1153
.pdfРассмотрим характеристики на плоскости (Х,Т) (рис. 1). Пусть Л и О обозначают коор динаты соответственно дна трубки и вершины столбика крови. На ОА выполнены начальные условия (18), записанные в безразмерном виде: Я = Я0, W= 1. Для случая у(Я0) < 0 рас смотрим область АОВ, образованную характе ристикой ОВР первого семейства, выходящей из 0, и характеристикой АВ второго семейства, выходящей из А. Поскольку через любую точку области АОВ можно провести характеристику второго семейства, берущую начало на ОА, то в любой точке области АОВ концентрация по стоянна и равна начальной концентрации Я0. Следовательно, в области АОВ согласно (20)
Рис. 1. Картина характерис тик.
W = \ A K H 0T. |
( 22) |
Характеристика ОВР представляет собой график оседания границы раз дела слоя плазмы и слоя эритроцитов. Скорость этого оседания, задан ная уравнением характеристик (20) с учетом (22), равна:
v = (1 -Я о)2 (\+KHQT ) \ |
(23) |
ф ( Я 0) |
|
Пространственная координата Хв точки В находится из условия
тв |
(1 -Я о)2 |
|
|
Хв = § vdx |
(24) |
||
ф(Я0) |
|||
|
|
где Тв —.временная координата точки В, определяемая из условия
jvd x — §y(Ho)vd%=\.
оо
Отсюда с учетом (24) будем иметь:
' • - г ё н |
+ ' ) “ - ] ■ |
< - |
Таким образом, момент времени, начиная с которого сказывается влияние дна трубки и скорость оседания начинает замедляться, опре деляется формулой (25). До этого момента скорость оседания определя ется согласно (23). В точке А скорость оседания в начальный момент терпит разрыв от v(HQ) до нуля или, что то же, концентрация терпит разрыв от Я0 до максимальной Ят ^ 1 . Следовательно, в точке А берет начало бесконечное множество характеристик второго семейства, зада ваемых уравнением (21) при всевозможных значениях концентрации в пределах Я0^ Я ^ Я т . Э тот «веер» характеристик заполняет всю об ласть QABP.
Далее рассмотрим приближенное решение системы (15), (16), полу чающееся заменой в (15) кН на kH0, что соответствует точному реше нию, если в качестве итоговой скорости образования агрегатов G вместо (13) взять G= — (H0/H)kN2. Очевидно, принятое приближение не внесет качественных изменений в решение, а если учесть, что Я изменяется лишь в пределах Я0^ Я ^ 1 , то при достаточно больших значениях Я0
Рис. 2. Зависимость степени оседания от времени при //= 0 ,3 5 (а) и 0,45 (б). Цифры
укривых — значение К
иколичественные изменения будут невелики. Кроме того, в области АОВ приближенное решение будет совпадать с точным.
Введем новый параметр, связанный со временем формулой
0=[(1 + К //„ 7 у /> - 1 ] - ^ - . |
(26) |
Тогда уравнения характеристик и условия на них, учитывая, что в при
нятом приближении (22) |
будет выполняться в течение всего |
процесса |
||
оседания, примут вид: |
|
|
|
|
W= ( |
dx |
(1 - н ) 2 |
(27) |
|
вдоль характеристик |
ф(Я) |
’ |
||
|
dx |
(1 ~ ^ )2 |
|
(28) |
Я = const вдоль характеристик ~dQ —у(Н) |
ф(Я) |
|
||
|
|
Особенностью замены (26) является то, что характеристики (28) пред ставляют собой прямые линии, а в уравнения характеристик (27) пере менная 0 не входит явно. Указанные обстоятельства позволяют легко получить численными методами решение задачи в переменных х, 0, а
затем по формуле (26) |
перейти к переменным х, Т. Для численного ре |
|
шения функцию т|з(Я) |
выберем согласно |
[6]: ф(Я) = (1 —Я )-2-5. Тогда |
у (Я )= 1 -4 ,5 Я /(1 -Я ). |
Условие у(Я0) < 0 , |
которое считается выполнен |
ным, справедливо для всех Я0>0,182.
Результаты численного решения для различных значений безразмер ного коэффициента при концентрациях Я0 = 0,35 и Яо = 0,45 приведены на рис. 2, где по оси абсцисс отложено безразмерное время Т, по оси орди нат — высота слоя плазмы по отношению к начальной высоте столбца эритроцитов. Для наглядности вдоль оси абсцисс отложено также раз мерное время в часах, в предположении, что объем и скорость одиноч
ного эритроцита равны [7, 8]: |
ш0 = 0,87-10-7, w0 = 0,8 -10-3 мм/с. |
В таблице представлена |
зависимость стандартного показателя осе |
дания за час и результатов измерений по 15-мин отрезкам времени от
коэффициента К, |
характеризующего |
скорость |
агрегации, при Яо = 0,35. |
|||||
к |
Оседа |
|
Оседание |
по 15-мин отрезкам, |
мм |
|||
ние |
за |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
|
|
I ч, |
мм |
||||||
ю4 |
5 |
|
1 |
1> |
1 |
2 |
3 |
3 |
10s |
25 |
|
21 |
6 |
8 |
91 |
12 |
9 |
10° |
54 |
|
13 |
2)5 |
12 |
4 |
3 |
1 |
ю7 |
58 |
|
48 |
8 |
1 |
1 |
1 |
1 |
Приведенные результаты соответствуют экспериментальным данным об однозначном соответствии между сдвигом времени достижения мак симальной скорости оседания на роэграмме влево (вправо) и увеличе нии (уменьшении) показателя оседания за час [1]. Однако при высоких скоростях оседания сдвиг максимума скорости оседания более чувстви телен к изменению скорости агрегации, что говорит о большей надеж ности использования в клинике «фракционного» исследования. В то же время при малых скоростях оседания более чувствительным к скорости агрегации оказывается часовой показатель.
Особый интерес представляет собой случай больших значений коэф фициента К (>103), который охватывает практически все эксперименты на агрегирующейся крови человека. При этом (25) в размерных пара метрах принимает вид:
u0k2i>(\-H0y H 0*!>
(29)
Шо'/зф (А /о)
Из (29) видно, что кроме скорости агрегации на время достижения мак симума скорости оседания влияют начальная концентрация эритроцитов, объем и скорость оседания одиночного эритроцита, высота начального столбца эритроцитов. Из (29) и решения, представленного на рис. 2, следует также, что наибольшее влияние на результаты РОЭ оказывает изменение концентрации эритроцитов и скорости агрегации, поскольку изменение показателя скорости агрегации k изменяется в патологии по сравнению с нормой на несколько порядков, в то время как возмож ные вариации величин и0 и wQl как правило, невелики и находятся в пределах одного порядка.
СП И С О К Л И Т Е Р А Т У Р Ы
1.Гавалов С. М. К механизму фракционной реакции оседания эритроцитов (ФРОЭ). — Сов. медицина, 1957, № 8, с. 62—66.
2.Подрабинек П. А. Современное представление о механизме РОЭ. — Успехи
соврем, биологии, 1959, т. 48, № 1, с. 75—87.
3. Hutchinson R. М., Eastharn R. D. A comparison of the erythrocyte sedimentation rate and plasma viscosity in detecting changes in plasma proteins. — J. Clin. Pathol., 1977, vol. 30, N 4, p. 345—349.
4.Регирер С. А. К вопросу о континуальных моделях суспензий. — Прнкл. мате матика и механика, 1978, т. 42, № 4, с. Э79—388.
5.Регирер С. А., Шадрина Н. X. О моделях тиксотропных жидкостей. — Прнкл.
математика и механика, 1978, т. 42, № 5, с. 356—365.
6.Brinkman Н. С. The viscosity of concentrated suspention and solution. — J. Chem. Phys., 1952, vol. 20, N .4, p. 571.
7.Физиология системы крови. Л., 1968. 280 с.
8. Подрабинек П. А. Гидравлические свойства |
эритроцита. |
— |
Биофизика, 1965, |
т. 10, № 2, с. 367—368. |
|
|
|
Московский государственный университет |
Поступило |
в |
редакцию 20.03.79 |
им. М. В. Ломоносова, Институт механики |
|
|
|
УДК 539.376:678
Е. А. Соколов
ВОЗМОЖНОСТИ ПРЕДСКАЗАНИЯ ПОЛЗУЧЕСТИ СЛОИСТОГО ОРГАНОПЛАСТИКА ПО СВОЙСТВАМ ОДНОНАПРАВЛЕННО АРМИРОВАННОГО МАТЕРИАЛА
В последние годы ведется интенсивное изучение новых конструкци онных пластиков на основе высокопрочных полимерных волокон — ор ганопластиков. Наличие полимерной арматуры приводит к тому, что даже однонаправленно армированный органопластик обнаруживает за метную ползучесть при растяжении в направлении армирования; прово димые в Институте механики полимеров АН Латвийской ССР длитель ные (более двух лет) испытания показывают, что полная деформация (с учетом ползучести) может превышать упругую в 1,5 раза и более.
Из литературы известны различные подходы к определению вязкоупругих свойств композита по свойствам компонентов. В [1] временная зависимость компонентов матрицы податливости однонаправленно и ор тогонально армированных пластиков получена заменой постоянных в упругом решении соответствующими линейными операторами, представ ленными через Э-функции. Рассмотрены случаи упругой и вязкоупругой арматуры. Контрольные испытания на ползучесть проводились на одно направленном стеклопластике на полиэфирном связующем ПН-1 с раз личным содержанием арматуры при растяжении в направлении армиро вания. Получено хорошее соответствие с расчетом. В другом подходе ис пользуется принцип соответствия. В этом случае упругие постоянные заменяются изображениями соответствующих вязкоупругих функций. После проведения необходимых преобразований в пространстве изобра жений делается обратное преобразование. Аналитическое обращение обычно затруднительно, поэтому применяются различные приближен ные методы [2].
В работе [3] метод соответствия применен для описания ползучести модельного композита на основе эпоксидной смолы, однонаправленно армированной медной проволокой. Арматура полагалась упругой, свя зующее — вязкоупругим. Контрольные испытания проведены в режиме ползучести на образцах, вырезанных под разными углами к направле нию армирования. Отмечено удовлетворительное соответствие опытных и расчетных данных. Обзор работ зарубежных авторов, использующих принцип соответствия, приведен в [2].
Довольно широкое экспериментальное подтверждение при определе нии вязкоупругих свойств композитов получил приближенный кв азиуп- ругий метод [2, 4]. В основу метода положена замена упругих характе ристик, входящих в упругое решение, соответствующими функциями ползучести и релаксации. Что касается точности метода, то, как отм е чено в [2]: «при его применении можно утверждать, что в бо л ь ш и н ст в е случаев точность метода вполне удовлетворяет обычным и н ж ен ер н ы м требованиям».
В работе [5] в качестве элемента структуры многослойного пакета принят отдельный анизотропный слой. Полагается, что при нагружении в плоскости армирования все слои деформируются совместно без сколь жения. В отношении характеристик упругости симметрия слоя принята моноклинной. Изменение напряженно-деформированного состояния слоя
во времени описывается уравнением наследственного типа с экспоненци альным ядром. Временная зависимость компонент матрицы податли вости пакета S(ti) определяется из решения матричного дифференци ального уравнения для фиксированного значения времени ti. Уравнение
строится методом сопротивления материалов. С расчетом |
сопоставлены |
две компоненты матрицы податливости S u (t) и 52г(0 (1,2 |
— оси симмет |
рии слоя в плоскости армирования), полученные из испытаний на ползу честь образцов ортотропного композита — модифицированной древе сины. Испытания на прямую ползучесть продолжительностью ~ 190 ч проведены при трех уровнях напряжения в диапазоне 0,2—0,6а*
Таким образом, для определения вязкоупругих свойств композита по свойствам его компонентов обычно используется известное решение со ответствующей упругой задачи. Переход от упругого решения к вязкоупругому связан с заменой упругих постоянных либо операторами, либо изображениями вязкоупругих функций, либо функциями ползучести или релаксации.
При решении задач прогнозирования свойств упругости композитов по свойствам компонентов широкое применение находит метод линей ного суммирования (усреднения) жесткостей [6—8]. В [9] этот метод распространен на предсказание вязкоупругих свойств композитов.
В Данной работе ставилась задача на основе метода линейного сум мирования жесткостей оценить возможности предсказания ползучести слоистого органопластика с различной ориентацией слоев в плоскости армирования по вязкоупругим свойствам отдельного однонаправленно армированного слоя. Последовательность решения выбрана следующей: проведены испытания и определены уравнения ползучести модельного однонаправленно армированного материала. Затем на основе получен ных данных рассчитывалась ожидаемая ползучесть слоистого пластика с заданной укладкой слоев по толщине; переход от упругого решения, полученного методом линейного суммирования жесткостей, к вязкоуп ругому осуществлен квазиупругим методом. Результаты прогноза срав нивались с данными контрольных испытаний на ползучесть образцов слоистого органопластика. Отдельный слой полагался однородным трансверсально-изотропным материалом, находящимся в условиях пло ского напряженного состояния. В этом случае ползучесть в произволь ном направлении в плоскости армирования определяется четырьмя не зависимыми функциями ползучести. Эти функции находили аппроксима цией опытных кривых ползучести.
Испытания |
на |
ползучесть прове |
|
|
|
|
|||||||
дены на образцах |
однонаправленного |
|
|
|
|
||||||||
органопластика |
на |
основе |
эпоксид |
|
|
|
|
||||||
ного связующего ЭДТ-10 и высоко |
|
|
|
|
|||||||||
прочных органических нитей с коэф |
|
|
|
|
|||||||||
фициентом |
армирования |
ц = 0,65. |
Об |
|
|
|
|
||||||
разцы вырезали |
под |
разными углами |
|
|
|
|
|||||||
к направлению |
|
армирования: |
ср = |
|
|
|
|
||||||
=0,45,90° (рис. 1).. Продолжитель |
|
|
|
|
|||||||||
ность испытаний — 5 ч*. Деформации |
Рис. |
1. |
|
Рис. 2. |
|||||||||
измеряли |
электромеханическими |
тен |
|
||||||||||
Рис. 1. |
Расположение |
осей координат в от |
|||||||||||
зометрами: |
продольные |
'— |
на |
базе |
|||||||||
1о=65 мм, поперечные — на базе /о= |
|
|
дельном слое пакета. |
||||||||||
Рис. 2. Нормированные функции времени для |
|||||||||||||
= 15 мм. |
Одновременное |
измерение |
|||||||||||
разных направлений в плоскости армирования: |
|||||||||||||
продольных |
Ezz |
и поперечных еуу де |
|||||||||||
ср=90° |
(/); 45° (2); 0 |
(3, 4 — поперечные и |
|||||||||||
формаций |
|
проводили |
только |
при |
|
|
продольные деформации). |
* Результаты испытаний органопластика на длительную ползучесть в направлении армирования были приведены в работе [10].
Т а б л . 1
Реологические характеристики однонаправленно армированного органопластика при нагружении в разных направлениях по отношению к направлению армирования
Направление |
|
В ■ 10° |
|
Т | |
т2 |
Тэ |
Ошибка |
ап |
А • 108 |
|
|
|
|
проксимации |
|||
нагружения |
см2/кгс |
см2/кгс |
|
|
часы |
|
усредненных |
|
|
|
|
|
|
|
опытных |
||
|
|
|
|
|
|
|
кривых г, |
% |
Ф = 0 |
1,53 |
0,0886 |
2 |
0.17 |
3,88 |
— |
3;7 |
|
Е зз(0 |
|
|||||||
622(/) |
0,48 |
0,0684 |
2 |
0,17 |
3,53 |
— |
6,0 |
|
Ф= 45° |
22,00 |
2,8500 |
3 |
0,28 |
2,50 |
2,7 |
3,8 |
|
Ф= 90° |
32,00 |
3,6000 |
3 |
0,80 |
2,50 |
2,7 |
5,7 |
|
испытаниях образцов, вырезанных в направлении армирования ф =0. Эти образцы имели |
|
вид пластинки размерами |
1 8 0 x 1 5 x 2 мм. Размеры образцов при ср=45° и 90° были |
180X20X6 мм. Испытания |
проведены в следующих диапазонах напряжений: при ф=0 — |
шесть уровней напряжения в диапазоне от 0,4 до 0,8сг*33; при ф=45° |
— четыре уровня |
в диапазоне от 0,4 до 0,66а*22; при ф= 90° — три уровня от 0,5 до |
0,8ст*22, где а* — |
предел прочности в соответствующем направлении. Для каждого уровня напряжений проведено три-пять параллельных испытаний.
Предварительный анализ результатов испытаний показал, что пол зучесть исследуемого материала в разных направлениях характеризу ется различными нормированными функциями времени (рис. 2). Аппроксимация опытных кривых проводилась выражением
П
е(0 =Аст+ Всг— V , [1 —ехр( —f/xi)], |
(1) |
п ТП |
|
£ 22 |
•/. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
. |
2 |
п Г о |
о |
о |
о |
|
1 |
о |
|
||||
------------1________1 |
___ 1 |
|
|||
C z z °/о |
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
- „ о |
О |
о |
о |
О |
4 |
~ |
|
О |
О |
t ч 1________ 1
оО
|
|
|
|
3 |
(I |
О |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
L |
^ r - |
|
2 |
_ |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
О 1 |
о |
о |
|
|
?|------------ 1— |
|
|
t |
ч |
|
|
|
2 |
3 |
|
|
|
||
|
0 |
1 |
и |
5 |
|
||
|
|
|
|
||||
Рис. 3. |
|
|
Рис. 4. |
|
|
|
|
Рис. 3. Кривые ползучести однопаправленно армированного органопластика |
при растя- |
||||||
^ ни)1 Д н? ^ а“ле"и“ аРмиРоваиия (ф = 0°) |
для разных уровней напряжения: 0,4 |
(/); 0,5 |
|||||
(2), 0,о5 (3), 0,6 (4); 0,7 (5); 0,8а*33 (б), |
а — продольные деформации; |
б |
— |
попереч |
ные. Линии — аппроксимация; точки — эксперимент.
Рис. 4. Ползучесть однонаправленно армированного органопластика при нагружении в
направлениях, |
не совпадающих с направлением армирования: а — ср = 90°- a2olo*2->= 0,4 |
(/); 0,53 (2); |
0,63 (5); б — ф = 45°; а22/а*22 = 0,4 (/), 0,5 (2), 0,56 (3), 0,66 {4) Ли |
|
нии — аппроксимация; точки — эксперимент. |
где е, а — соответственно деформация и напряжение; А, В, х — пара метры. Численные значения этих параметров определены по опытным кривым с использованием алгоритма отыскания минимума функции многих переменных методом спуска [11]. Целевая функция принималась в следующем виде:
I si J./
г= ] / - .! — У ■У <[(еп/э —епгр)/е,цэ]2 ■100-»-min,
п= 1 |
1 |
где L — количество средних точек на кривой ползучести при одном уровне напряжения; N — количество уровней напряжения; ер, е° — рас четные и средние экспериментальные значения деформации. Найденные значения параметров и ошибки аппроксимации приведены в табл. 1. Опытные и аппроксимирующие кривые ползучести однонаправленного органопластика для разных направлений в плоскости армирования по казаны на рисунках 3, 4.
Как отмечалось выше, расчет ожидаемой ползучести слоистого плас тика проводился на основе метода линейного суммирования жесткостей. Определение характеристик упругости слоистого пластика по свойствам отдельного слоя этим методом проводится по структурной схеме, пока занной на рис. 5. Эта же схема может использоваться для расчета вре менной зависимости характеристик упругости слоистого пластика. Для этого в соответствии с квазиупругим методом производится замена характеристик упругости слоя вре менными зависимостями этих величин:
Е2—>- Е2(/) — |
022 |
|
||
|
|
622 ( О |
|
|
|
E3-+Ez(t) = |
Озз |
|
|
|
|
бзз(О |
|
|
|
|
|
6 2 2 ( 0 |
|
V23“>"V23(0 —~Ez{t) Озз |
||||
|
G23-*- б?2з(0; |
( 2) |
||
^23(О |
£45со |
-4Ез |
1( 0 ■+ |
|
+ 1 _ ) + 2V23 (О |
£45(0 = |
ez2( 0 |
||
£2 (0 } |
£з(0 |
|
|
|
Зависимости E2{t), |
|
E3(t), |
^гз(0. |
|
£45 (0 |
описываются |
выражением |
(1) с учетом соответствующих коэф фициентов, приведенных в табл. 1. Результатом расчета являются характеристики упругости слоистого пластика, определенные для некото рого момента времени /. Затем весь расчет повторяется для t + At и т. д. Приведенная на рис. 5 структурная схема с учетом замены (2) была реализована в виде программы для ЭВМ НР-9600.
Рис. 5. Структурная схема последова тельности расчета характеристик упру гости слоистого композита методом ли нейного суммирования (усреднения) тен зоров жесткостей.
С„ 7. |
а |
|
Рис. 6. |
Рис. 7. |
Рис. 6. Расположение осей симметрии (а) и диаграммы деформирования слоистого орга нопластика при растяжении в направлениях г и у (б).
Рис. 7. Кривые контрольной ползучести слоистого органопластика при растяжении в направлении z (а) и у (б) для напряжений 0,4 (1), 0,55 (2); 0,7 (3); 0,85 (4) а* Ли нин — расчет, точки — эксперимент.
Контрольные испытания проводились на слоистом органопластике с укладкой [±45/0г/±45/02/±45]т. Расположение осей симметрии плас тика показано на рис. 6. Образцы вырезали в направлениях z и г/; они имели вид пластинок размерами 1 8 0 x 2 0 x 2 мм. Для каждого направ ления испытания на ползучесть проводили при четырех уровнях посто янного напряжения в диапазоне 0,4— 0,85 от предела кратковременной прочности в соответствующем направлении. При каждом уровне испы тано по три образца. Диаграммы деформирования материала, получен ные при определении пределов прочности в направлениях z и у, пока заны на рис. 6. Кружками отмечены уровни напряжений, при которых проводили контрольные испытания на ползучесть. Деформации изме ряли механическими тензометрами с индикаторами часового типа с це ной деления 0,01 мм. База измерения деформаций — 80 мм.
На рис. 7 показаны результаты контрольных испытаний слоистого
Табл. 2
Относительные квадратичные отклонения средних |
опытных данных от |
расчетных, % |
|||
|
|
|
|
ala* |
|
Направление |
нагружения |
|
|
|
|
|
|
ОАО |
0,55 |
0,70 |
0,85 |
Вдоль |
ОСИ |
7,4 |
5.0 |
4,1 |
12,7 |
2 |
|
310 |
340 |
337 |
295 |
Вдоль оси |
5,7 |
6,7 |
3,6 |
8,8 |
|
У |
|
193 |
162 |
169 |
164 |
Примечание. В числителе показано отклонение от расчетной кривой, полученном па основе метода линейного суммирования жесткостей, в знаменателе — на основе метода
линейного суммирования податливости.
органопластика на ползучесть. Сплошными линиями обозначены рас четные кривые, полученные методом линейного суммирования жесткос тей с учетом замены (2). Как видно из рис. 7, наибольшее отклонение расчетных и опытных кривых ползучести получено для уровня напряже ния а = 0,85а*, что, по-видимому, можно объяснить увеличением влияния нелинейности. Средние относительные квадратичные отклонения опыт ных данных от расчетных, полученных методами линейного суммирова ния тензоров жесткости и тензоров податливости, приведены в табл. 2.
Таким образом, проведенные испытания органопластика и выполнен ный анализ полученных данных дают основание утверждать, что, ис пользуя метод линейного суммирования тензоров жесткости и квазиупругий метод перехода от упругого решения к вязкоупругому, можно вполне удовлетворительно предсказать ожидаемую ползучесть в плос кости армирования многослойного пакета исследованного материала с заданной укладкой однонаправленно армированных слоев. Исходной информацией являются опытные кривые ползучести модельного одно направленно армированного материала с коэффициентом армирования, равным коэффициенту армирования слоя.
СП И С О К Л И Т Е Р А Т У Р Ы
1.Скудра А. М., Булаве Ф. Я., Роценс К. А. Ползучесть и статическая усталость армированных пластиков. Рига, 1971. 238 с.
2.Шепери Р. А. Вязкоупругое поведение композиционных материалов. — В кн.:
Механика композиционных материалов. Т. 2. М., 1978, с. 102— 195.
3. Shiratori Е., Ikegarni К., Hatiori |
Т. Viscoelastic behaviour of a unidirectional |
fibre reinforced plastic. — J. Material Sci., |
1974, N 9, p. 591—606. |
4.Шейпери P. Анализ деформирования и разрушения вязкоупругих композитов. —
Вкн.: Неупругне свойства композиционных материалов. М., 1978, с. 180—220.
5.Роценс К. А., Штейнере К. И. Временные зависимости податливостей многоком
понентного слоистого композита. — Механика полимеров, 1978, № 6, с. 1020— 1026.
6. Тетере Г А., Рикарде Р. Б., Нарусберг В. Л. Оптимизация оболочек из слоистых
композитов. Рига, 1978. 240 с.
7. Крегер А. Ф., Мелбардис 10. П. Определение деформируемости пространственно армированных композитов методом усреднения жесткостей. — Механика полимеров,
1978, № 1, с. 3—8.
8. Соколов Е. А., Максимов Р. Д. Прогнозирование характеристик упругости гиб ридного текстолита. — Механика композитных материалов, 1979, № 4, с. 705—712.
9. Крегер А. Ф., Тетере Г А. Применение методов усреднения для определения вязкоупругих свойств пространственно армированных композитов. — Механика компо
зитных материалов, 1979, № 4, с. 617—625.
10. Соколов Е. А., Максимов Р. Д. Возможности предсказания ползучести армиро ванного полимерными волокнами пластика по свойствам компонентов. Механика по
лимеров, 1978, № 6, с. 1005— 1012.
11. Крегер А. Ф. Алгоритм отыскания минимума функции многих переменных мето
дом спуска. — Алгоритмы и программы, |
1974, № 2, с. 9 |
Институт механики полимеров |
Поступило в редакцию 22.06.79 |
АН Латвийской ССР, Рига |
|
МЕХАНИКА КОМПОЗИТНЫХ МАТЕРИАЛОВ, 1980, № 1, с. 148—152
УДК 620.1.05:539.3
В. Д. Штраус
ВЫЧИСЛЕНИЕ ВРЕМЕННЫХ ФУНКЦИЙ НАСЛЕДСТВЕННОСТИ ПУТЕМ ПРИМЕНЕНИЯ ОБРАТНОГО ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАПЛАСА
Для описания механических и электрических релаксационных явле ний в полимерах и композитах на их основе применяются слабосингуляр ные ядра (функции спадания) в виде бесконечных рядов [1—4]. В связи с медленной сходимостью бесконечных рядов при больших аргументах расчет этих функций и интегралов от них представляет определенные вычислительные трудности. Обычно прямое вычисление бесконечных ря дов позволяет рассчитать временные функции наследственности до зна чений аргумента порядка 1. При значении аргумента порядка 10 и более для приближения вычисления можно применять асимптотические разло жения [5] этих функций. В интервале значений аргумента от 1 до 10 при меняются различные методы, в частности при вычислении дробно-экспо ненциальной функции [1] Работнова использовались преобразование Эйлера, улучшающее сходимость рядов, и численное решение интеграль ного уравнения для дробно-экспоненциальной функции, являющейся ре зольвентой ядра Абеля.
Для слабосингулярных ядер в виде бесконечных рядов характерно то, что их, изображения Лапласа являются аналитическими функциями, не представляющими каких-либо вычислительных трудностей. В дан ной работе приводится метод вычисления ядер наследственности и ин тегралов от них, основанный на применении обратного преобразования Лапласа к соответствующим функциям их изображений.
Известен способ [6] пересчета функций, связанных между собой пре образованием Лапласа, одну на другую, основанный на подобии подын тегральных выражений в уравнениях, связывающих эти функции через спектр. На основе данного способа разработаны алгоритмы [7, 8] пере хода от статических характеристик вязкоупругих материалов к динами ческим, и наоборот. Аналогичный способ может быть применен и для определения временных функций наследственности.
Согласно феноменологической теории (9] линейной вязкоупругости ядро наследственности K{t) и интеграл от него можно выразить через спектр L(т), применяя следующие выражения:
(О
о
оо
В свою очередь, изображение Лапласа К(р) функции K{i)
ОО
о