1222
.pdfКаждая из задач Жв(д) заключается в определении локаль ных функций М^+2) из решения уравнений
еш €JN l(JijpRTpRK]...Kq+n)\MN +{JIJPRT P^I..K(J+I)M 6N K (}^ +
+ ( j I J P R T P RK I .. Kq+x )lN ^ M K q ^ |
+ |
J IJ P p T p R K ,... Kq^ M K q+3 &N K q+4 ] = (8 .2 4 ) |
= « t \ |
, |
9 = 0,1 .2, |
причем имеется в виду, что величины TW выражены по формуле (8.2 2 ) через локальные функции М^>, при нахождении которых
учитываются условия (2.15), |
(2.22) и |
|
(8.25) |
||
|
н к 1 - ■V.= е'к,+эе'"с?.1{ J U P Q T P ^K 1.. .к,+2>• |
|
|||
При |
этом эффективный |
тензор упругих податливостей |
Н |
связан |
|
с Н<°) следующим соотношением: |
|
|
|||
|
H {U R L = Cm PJN GRPGLQH MN PQ . |
|
(8.26) |
||
Из |
(8.24) и (8.25) видно, что |
|
|
|
|
|
Н к % = 0, |
= 0. М ф = 0, Г(/°; = 0, Т\% = |
0, |
(8.27) |
|
|
£/м GJN (JIJPQ TPQKJct)i M N = 0 , |
|
(8.28) |
||
|
H (R L MN = |
G[M GJN(JIJPQ^PQKL)• |
|
(8.29) |
|
После определения всех локальных функций М(^, а значит и |
|||||
Т<*), и решения задач Дв(й) |
напряжения о и деформации |
е най |
|||
дем по формулам |
I |
й. |
|
(8.зо) |
|
|
« и = f |
|
|||
|
«7=0 |
р=0 |
|
|
|
|
ги = |
RutH-.Kp^ ( ? ) & . P?/cp+2 (*), |
|
(8-31) |
|
|
<7=0 |
p=0 |
|
|
|
где |
|
|
|
|
|
|
R^UKi...Kq— JIJMN T^NKi-.-Kq- |
|
(8.32) |
Заметим, что выражения (8.31), (8.32) точно удовлетворяют уравнениям равновесия и совместности и, если удается точно Удовлетворить граничным условиям (8.19), то (8.31) и (8.30) яв ляются точным решением исходной задачи (8 .8 ) — (8.9).
Выражения (8.31), (8.30) являются приближенным решением задачи (8 .8 ) — (8 .9 ), если граничные условия удовлетворяются при
ближенно или в рядах (8.31), (8.30) сохранены только несколько первых членов (например, рассматривается теория нулевого при ближения).
Упражнение 8.1. Показать, |
что представление (8.15) |
с по |
|
мощью (8.17) можно записать в виде |
|
||
Ф = £ |
J |
М ^ .к р(Ы к7).крЙ . |
(8.33) |
<7=0 |
р=0 |
|
Н Е К О Т О Р Ы Е Л И Т Е Р А Т У Р Н Ы Е У К А З А Н И Я
§1. Метод осреднения дифференциальных уравнений с быстро осциллирующими коэффициентами предложен Н. С. Бахва ловым [5, 6, 7, 8] (см. также [9, 24, 25, 26, 29, 74]). Матема
тическое обоснование использованных разложений дано
в[115— 117].
§2. Решение статической задачи теории упругости в перемеще
ниях для |
композитов дано |
в работах [84, |
86, 88]. |
§ 3. Задача В |
для композитов |
рассмотрена в |
работах [84, 88] |
азадача Б — в [89].
§4. Определение теплофизических характеристик рассмотрено например, в работах [50, 53, 86, 96].
§6. Оценка (6.64) получена в [117].
Г л а в а 5
СЛОИСТЫЕ УПРУГИЕ КОМПОЗИТЫ
До сих пор при разыскании решения задачи теории упруго сти В' виде асимптотического разложения по геометрическому па раметру а предполагалось, что этот параметр мал (т. е. велико число ячеек периодичности), и решение поставленной задачи считалось тем точнее, чем меньше параметр а. Однако не было дано ответов на вопросы: что такое «параметр мал»?, сходится ли когда-нибудь асимптотический ряд, а если сходится, то ic ре шению ли исследуемой задачи?, какова «точность» теории нуле вого приближения и от чего она зависит?
В этой главе на примере слоистых композитов сделана попыт ка ответить на эти и еще некоторые вопросы, как любят говорить математики, «на физическом уровне строгости».
Сначала формулируются пространственные задачи теории уп ругости в перемещениях и напряжениях для слоистых композитов, являющихся периодическими структурами. В явном виде выпи сываются выражения для эффективных тензоров модулей упру гости, упругих податливостей, соответствующих тензоров нуле вого приближения, локальных функций первого уровня, а также эффективных тензоров, характеризующих теплофизические свой ства слоистого композита. При этом каждый компонент компо зита может быть неоднородным и анизотропным.
Получено точное решение плоской задачи теории упругости о полосе с произвольной неоднородностью по одной координате при различных граничных условиях и на этих примерах выясня ется вопрос о точности теории нулевого приближения. Рассмат риваются произвольные регулярные слоистые структуры, для ко торых в явном виде выписываются эффективные характеристи ки. Как частный случай Таких структур рассматривается слоистый пустотелый цилиндр. На примере задачи Гадолина (о слоистой трубе под давлением) оценивается зависимость теории нулевого приближения (а также Первого и второго) от числа ячеек перио дичности. На примере неосесймметричной задачи о трубе под дей ст в и е локальных нагрузок выясняется характер зависимости точности теории нулевого приближения от степени локализации наГРУ3ки. По теории нулевого приближения подсчитываются на
пряжения, возникающие в трубе, сидящей на оправке, при намот ке на нее композиционной ленты.
Описывается численный метод для решения пространственных задач теории упругости слоистого композита. Для некоторого сло истого параллелепипеда подсчитываются напряжения по теории нулевого приближения.
§ 1. Задача в перемещениях
Рассмотрим слоистый композит! Будем считать, что он состав лен из «пакетов», которые повторяются периодически, например, по координате хъ (рис. 15), ось х2 направ лена от наблюдателя перпендикулярно плоскости чертежа. Каждый «пакет», в свою очередь, может быть составлен из слоев («на рис. 15 они заштрихованы), на границе раздела которых материальные функции определяющих соотношений МДТТ, зависящие только от координаты *з, терпят разрыв по этой координате. Вну три слоя они являются непрерывными функ
циями координаты х%.
Описанный таким образом слоистый композит является пе риодической структурой. В дальнейшем мы рассмотрим и квазипериодические структуры для слоистого композита.
Пусть, например, слоистый композит является упругим. Тогда тензоры модулей упругости С и упругих податливостей J явля
ются периодическими функциями координаты Хз и не зависят от координат х\, х2.
Введем по правилам, изложенным в § 2 предыдущей главы,
быструю переменную £: |
|
£з=**з/а |
(1.1) |
и воспользуемся результатами ajoro параграфа. Ищем решение задачи (4.2.1), (4.2.2) в виде разложения (4.2.43)
где локальные функции N*p> зависят только от координаты £. Поэтому уравнения (4.2.18) каждой задачи Ж а (<^) являются обыкновенными дифференциальными уравнениями
[С/З/ЛЗ ( N m n k l. .ftfl+2) T |
+ ( C ^ 'rik q+2^ m |
i k l . . k q+1Y |
+ |
|
+ Cikg+2mAN{mtkl..kq+iy + Cikq^mkq+1N{$nkl...kq = |
||||
^iftq+2nlti- |
Я |
КО, |
1, |
(1-3) |
где штрих обозначает производную по £.
Величины |
определяются из осреднения |
(4.2.26): |
|
|||
|
h(§q+2nK...kq+l = (Cibq+2rri(N{mnkl..kq+iy + |
|
||||
|
+ ^ikq+2mkq+l ^тпЛ,...А^)» |
q = — 1,0, 1, |
(1.4> |
|||
Интегрируя, например, уравнения задачи Ж а (— 1) |
|
|||||
|
[Св тз ( Л ^ ) Т + |
С к * = 0, |
|
(1.5) |
||
получим |
|
|
|
|
|
|
|
С я т З (N m n k )/ = |
— |
C ftn k 4 “ A iz nk, |
(1 .6 ) |
||
где Aiznk — |
некоторые |
константы. Чтобы их |
определить, |
разре |
||
шим ( 1.6) относительно |
производных от локальных функций |
|||||
|
(Nmnk)' = Cffi3ft(— CiZnk + AiZnk), |
(1.7) |
||||
где под C^liz |
понимается элемент матрицы 3x3, обратной |
к мат |
||||
рице [С/Зтз]. |
|
|
и правую часть (1.7), то так как |
|||
Если теперь осредним левую |
||||||
получим из (1.7) |
( Л |
' ) |
= 0, |
|
(1.8) |
|
|
|
|
|
|
||
|
Д'ЗпЛ == (Озрз)- 1(Cp3q3 CqZnk)• |
(1.9) |
||||
Подставляя это выражение в (1.7), получим окончательно |
||||||
(NZkY = Сизо (СБ13) - ' {СмзСцзпь) - |
С^з'зС,ш . |
(1.10) |
Тогдатензор модулей упругости нулевого приближения(4.6Л2) имеет вид
cfjnk (£) = Cijnk(£) + |
Cijmz (£) [Cm323 (|) X |
|
х ( ^ ) - ‘ ( ( 5 ^ ) - С Й ® С ш » ( ? ) ] . |
(1.П ) |
|
а эффективный тензор модулей упругости — вид |
|
|
hiink^ {Cfjnk) = (Cijnk) + |
|
|
+ (Cijma С/пЗ/з) (С/Зрз)"-1 (CpZqiCqZnk) — (Cijm3C^zizCiZnk) • |
(1-12) |
|
Для определения локальных функций N*1* необходимо проин |
||
тегрировать (1.10) и учесть, что |
|
|
< А > |
= 0. |
(1.13) |
Тогда |
|
|
Nmnk(£) =3 Nmnk(£) = |
Dmnk(£) (Dmnk), |
(1.14) |
где |
|
|
Dmnk(£) = j* Cm3i3(ц) [(С ^ з)-1 (СрЗ^З Cq3nk) — C^nk(Л)] ^Л- |
(Ы ^) |
После этого можно переходить к решению задачи Ж а (0) и т. д., в результате чего станут известными локальные функции любого уровня и величины Ыа). Все эти величины достаточно вы числить раз и навсегда, чтобы решать любую краевую задачу упругости в перемещениях, для чего необходимо многократно ре шить задачу теории эффективного модуля Д а(^).
Заметим, что полученных соотношений (1.11), (1.12), (1.14) достаточно, чтобы решить задачу теории упругости в переме щениях (задачу А) по теории нулевого приближения. Для этого нужно знать решение этой задачи для анизотропного однород ного тела.
Упражнение 1.1. Показать, что для упругого слоистого компо
зита, каждый компонент которого является изотропным, |
|
||||
|
Ctjkl = |
А6;/бд; + [Х(б^б// + бцбjk) = |
|
||
= |
Т ( Г Г ? |
( т г к г 6"'6*''+ 6i*6" |
+ 6‘ fiik) - |
(1Л6) |
|
из (1.15) следует, что |
из 18 независимых компонент локальных |
||||
функций N отличными от нуля будут только 3 независимые ком |
|||||
поненты, причем |
|
|
|
|
|
|
Азз = |
J |
dE________ |
|
|
|
(Я + 2р)<1/(Я + 2р)> |
|
|
||
Du |
■Do. - п |
- |
а /(х + 2 ц » |
Х + 2ц •] |
(1.17) |
(J. + 2ц) < !/(*.+ 2ц)) |
dl
Яш —А —Ап —А< Е.
|Х < 1 /|Х >
Упражнение 1.2. Показать, что для композита, описанного в предыдущем упражнении, компонентами тензора модулей упруго сти нулевого приближения, отличными от нуля, являются
Сип = С2222 = |
|
я |
|
а/(я. + 2|1)) |
Я2 |
|
Я + 2р. + |
2р |
<1/(Я+2р)> |
Я + 2р |
|||
|
|
Я + |
||||
£ |
, |
___ V___________ <у/(1 _ у)) |
|
|||
1— va |
1— v |
1 (1 -f- v) (1 — 2у) \ |
|
|||
|
|
|
' |
Е (1 — v) |
/ |
|
— |
1 |
|
|
1 |
|
|
'-зззз — 1(1/(Я + |
2р))2 |
( |
(1 + у) (1 - 2 у) |
у ’ |
||
|
|
|
Е (1 — |
v) |
/ |
|
e g ,2= х |
+ - > |
- ^ |
+ .т _______ * i _ |
Я -}- 2р. (1 /(Я -f- 2р.)) |
Я-f-2р |
Ev |
(v /O -v )) |
(1.18) |
|
1— v2 |
(1 +v) ( l - 2v) |
||
|
|||
|
E(1- v ) |
|
1
Спзз = C2233 |
Я + |
2р |
(l/(X + |
2|i)> |
|
1— v |
/ (1 + v) (1 — 2v) |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
\ E (1 — v) |
^(0) |
^(0) |
_ |
(A,/(^ + 2p)> |
_ |
(v /(l-v )) |
|||
Ьззп = |
Ь3322 — |
|
, |
n ~ |
— |
v ) ( l - 2v) |
||
|
|
|
<l/(X + |
2p)> |
|
( l + |
||
|
|
|
|
|
|
|
E{ 1- v ) |
|
|
|
|
С(1212 = |
M- ==“ |
2 (1 + v ) |
’ |
||
|
io(0) |
|
y^(0) |
__ |
|
|
1 |
|
|
^1313 = |
^2323 — ■ |
|
|
2 ( 1 + v |
|||
|
|
|
|
( 1+ ) |
|
Упражнение 1.3. Показать, что для композита, описанного в упражнении 1.1, из 21-й независимой компоненты эффективного
тензора модулей упругости отличными от нуля являются только 5 независимых компонент (как для трансверсально изотропного
материала)
V i = ^ |
= <*+2^> + <w + ад>-’ ^Ь +(2рт, |
й |
г ) := |
||||
|
|
|
<у/(1 — у)>2 |
|
|
||
|
|
|
(1 + v) (1 — 2у) |
|
|
||
|
|
|
(■ |
Е(1 -v ) |
|
|
|
|
^зззз — ' |
|
|
|
1 |
|
|
|
(1/(Х + |
2|*)> |
(1 + |
у) (1 —2у) |
|
|
|
|
|
|
( |
£ ( l - v ) |
) |
|
|
h |
- h |
(W + ЗД> |
|
(v/(l —v)) |
(1.19) |
||
«118» «2288 |
< 1 /^ + 2ц)> |
|
( l + v ) ( l - 2v) |
||||
|
|
|
|
\ |
E(l — v) |
I |
|
|
^1212 —— O h m |
^1122) = (ц) = |
~ ( j |
v |
j . |
||
|
|
|
l |
|
1 |
|
|
|
^1313 — ^2323 : |
|
|
|
|
||
|
|
|
(1/p) |
|
|
|
|
Упражнение 1.4. Показать, что для слоистого упругого компо зита, каждый компонент которого является ортотропным, причем главнее оси ортотропии совпадают с осями координат, независи мых локальных функций, отличных от нуля, будет 5 и
&
|
|
|
я, |
|
|
|
Я ш = £>и8 = \ т |
|
|
|
|||
|
|
j |
i< |
/ С13 13) |
|
|
|
|
|
1^ 1313 ( 1 |
|
||
Da, г — А ш — j* |
ъ |
|
|
|
||
^2828 (I/C2323) |
|
|||||
|
|
U |
|
|||
|
|
е |
______ |
|
||
|
^883 — J' |
|
||||
|
|
|
|
|
||
|
|
С3338 (1/^8333 ) |
|
|
||
|
J L |
|
|
|
|
( 1.20) |
|
|
|
■ |
с |
]«■ |
|
|
С3333 (1/C3333) |
|
'-'3383 |
J |
||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
г |
|
|
|
С2233 |
|
г\ |
_Г Г |
(С2233/С3333) |
|
|||
822 |
i |
L Сзззз(1/Сзззз> |
|
АзЗЗ ] 4 - |
||
|
0 |
|
|
|
|
|
Упражнение 1.5. Показать, что для композита, описанного в
предыдущем упражнении, отличными от нуля компонентами тен зора модулей упругости нулевого приближения являются
|
|
|
Сцзз |
|
( (-пзз / (-зззз) |
Г* |
|
|||||
|
|
|
|
и пзз |
|
|||||||
|
|
|
+ ■ |
|
|
|
|
( I /C 3333) |
(-3333 |
|
||
|
|
|
(-3333 |
|
|
|||||||
Г (°) |
_ |
г |
|
(-2233 |
(СггЗз/^ЗЗЗз) |
Г 2 |
|
|||||
, + |
°2233 |
|
||||||||||
<■>2222 — |
|
(-3333 |
|
( 1 |
/Сзззз) |
^3333 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
W0) |
_ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
^3333 — |
( 1 |
/ Сзззз) |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
133 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
(-3333 |
|
( 1 / С ш ,) * |
|
|
|||
|
|
С22ЗЗ = |
|
С2233 |
|
|
1 |
|
|
|||
|
|
|
(l/C gsas) |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
(-3333 |
|
|
|||||
|
|
£3311 = |
(' |
Спзз |
\ |
|
' |
|
|
|||
|
|
|
|
‘ |
СЯ383 |
1 |
(W C 3333) |
|
|
|||
|
|
Сз322 = |
’ |
С2233 |
\ |
|
1 |
|
|
|||
|
|
^ |
(-3333 |
' |
( 1 /Сзззз) * |
|
|
|||||
C(10,k = C l m ^ -^ !Ja |
|
/ |
^2233 |
\ |
1 |
C1183C22S8 |
(1.21) |
|||||
|
|
|
Огазз |
|
' |
Оззз |
/ |
(1 /С 3833) |
(-3338 |
|
||
С2211 = |
С1122 + |
(-2283 |
/ |
|
Сцзз |
\ |
|
СиззСзззз |
|
|||
|
|
|
‘-3333 |
' |
(Созм-3383 |
/ |
( I /Сзззз) |
(-3338 |
|
|||
|
г (0) |
_ |
1 |
|
|
W0) |
1 |
|
|
|||
|
'-'2323 — |
О /С2323) |
^ 1313 |
( 1/С 1313) |
|
С1212 = С:
Упражнение 1.6. Показать, что для композита, описанного в упражнении 1.4, из 21-й независимой компоненты эффективного тензора модулей упругости, отличными от нуля являются 9 (т. е. это макроскопически ортотропный материал):
^1111 —(£1111) + |
1 |
,/ |
Сцзз |
\2 |
|
( I /C 3333) |
' |
Сзззз |
i |
||
|
|||||
^ 2 2 2 2 = (^22 22) "Ь (I/C3333) |
f |
С223з |
\2 |
||
^ С3333 » |
|||||
|
1 |
|
|
|
(1/Сзззз) |
^1122 — (Q m ) |
|
/ С 1133
'^3333
/С2233
\ с
1-3333
+
+ |
1 |
/ |
Сизз |
\ / |
с 2238 |
СщаСггз» \ |
||
(1/Св88з) |
' |
С3333 |
» |
' |
С3333 |
Сзззз ' |
||
|
||||||||
^1133 = |
1 |
/ |
Сизз |
\ |
• |
|
|
|
(1/С3333) |
' |
Сзззз |
' |
|
|
|||
^2233 = |
1 |
/ ’ |
С2233 |
\ |
|
|
|
|
(1 / С3333) |
\ |
Сзззз |
' |
|
|
|
||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
^1212 ~ (С.L2 1 2 ) » ^1313 |
( 1 |
/С1313) |
|
Упражнение 1.7. Показать, что для упругого слоистого двухтюмпонентного композита, каждый компонент которого является изотропным однородным материалом (рис. 16), локальные функ ции N, отличные от нуля, имеют вид
|
», |
А<24 -2fi2 — (^i + 2|ii) |
с |
|
|
||
W333-------- “ |
, о ч , „ |
7Г7* , о V |
/1 IS/» |
|
|||
|
У (^ 2 |
4" 2рг) 4~ (1 — Y) (^1 4" 2рх) |
|
|
|
||
Ли |
: ^223 — |
|
|
Х2 —^<1 |
|
•MS). |
(1.23) |
Y (^2 4- 2ц2 |
4- (1 — Y) (Л.14- 2 ^1) |
||||||
|
|
|
|
M>2— Щ |
|
■MS). |
|
^131 |
N232 — ^311 |
^822 — YM-г 4 - (1 — Y) PI |
|
||||
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
(1 — V) |
( i — y -)> если 0 < | < y , |
|
||||
fl (S) = |
|
|
|
|
|
(1.24) |
|
|
Y |
|
— g). если Y « 5 < |
1. € |
|
Пусть теперь каждый пакет слоистого композита составлен из ортотропных слоев (ось Ъ — главная ось ортотропии), причем в каждом слое s одна из главных осей ортотропии направлена под углом <р* к оси £1. Если обозначим через С0,-/*/ компоненты тензо
ра модулей упругости в главных осях ортотропии, то в выбран ных координатах £ь £2> Ез компоненты каждого слоя s будут вы ражаться через C°ijki следующим образом:
Сип = |
cos4 |
Ф5С?ц1 + sin4 |
ф5С2222 + |
2 cos2 ф5 sin2 ф5(С1122 + |
2С1212), |
|||
С2222 = |
sin4 |
ф5С1Ц1 + cos4 |
Ф5С2222 + |
2 cos2 ф5 sin2 ф5 (Cii22 + |
2C?2I2), |
|||
|
|
|
|
С33: ; |
С3333, |
|
||
|
|
С22зз — cos2 |
ф5С22зз + |
sin2 Ф5С11зз, |
|
|||
|
|
Ci 1зз = |
sin2 |
ф5С22зз + |
cos2 Ф5С11зз, |
|
||
С1122 = cos2 ф5 sin2 ф5 (Сип |
+ С2222 — 4С1212) + (cos4 ф5 + sin4 ф5) C?i22, |
|||||||
|
|
С2323 = |
COS2 ф5С232з + |
Ski2 ф8С1313, |
|
|||
|
|
С1313 = |
sin2 ф5С?з2з + |
cos2 ф5С?31з, |
(1.25) |
Cl212 = COS2 Ф5 Sin2 Фз (Сип + C2222 — 2C?122 — 2 C1212) +
+ (OOS4 ф5 + Sin4 Ф5) C1212,
Ci 112 ~ С083фз Sin Фз (Cl 111 — C?122 — 2C1212) —
— COS Фз sin3Фз (C2222 — С?122 — 2C1212), C1222 = OOS Фз Sin3 Фз (C?ill — C1122 — 2C1212) —
— COS3 Фз sin Фз (C2222 — C?122 — 2C1212),
C1233 = cos Фз ski фз (C?i33 — C2233)1 C1323 = cos ф5 sin ф5 (C1313 — C2323).
Тогда компоненты эффективного тензора модулей упругости для такого композита будут выражаться следующим образом:
&1111 = |
(С п и ) + |
(Сзззз) |
1 (СззззС1138) 2 — (СззззСнзз), |
|||||
^2222 = |
(С2222) + |
(СЗЗЗЗ) |
1 (С3333С2233)2 |
(C3333C2233), |
||||
|
|
^зззз— (Сзззз) 1, |
|
|
|
|||
|
^2233 = |
(C3333) |
(С3333С2233) , |
|
|
|
||
|
^изз = |
(Сзззз) |
1 (СззззС1133), |
|
|
|
||
^1122 = ( С 1 1 2 2 ) |
+ (C3333) |
|
(С3333С2233) (СззззСпзз) — (СззззСпззСзгЗз)» |
|||||
|
^ 1313— ( С 1 3 1 3 Л О / Д 1 , |
Л2323 = ( С 232з/ ^ ) / А 1 , |
( 1 - 2 6 ) |
|||||
|
|
|
|
|
__ |
/ |
с2 |
\ |
|
|
|
|
|
°1233 |
|||
him = Ы |
+ |
|
) 2 7 1 7 ^ 7 |
' |
Сзззз |
/ |