размерными параметрами: h/l = 0,04; pi= s// = 0,01; £*/£ = 0,04; а*/а= 12,5; р/(1+v)a*£*0 = O,Ol. Внешнее давление р и рассчитанные напряжения нормируем величиной (1 +v)a*£*0 .
Как видно из представленных графиков, вблизи торца возникает сильная концентрация нормальных поперечных напряжений crz и каса тельных напряжений т. Они оказываются величинами одного порядка с напряжениями от изгиба композита внешним давлением р в середине (| = 0,5) пластины, что вследствие более низких прочностных свойств связующего может привести к разрушению. Расчет напряжений в плас тине при отсутствии внешнего давления показывает, что максимальные
Рис. 2. Распределение нормальных продольных напряжений в жестких слоях (а), а также касательных (б) и нормальных (а) поперечных напряжений в мягком слое Сплошной линией изображено решение без поправок, даваемых пограничными функ циями, нанесенными прерывистой линией. Результирующее напряжение равно сумме обеих кривых графика. Перед суммированием погранфункцию равномерным сжатием следует перевести в область ее локализации, ограниченной вертикальной штрихпупк-
тирпой прямой.
значения касательных и нормальных поперечных напряжений остаются
почти неизменными, а краевые эффекты нормальных продольных на пряжений в жестких слоях незначительны.
Из рассмотрения кривых касательных напряжений вверху и внизу мягкого связующего слоя видно, что соответствующие величины имеют противоположный знак. Следовательно, гипотеза об их постоянстве и не зависимости от поперечной координаты z оказывается неточной. Это подтверждает необходимость введения нелинейных членов в выражение (1 ), аппроксимирующее касательные напряжения по толщине мягкого слоя.
Аналогичная особенность имеет место и для поперечных нормальных напряжений az■Кроме того, на их распределение по длине пластины су щественно влияют производные касательных напряжений (см. (16), и резкий пик Gz на приводимых графиках обусловлен быстрым ростом т от нуля до своего максимума на расстоянии, соизмеримом с толщиной мяг кого слоя.
Выводы. 1. Представлена уточненная методика расчета напряженнодеформированного состояния в краевой зоне композитной многослойной пластины. Соблюдены все условия контакта на границах раздела слоев как по перемещениям, так и по напряжениям. Приведен алгоритм вычис лений по МПФ, позволяющий выявить быстро изменяющиеся слагаемые решения у торцов пластины и устраняющий неустойчивость стандартных методов решения обыкновенных дифференциальных уравнений.
2. На основе разработанной методики теоретически найдена и коли чественно оценена высокая концентрация напряжений в краевой зоне многослойной пластины, ограничивающей две среды с различной темпе ратурой и давлением. Установлено, что «второстепенные» по классиче ским представлениям компоненты тензора напряжений т.х2, xvz, GZ в мяг ких слоях являются величинами одного порядка с напряжениями в жестких слоях. Показано, что решение по теории с «мягким заполните лем» [5] соответствует нулевому приближению по МПФ, а дальнейшие итерации дают существенные поправки при определении термоупругих напряжений.
СП И С О К Л И Т Е Р А Т У Р Ы
1.Алумяэ Н. А. Теория упругих оболочек и пластинок. — В сб.: Механика в СССР
за 50 лет. Т. 3. М„ 1972, с. 227—266.
2.Чоу Ш. Ч. Методы предсказания разрушения композитных материалов. — Ме
ханика композитных материалов, 1979, № 2, с. 297—304.
3.Кроссман. Ф. В. Анализ разрушения слоистых композитов у свободного край. — Механика композитных материалов, 1979, № 2, с. 280—290.
4.Болотин В. В. К теории слоистых плит. — Иэв. АН СССР. Механика п машино
строение, 1963, № 3, с. 65—72.
5.Новичков 10. М. Теория толстостенных оболочек и пластин и ее приложения. Дис. на сопск. учен. степ, д-ра фиэ.-мат. наук, М., 1973. 392 с.
6.Тимошенко С. П., Войновский-Кригер С. Пластины и оболочки. М., 1966. 635 с.
7.Амбарцумян С. А. Общая теория анизотропных оболочек. М., 1974. 448 с.
8.Григолюк Э. И., Чулков П. П. Устойчивость и колебания трехслойных оболочек.
М., 1973. 167 с.
9. Блумберг Н. Н.. Тамуж В. П. Уравнения равновесия упругой многослойной пластины. — В кн.: Вопр. электродинамики и механики сплошных сред, 1977, вып. 3,
с.3— 19 (Рига).
10.Васильева А. Б., Бутузов В. Ф. Асимптотическое разложение решений сингу
лярно возмущенных уравнений. М., 1973. 272 с.
Латвийский государственный университет |
Поступило в редакцию 03.01.80 |
им. П. Стучки, Рига |
|
Институт механики полимеров АН Латвийской ССР, Рига
УДК 539.4:678.067
Ю. Г Мелбардис, А. Ф. Крегерс
АППРОКСИМАЦИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ ПРОЧНОСТИ ТРАНСВЕРСАЛЬНО-ИЗОТРОПНОГО МАТЕРИАЛА
Деформативные и прочностные свойства являются основными харак теристиками, определяющими перспективность и область применения новых композитных материалов. Существенно различные механические свойства армирующих волокон и матрицы обусловливают высокую ани зотропию как деформативных, так и прочностных свойств композита. Анизотропия механических свойств особенно ярко выражена для случая однонаправленного армирования. Практическое применение эта схема армирования находит лишь в элементах конструкций, подвергающихся одноосному растяжению, но особое внимание она привлекает тем, что является основным элементом анализа как многослойных плоских схем армирования, так и пространственных схем армирования. Теории, бази рующиеся на этом структурном уровне, при использовании ряда гипотез предсказывают механическое поведение композита со сложной структу рой по известным свойствам монослоя. Такой слой предполагается транс версально-изотропным, механические свойства его известны и заданы аналитически или таблично.
Непосредственное экспериментальное определение поверхности проч ности сложно и трудоемко, поэтому прибегают к разным способам ана литического описания этих поверхностей, используя при этом информа цию о прочности материала, определенную экспериментально по некото рым характерным путям нагружения. Если в основу анализа прочности материала положить чисто формальный геометрический метод описании предельных поверхностей, то, подобрав соответствующую функцию, и принципе можно описать любую поверхность. Необходимо только ели дить за выполнением условий симметрии, присущих данному материалу. В работе [1] предложен геометрический метод описания предельных по верхностей в виде тензорно-полиномиального ряда от оц. При сохране нии в этом ряду первых двух слагаемых и наложении некоторых ограни чений на численные значения компонент тензора поверхности прочносп: pii и рци мы получаем уравнение поверхности эллипсоида в шестимер ном пространстве напряжений:
P i j G i j + P i j h l O i j O h l = 1. |
( 11 |
Прочностные свойства в уравнении (1 ) будут соответствовать трансвер сально-изотропному материалу, если в (1 ) введем аргументы упругой потенциала W, соответствующие этому классу симметрии механически.' свойств [2 ]:
|
|
W = |
/2, /з, оц, oihoin) = |
|
||
= |
U ^ ( a | b |
O22 + |
O3 3 , <Т222 + |
СГзз2 + |
2(Т232> CTl22 + |
O 132, Д ) > |
где |
& l j 2, |
3, |
|
|
|
|
ji |
I \ — O i f i i ] , |
I 2= |
O ijG ji] / 3 = |
OijOj/tOfti. |
Для этого составим уравнение поверхности прочности в главных ося симметрии свойств материала в виде полиномиального ряда указанны аргументов до квадратичного члена включительно:
Ь \С \ 1 + &2 (<?22 + |
СГзз) + Ь 3О ц 2 + 6 4 (022 + СГ3 3 ) 2 + |
|
+ Ь $ О ц ( 0 2 2 + 0 3 3 ) + & б ( 0 |
2 2 2 + 0зз2 + 2 0 2 3 2) + ^7 ( 0 [22 + Ol32) = 1. |
(-, |
Видно, что материал имеет семь независимых параметров. Сопоставляя уравнения (1) и (2), устанавливаем связь между отдельными компонен
тами p i j и p |
i j h i : |
|
|
|
|
|
|
Р п = Ь ь |
P2222 = P3333 = b i + b e ; |
2 р 2з 2 з = ^ б ; |
|
|
|
|
Р22 = Рзз= Ь2', |
2 рц22 = 2 рцзз = Ь5; |
рцц = &з; |
|
(3) |
|
|
Р2233 = |
Ь \\ 4/31212 = 4 p i3 i3 = |
&7. |
|
|
|
Остальные |
компоненты |
равны нулю. Из выражений (3) |
видно, |
что |
||
Р2222 = р2233 + |
%Р2323- АнЭЛОГИЧНО МОЖНО уСТЭНОВИТЬ, ЧТО ДЛЯ |
ИЗОТрОПНОГО |
||||
материала в уравнении |
(1 ) |
имеются три независимых параметра, а |
для |
|||
ортотропного — 12. |
|
|
|
|
|
В [3] представлены результаты экспериментального исследования пяти разных плоских схем армирования (в том числе одна с однонаправ ленным армированием) на прочность в пространстве напряжений оц, ст22. 0 12 и определены численные значения шести компонент тензора поверх ности прочности pij и р ц ы - Образцы из стеклопластика имели укладку арматуры по схеме ±q>°, а именно: <р = 0°, ф=±10°, ф=±20°, ф= ±30° и Ф= ±45°.
Была сделана попытка теоретически предсказать прочность слоис того композита (пакета) по известным деформативным и прочностным свойствам одного отдельного однонаправленно армированного слоя, ко торый является составной частью пакета. Главные оси симметрии пакета обозначим через а, р= x,y,z, а главные оси симметрии слоя через /,/'=1,2,3. Известными считались все независимые деформативные характеристики трансверсально-изотропного слоя и пакета (недостаю щие в [3] характеристики были подсчитаны согласно [4, 5]); компоненты тензора поверхности прочности р,j и pijhi однонаправленно армирован ного слоя были также заимствованы из [3].
В расчетной модели слоистый композит нагружался до разрушения по лучеобразным путям нагружения в пространстве оар, которые по на правлению соответствовали экспериментальным. Определяли длину луча нагружения R, т. е. расстояние от начала координат до эксперимен тальной R3 и расчетной RT поверхностей прочности. Были рассмотрены три варианта решения.
A. Принимается, что деформации во всех слоях, независимо от на правления армирования, одинаковы. При заданном напряженном состоя
нии оар |
определяются деформации пакета eap = aapv6ffv6. где а, р,у. 6 = |
||||
= x,y,z. |
Далее определяются |
деформации в осях каждого слоя е,-/= |
|||
= Eap/iaZjp (где Ua — косинус |
угла между осями / и а) и напряжения |
||||
Oki=Ahii}Eij (где Ahiij |
— компоненты тензора |
жесткости слоя); |
/,/,&,/ = |
||
= 1,2,3; |
проверяется |
условие |
прочности всех |
слоев согласно |
(1). Для |
каждого выбранного луча нагружения в пространстве aap определяется такая его наименьшая длина RT, при которой достигнута поверхность прочности согласно (1 ) для одного из слоев.
B. Принимается, что напряжения во всех слоях, независимо от на правления армирования, одинаковы. Напряжения в слое определяются по формуле 0 ij = 0 apWip; условия прочности каждого слоя проверяются по отдельности согласно (1 ).
C. Проводится усреднение компонент тензоров прочности отдельных слоев. Сперва компоненты тензора прочности слоя преобразуются к осям
композита: pa^ n)= Pa{n)liJj& и Papv6(n)= Pohi(n)^a/jpW;6, где п — номер слоя. При усреднении в качестве весового множителя использован отно
сительный объем арматуры конкретного слоя Va{n)IVа, Уа= Уа(1)+ Va<2>+ + - • • + VV^), N — общее количество слоев. Условие прочности компо зита тогда выражается:
РаР<ГаР "Н РаРуб (Гар0уб = 11
где
N |
N |
|
Р а р = |
Р а Р*п*Уа^п Ч ^ а \ Ра$у&= |
Р а Pv6*n ^ К а ^ / ^ а - |
п = 1 |
п= |
1 |
Все три варианта А—С можно перенести на случай пространственно армированного композита, если вместо слоев пользоваться понятием расчетных стержней [5].
Расчетным путем построена поверхность анизотропии прочности при одноосном растяжении по разным направлениям в плоскости у, z , кото рая является плоскостью изотропии деформативных свойств композита (рис. 1). Рассмотрены две схемы армирования в плоскости у, z — с ша гом 60 и 45° Деформативные характеристики обеих схем одинаковы и
их численные значения определены |
согласно |
[5] |
при |
[3] £ а= |
|
= 9,5-105 кгс/см2; |
= 2,9 *104 кгс/см2; |
va= 0,26; |
vc |
= 0,39; |
р,х = 0,57 |
Видно, что расчетные значения прочностей при растяжении согласно ва риантам А—С подчиняются неравенству RBT< R CT< R At - Схемы а и б (см. рис. 1 ), которые являются изотропными в плоскости армирования относительно деформативных свойств, по прочностным свойствам полу чаются анизотропными согласно вариантам А и В и изотропными со гласно варианту С. В последнем случае для схем а и б получаем одну п ту же линию круга. Схемы а и б для вариантов А и В получаются не только анизотропными по прочностным свойствам, но и разными.
Согласно вариантам А—С была определена ожидаемая прочность материалов со схемами армирования ср = ±10°; ±20°; ±30°; ±45° [3]. Качество аппроксимации поверхности прочности схемы ср = 0° и прогноза прочностей для остальных схем армирования проводилось по среднему квадратичному относительному отклонению г:
/м
г = У ^ £ [ № т- ^ э) / ^ э] 2-Ю0%, |
(4) |
где RiT, R f — теоретическое и экспериментальное расстояния от начала координат до поверхности прочности (предельная длина вектора нагру жения); М — общее количество экспериментальных путей нагружения.
Относительно лучшие результаты были получены согласно вариан ту А. Из таблицы видно, что ошибка прогноза примерно вдвое выше ошибки аппроксимации. Такое же соотношение ошибок наблюдается при прогнозе ползучести с изменением вида напряженного состояния. Сле дует отметить, что подавляющее большинство расчетных прочностей
Рис. I. Поверхности анизотропии прочности при одноосном растяжении стеклопластика для схем армирования а и б. 1 — расчет согласно варианту А по схеме армирования «. 2 то же по схеме б\ 3 — вариант С по схемам а, б; 4 — вариант В по схеме а; 5 — то же по схеме б.
Экспериментальные и расчетные (вариант А) значения длины радиус-вектора R (кгс/см2) поверхности прочности разных схем армирования
Прочностная |
|
Ф=0° |
|
Ф = ±10° |
Ф =±20° |
Ф“ ±30° |
ф- ±45“ |
|||||
характерис* |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
тика |
|
Дэ |
Ят° |
Я» |
Я? |
Яэ |
Ят |
Я« |
Ят |
Я" |
Ят |
|
R100 |
14 066 |
14 033 |
8068 |
12 763 |
5669 |
6650 |
4011 |
3002 |
1959 |
756 |
||
Rma |
|
214 |
|
262 |
363 |
266 |
603 |
282 |
748 |
336 |
1959 |
756 |
7?Тоо |
9511 |
9 501 |
7796 |
5 845 |
2793 |
2551 |
1901 |
1457 |
2377 |
1308 |
||
Но20 |
1 |
148 |
1 276 |
1695 |
1 274 |
2061 |
1275 |
1718 |
1293 |
2377 |
1308 |
|
R126 |
|
498 |
|
448 |
704 |
407 |
1462 |
455 |
1866 |
596 |
6576 |
792 |
R126 |
1 786 |
1 359 |
2574 |
1 694 |
3870 |
2203 |
3848 |
2860 |
5752 |
3862 |
||
*006 |
|
658 |
|
748 |
1960 |
746 |
3166 |
968 |
2440 |
1250 |
3403 |
1272 |
R]20 |
|
750 |
1 |
368 |
1430 |
365 |
1621 |
365 |
1484 |
394 |
1758 |
747 |
R120 |
2 700 |
814 |
2895 |
1 759 |
3043 |
1607 |
2500 |
1369 |
1782 |
747 |
||
Riao |
1 559 |
1 787 |
1848 |
1 834 |
2294 |
2013 |
2830 |
2519 |
3565 |
4361 |
||
Г*, % |
|
|
23 |
|
|
24 |
8 |
|
7 |
|
( 5 |
|
Г, % |
|
|
23 |
|
|
44 |
49 |
|
|
45 |
|
56 |
П р и м е ч а н и е . |
R T* |
— из аппроксимации; все R T — из расчета, согласно варианту А. |
||||||||||
г * , г — средняя |
квадратичная |
относительная |
ошибка |
аппроксимации уравнением (1) |
||||||||
и расчета по варианту А. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(37 из 40) меньше экспериментальных значений, что объясняется мно жеством неучтенных факторов (физическая нелинейность и др.) в мате матической модели явления, а также тем, что за расчетную точку по верхности прочности принималось напряженное состояние, при котором один из слоев достигает своего предельного состояния, что в общем слу чае еще не означает макроразрушения композита в целом.
Одна из возможностей улучшения точности расчета прочности слоис тых пластиков на базе данных деформативных и прочностных характе ристик одноноправленно армированного материала заключается в повы шении качества аппроксимации поверхности прочности монослоя. Аппроксимация уравнением (1) всегда дает выпуклую поверхность прочности, что, особенно для однонаправленно армированных материа лов, наблюдается экспериментально не всегда [6 , 7]. Имеются работы [7, 8 ], в которых использованы некоторые члены кубического слагаемого ряда (1). Неявная форма зависимости (1) относительно длины радиусвектора R и необходимость контроля теоретической поверхности проч ности на замкнутость и однозначность осложняют ее применение. Пер спективным в этом отношении является метод аппроксимации поверхнос тей разложением функции на единичной сфере [9]. Построение на этой основе предельных поверхностей прочности изотропного и ортотропного материалов при плоском напряженном состоянии рассмотрено в рабо тах [10, 11]. Далее рассмотрим особенности применения этого метода для случая, когда материал по своим прочностным свойствам является трансверсально-изотропным. Согласно [9], мы можем всякую предельную поверхность в пространстве представить как скалярную функцию /(£) на единичной сфере. Соответствующее разложение этой функции в про странстве симметричных тензоров напряжений имеет вид:
|
i |
|
П1)= Пт |
№ ) = ± I 2'h , |
(5) |
'-°° |
и=о |
|
где р!к(щ) в общем случае является однородным полиномом степени k от компонент тензора напряжений а т п\ одновременно он представляет собой полином скалярных базисных инвариантов ч,- тензора атп относи тельно требуемой группы ортогональной симметрии свойств среды.
В частности, если среда трансверсально-изотропна с плоскостью из
тропии 2, 3, то pih = P i h { l \ , h, h, стп, сплсг/ц) >где U — инварианты тензо напряжений.
Легко заметить, что фактически присутствие h в рш приводит лиг к появлению подобных членов в (5). Поэтому разложение (5) удоб записать так:
/ ( £ ) = l i m , ^ j /2 m P i k { o \ \ , СТ22 + СТ33, CTi22 + ffi32. ^ з ) • |
( |
k=0 |
|
Так как /(|) в (6 ) выражает длину радиус-вектора R в пространстве ь |
|
пряжений Oij, то вместо (6 ) получаем |
|
R=R(Si), |
( |
где Si — базисные функции на сфере: Si = an/2_'/!; S2 = ((Т22 + 0Г33)//г-
S3 = ( a 122 + a,32)//2- 1; 5 4 = /3/2- 3/2.
Теперь рассмотрим конкретную предельную поверхность прочное однонаправленно армированного стеклопластика, изготовленного базе связующего материала ЭЦТ-1. В работах [10, 11] для построен соответствующих предельных поверхностей прочности в разложении ( достаточно было принять 1^4. Но в случае трансверсально-изотропнс материала, как показал анализ, этого явно недостаточно. В связи с тс что увеличение / влечет за собой катастрофически быстрый рост K O J чества параметров материала, был проведен анализ геометрическ свойств аргументов S, и их сочетаний. Для удобства анализа уравнен
(7) перепишем в следующей форме: |
|
|
RT = Cto + QiSi + |
iSj + flijftSiSjSft+ |
( |
где a,-, ац, аци — параметры поверхности прочности, кгс/см2; i, j,k = 1 , 2 ,3 Каждая из базисных функций S, и их сочетаний в пространстве i пряжений графически представляет собой определенную предельн; поверхность. Назовем ее элементарной предельной поверхностью (ЭПГ Сумма этих ЭПП в пространстве напряжений дает нам общую преде. ную поверхность прочности. Рассмотрим некоторые члены ряда (8 ) в
дельности.
В начале рассмотрим базисную функцию типа Sin, где i= 1,2,3,4
« = 1 ,2 ,3 ,... Функция |
в плоскости ац, п22 принимает вид |
5 |
||
= сгц((Тп 2 + с7222) - '/2. Е сли |
компоненты тензора напряжений ац, в дани |
|||
случае стц |
и 0 2 2, выразить через |
полярные координаты г и а, то |
ai |
|
= rcosa; |
cr22 = rsin a . Подставляя |
эти значения в выражение для |
Si |
данном случае получаем Si = cosa. Таким образом, любые степени со таний Si по существу являются безразмерными функциями полярн координат пространства ац. Графическое изображение функции Sin г разных степенях нелинейности п дано на рис. 2. Функция Si" всегда ложительна, кроме случая, когда ац < 0 и нечетном п. Из рис. 2 вид что при увеличении степени п ЭПП сужается по отношению к своей < симметрии ац, но точка пересечения оси ац от этого не изменяется. А
логично эта функция выглядит в любой |
другой плоскости |
напря; |
|
ний ац. |
|
|
0 2 2 по |
Следовательно, изображение функции S2" в плоскости ац, |
|||
чим, если все семейство кривых на рис. 2 |
повернем на угол л/ 2 про’ |
||
движения часовой стрелки. При замене а22 |
на ai2 (см. рис. 2) |
мы по |
|
чаем ЭПП от функции S3" с тем лишь отличием, что функция поло; |
|||
тельна во всей плоскости при любых п. |
|
|
|
Функция S,"S2m в плоскости ац, |
а22 принимает вид cosn asinma; г |
||
фнческос изображение ее при п= 1 |
и т= 1 |
представлено на рис. 3. 3i |
Рис. 2. График функции на сфере R r = Sp‘. Цифры — значения п.
Рис. 3. График функции на сфере SiS2 в полярных координатах. |
— знак функции |
в соответствующем квадранте. |
|
функции в каждом из квадрантов определяется знаком тригонометриче ских функций в этом квадранте, а также четностью или нечетностью степеней нелинейности п и т . На рис. 4 изображена зависимость функ ции Si"5 2m от п и т. При п = т (см. рис. 4—а) четыре лепестка располо жены симметрично диагоналям квадрантов в осях оц, о22; эти оси явля ются осями симметрии фигур. С ростом степени п лепестки уменьшаются размерами. При m= const и п > т с ростом степени п (см. рис. 4—б) лепестки уменьшаются и при этом поворачиваются в направлении оси оц- В этом случае оси оц и С22 сохраняются как оси симметрии.
Установлено, что функция SiS2S3 в пространстве оц, 022. о12 пред ставляет собой восемь объемных лепестков, расположенных по диагона лям октантов.
После анализа свойств отдельных суммантов ряда (8 ) и экспери ментальных данных по прочности однонаправленно армированного стеклопластика [3] (см. табл.) теоретическое уравнение предельной по верхности было выбрано в виде:
RT = а3-\-a\S\27 + a2S i28 + a3S2+ QUS22 + flsS3 + |
|
+ ОбS\S22+ 07 S125г + a8Si2522 + flgSi4S2 + CZ10S1S2S3. |
(9) |
Здесь индексы при au ац, аць для краткости записи заменены индексом порядкового номера. Четные и нечетные степени при Si и S2 были при няты для описания разной прочности при растяжении и сжатии. Получе ние длинных и узких лепестков ЭПП в направлении оси оц привело к сравнительно высоким степеням нелинейности функции Si.
Уравнение (9) определяет поверхность прочности в шестимерном пространстве напряжений, поэтому для определения параметров «а» экс периментальных данных из [3] было недостаточно. Недостающая проч
ность ROOA была принята из |
|
|
|
|
|
|
||||
соображений |
Ro2o<Raot< |
|
|
|
|
|
|
|||
<lRoo6 |
численно |
равной |
|
|
|
|
|
|
||
Яо<м = 455 |
кгс/см2. Опыт ап |
|
|
|
|
|
|
|||
проксимации |
поверхности |
|
|
|
|
|
|
|||
прочности методом разложе |
|
|
|
|
|
|
||||
ния |
функции |
на единичной |
|
|
|
|
|
|
||
сфере показал, что этот ме |
|
|
|
|
|
|
||||
тод, с одной стороны, обла |
|
|
|
|
|
|
||||
дает |
чрезвычайно |
высокой |
|
|
|
|
|
|
||
степенью гибкости, а с дру |
|
|
|
|
|
|
||||
гой, — требует большой ис |
Рас■4■График функции на сфере S.-S,™ и первом |
|||||||||
ходной |
экспериментальной |
|||||||||
, |
|
|
г |
|
квадранте; <тц, |
а 22 — |
оси симметрии, а |
— я = т = |
||
информации О прочности ма- |
= 1 ('/), 2(2) , |
3(3) . |
4 (4 ); |
б - |
т = 1 ; |
п=1(/). |
||||
териала по сравнению с (1). |
|
2 (2), |
4 (3), |
12 (4). |
|
|
Рис. 5. Поверхность прочности стеклопластика согласно уравнению (9). Напряжения, кгс/мм2.
Поэтому было дополнительно принято, что 120 = 960 кгс/см2. Из анализа
(9) найдено, что коэффициент ао соответствует прочности материала при нагружении напряжением агзЧисленные значения остальных парамет ров а были определены методом наименьших квадратов применительно к целевой функции (4). Расчет проводится на ЭВМ «ВАНГ-2200В» по алгоритму [12]. При относительной ошибке аппроксимации г= 14% были получены следующие значения коэффициентов: ао= 455; £Zi = 2277,5; а2 =
= 11333,5; а3= —467; |
а4 = 226; as = 406; а6=135; а7= —1680; as = 3214,6: |
аэ= 2176; аю=1342,1 |
(кгс/см2). |
Так как некоторые коэффициенты получаются отрицательными и от дельные сочетания от Si являются отрицательными по ряду направлений в пространстве оц, при малом объеме экспериментальных данных необ ходимо следить, чтобы в процессе определения оптимальных значений коэффициентов «а» теоретическая прочность материала при любом на пряженном состоянии была бы больше нуля.
Поверхность прочности согласно (9) была графически построен; цифровым планшетным графопостроителем системы ЭВМ «ВАНГ-2200В по алгоритму [13]. Аксонометрическое изображение поверхности в осях <Тц, 022. Oi2, представленное на рис. 5, получено построением ряда сече ний плоскостью, проходящей через ось 0 ) 2 с шагом 15° Каждое сечешн рисовалось по 24 точкам. Поверхность прочности в осях огз, оц подобп: поверхности в осях 0 1 2, оц. Сечения поверхности прочности в осях 022, щ и <722, СГЗЗ ПО форме близки К окружности, а В ПЛОСКОСТИ 0 1 3, 023 — к эл липсу, с направлением большей оси по 0 ]3.
В заключение отметим, что аппроксимация поверхности прочности со гласно (8 ) автоматически обеспечивает трансверсальную изотропна прочностных свойств материала, а также однозначность и замкнутост: поверхности. В общем случае поверхность получается не выпуклой, чт позволяет описать более широкий класс экспериментальных данных
СП И С О К Л И Т Е Р А Т У Р Ы
1.Малмейстер А. К■ Геометрия теорий прочности. — Механика полимеров, 196i
№4, с. 519—534.
2.Грин А., Адкинс Дж. Большие упругие деформации и нелинейная механик, сплошной среды. М., 1965. 455 с.
3.Упитис 3. Т., Рикарде Р Б. Исследование зависимости прочности композита структуры армирования при плоском напряженном состоянии. — Механика полимер! 1976, № 6, с. 1018— 1024.
4.Ван Фо Фы Г А. Упругие постоянные и напряженное состояние стеклоленты. Механика полимеров, 1966, № 4, с. 593—602.
5.Крегер А. Ф., Мелбардис 10. Г Определение деформируемости пространствен"
армированных композитов методом усреднения жесткостей. — Механика полимер! 1978, № 1, с. 3— 8.
6. Ашкенази Е. К. Прочность анизотропных древесных и синтетических матери,
лов. М., 1966. 167 с. |
критерии разрушения анизотропных сред. |
7. By Э. М. Феноменологические |
|
Р кн.: Композиционные материалы. Том |
2. Механика композиционных материалов. У |
1978. 564 с. |
|