1139

симальное значение урожайности несовместимо с осталь­ ными значениями, то это будет служить доказательством неслучайного появления такого максимума, т. е. доказа­ тельством преимуществ сорта с максимальной урожайно­ стью.

Этот же т-критерий можно использовать для прибли­ женного сравнения нескольких выборочных средних, най­ денных по выборкам одинакового объема. Действительно, если все выборки принадлежат, к единой генеральной сово­ купности с параметрами а и а, то и все средние должны принадлежать к единой генеральной совокупности с пара­

метрами а и . Проверяя с помощью максимального

V п

относительного отклонения крайнее значение среди всех выборочных средних, мы и сможем проверить гипотезу о случайном различии выборочных средних.

§7. АНАЛИЗ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ НАБЛЮДЕНИЙ

7.1. Проверка основной гипотезы. Все оценки предыду­ щего параграфа существенно опираются на нормальность наблюдаемого распределения и в случае другого распреде­ ления могут быть не справедливы. Поэтому применение этих оценок допустимо лишь при достаточной уверенности, что наблюдаемое распределение нормально или по крайней мере близко к нормальному.

Гипотезу о нормальности изучаемого распределения мы выше (п. 4.2) назвали основной гипотезой. Разумеется, самая надежная проверка этой гипотезы состоит в тщательном анализе условий испытаний; принципы такого анализа изложены в п. 4.2. Однако подобный анализ не всегда воз­ можен, в других случаях он может вызывать сомнения. В такой ситуации гипотезу нормальности приходится про­ верять непосредственно по наблюдениям (по выборке), ис­ пользуя так называемые критерии согласия.

Основной принцип критериев согласия заключается в том, что заданная выборка сравнивается с некоторым за­ ранее намеченным теоретическим распределением. Приме­ нение критериев согласия в той или иной форме зависит при этом от требований, предъявляемых к теоретическому распределению. Например, при исследовании согласия с нормальным распределением мы можем задаться не только типом распределения, но и какими-то готовыми параметра­ ми а и о. Совсем другая картина будет, если мы зададимся только нормальностью распределения, а параметры возь­ мем из выборки. Именно этот, второй случай наиболее ха­ рактерен для практики, где для выяснения распределения нет никаких других данных, кроме самой выборки. Поэтому в дальнейшем мы в качестве параметров теоретического рас­ пределения всегда будем брать параметры заданной выбор­

ам: х вместо а и s вместо о.

Простейшие критерии согласия основаны на сравнении некоторых генеральных параметров предполагаемого тео­ ретического распределения и их оценок, полученных по исследуемой выборке. Нормальное распределение полно­ стью определяется параметрами а и а, поэтому прочие па­ раметры нормально распределенной генеральной совокуп­ ности выражаются через а и а, и их можно заранее теоре­ тически рассчитать. В то же время для этих параметров можно найти оценки непосредственно по заданной выборке. Если выборочные оценки окажутся достаточно хорошо со­ гласованными с теоретически вычисленными значениями параметров, то это может служить основанием для приня­ тия основной гипотезы; в противном случае основную ги­ потезу нужно отвергнуть.

В качестве оцениваемых параметров удобнее всего брать моменты (п. 5.1), которые нетрудно вычислить для нормаль­

называются соответственно, асимметрией и эксцессом рас­ пределения. Из (7.1) сразу же следует, что для нормального распределения асимметрия и эксцесс равны нулю. Названия асимметрии и эксцесса отражают связь этих величин с фор­ мой графика плотности распределения. На рис. 24 и 25 приведены примеры графиков плотности распределений с ненулевыми асимметрией и эксцессом. Для сравнения штри­ ховой линией изображена нормальная кривая с теми же математическим ожиданием а и дисперсией а2.

Если в качестве т-Ли т 4 взять моменты исследуемой вы­ борки, то получатся выборочные асимметрия и эксцесс. Формулы для их расчета имеют вид

Выборочные асимметрия и эксцесс, как и все выборочные параметры, являются случайными величинами и поэтому даже для нормального распределения могут отличаться от

функцию распределения

К( у ) = Р { К у } = 2 ( - l ) V » * ’»* (</>0).

к= —ао

Втаблице X Приложения приведены квантили Х1_р этого распределения.

Мы получаем следующий критерий согласия. По чертежу или непосредственно по вычислениям нужно найти

D = max | Fn (x) — F(x)\,

а затем \= D Y п- Если вычисленное значение X меньше, чем найденное по выбранному уровню значимости р таб­ личное значение к1_р, то основная гипотеза считается спра­ ведливой. В случае ^ . ^к1_р эта гипотеза отклоняется (или считается сомнительной).

Теорема Колмогорова справедлива не только для нор­ мального, но и для любого теоретического распределения, лишь бы оно было непрерывным. В силу этой, а также ряда других причин в описанном критерии согласия берут очень

Если число элементов в выборке очень велико (порядка сотни и выше), то все вычисления (в том числе вычисление

х и s) становятся очень громоздкими. В этом случае можно использовать «метод сгруппированных данных», который заключается в следующем. Вся область изменения выборки, т. е. отрезок между ее минимальным и максимальным эле­ ментами, разбивается на интервалы одинаковой длины h. Число интервалов k берут обычно в зависимости от объема выборки в пределах от 8 до 20.

В каждый получившийся интервал попадает каксе-го число элементов выборки; число элементов, попавших в г-й интервал, обозначим через /г(-. Вместо прежней выборки мы можем теперь рассматривать совокупность интервалов. Выбирая в качестве «представителя» интервала его середину, мы получим новую, «сгруппированную» выборку xlt х2, ..., xk\ объем этой выборки значительно меньше, чем у перво­ начальной, но каждый t-й элемент здесь нужно повторять tij раз. Мы как бы перестаем различать элементы прежней выборки, отличающиеся меньше, чем на h, заменяя их все серединой соответствующего интервала.

в естественных условиях, так как у каждого измеритель­ ного прибора есть свой предел разрешающей способности, меньше которого он не различает. Благодаря этому в серии наблюдений часто появляются одинаковые наблюдения, хотя теоретически вероятность двух одинаковых наблюде­ ний равна нулю. Отличие естественной группировки от описанной выше «искусственной» в том, что при естественной группировке величина интервала группирования не выше точности наблюдений, в то время как при «искусственной» группировке, объединяя отдельные наблюдения в один ин­ тервал, мы не меняем их точности, которая в результате оказывается намного меньше длины интервала h.

Среднее и дисперсию прежней выборки можно теперь с достаточной степенью точности вычислить по новым, «сгруп­

со смещением дисперсии при группировании. Причиной этого смещения как раз является превышение длины интер­ вала h над точностью данных; именно поэтому поправка Шеппарда не нужна при естественней группировке.

Группирование данных значительно облегчает работу

по вычислению к и .s2, а погрешность при этом, как правило, невелика. В связи с этим «метод сгруппированных данных» следует применять и в обычней обработке наблюдений, если объем этих наблюдений очень велик.

С группированием данных связан еще один, пожалуй, самый строгий и надежный критерий согласия, называемый обычно критерием Пирсона. Дело в том, что гипотеза о нор­ мальном характере распределения позволяет вычислить теоретические значения для вероятностей р{ попасть в i-й интервал. Для этого используется выведенная. в п. 3.2 формула

160§7. АНАЛИЗ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ НАБЛЮДЕНИЙ

Внашем примере получаем

В качестве первого критерия согласия сравним найден­ ные асимметрию и эксцесс с их теоретическими дисперсиями:

Мы видим, что найденные асимметрия и эксцесс во много раз превосходят свои средние квадратичные отклонения. Поэтому нужно считать, что изучаемое распределение су­ щественно отличается от нормального.

Проверим полученный вывод с помощью критериев Кол­ могорова и Пирсона. Составим новую таблицу 7.2, в которой первые три колонки оставим прежние, а остальные колонки используем для новых вычислений. Четвертая колонка содержит теоретические числа пр, попаданий в соответст­ вующие интервалы. Вероятности р, вычислены в предполо-