1464
.pdfРазделяя переменные Р и г , имеем:
|
d,P = |
АФат^* |
dv |
(28, |
XII) |
|
|
nklrfa |
г ' |
||||
Граничные условия в рассматриваемом случае радиальной филь |
||||||
трации газа следующие: при |
|
|
|
|
||
r = Rc, |
Р — Рс? |
Р = РС=Рс» |
(29, |
ХП) |
||
г = RK, |
Р =Рк, |
р = р к = р1 |
||||
|
|
|||||
где рс — давление на контуре скважины, радиус которой равен Дс; рк — давление на круговом контуре питания, причем радиус кон
тура питания равен RK.
Интегрируя уравнение (28, XII) в пределах от Рс до Рк и от Rc до RKи решая полученное уравнение относительно G, найдем формулу
весового расхода газа: |
тгА;&7ат Рк - Рс |
|||
G = |
||||
№ т |
1 |
RK |
||
|
|
In |
-=г- |
|
|
|
|
Rc |
|
или |
|
|
(30, XII) |
|
G = n k ln /ь? |
(Рк - |
Рс) |
||
|
МРаТ |
ln RK |
||
1пЖ
Приведенный к атмосферному давлению рат (и пластовой темпера туре) дебит газовой скважины получим, разделив весовой расход газд G на 7ат:
Q = |
nkb Рк - |
Рс |
(31, XII) |
РРат |
D |
||
|
1п1 |
|
|
Из формулы (31, XII) находим скорость фильтрации газа
V = Qp&r |
к P i -Р с 1 |
(32, XII) |
2'кгЪр |
2/* , Д„ П>' |
|
|
1пж |
|
где величина р дается уравнением (37, XII) или (36, XII).
Поскольку дебит газа Q, так же как и в формуле (21, IX) для дебита несжимаемой жидкости, обратно пропорционален In RКс изменение ве-
личины радиуса скважины Rc или расстояния до контура питания Дк, как и при фильтрации несжимаемой жидкости (см. § 2 главы IX), мало сказывается на величине дебита газа.
Коренное отличие формулы (31, XII) от формулы (21, IX) для де бита скважины при радиальной фильтрации несжимаемой жидкости заключается в том, что дебит газовой скважины пропорционален не разности давлений (рк - рс) называемой депрессией, а разности квадра тов давлений (р£ “ Рс)- В результате этого, как и в случае одномерного движения газа, индикаторной линией при установившейся радиальной фильтрации газа является парабола (рис. 64) с вершиной в точке В.
Обозначая
Q = Q
Рк И- Рс
2рат
и подставляя вместо Q его значение из (31, XII), получим:
Q = 2nkb (Pk - Рс)
R
R,
Формула (33, XII) полностью совпадает с формулой (21, IX) для дебита скважины при радиальной фильтрации несжимаемой жидко сти.
Решая уравнения (31, XII) и (33, XII) относительно /с, получим формулы для определения коэффициента проницаемости в условиях радиальной фильтрации газа:
PParQ 1п гу
I\Q
(34, XII)
*Ъ(р 1 - р*с) '
или
p Q l n ^
-itс
27гЬ(Рк — рс)
Для нахождения распределения давления в пласте проинтегриру ем уравнение (28, XII) в пределах от Рс до Р и от Rc до г.
г |
|
|
т |
|
|
[ г/р - |
АФат^* - Г dr |
|
|||
J |
~ |
ТгМь'Уат J |
Г ’ |
|
|
Рс |
|
Рс |
|
|
|
откуда |
|
|
|
|
|
Р = Рс + |
^ |
1п | - , |
|
||
|
|
7гЬк'у&т |
|
RQ |
|
что дает |
|
|
|
|
|
_ |
I |
РР&т@ , |
г |
(36, XII) |
|
Р = \ |
Р с + — ----- in— . |
||||
|
|
7r6fc7aT |
|
Дс ‘ |
|
Из формулы весового расхода газа (30, XII) имеем: |
|
||||
PPaxG |
PP&T Q |
р 1 |
- Рс |
|
|
ттЬк^ь |
|
irkb |
1 |
RK |
|
>пК
Подставляя это выражение в уравнение (36, ХП), получим:
Р = |
(37, XII) |
Если уравнение (28, XII) проинтегрировать по Р в пределах от Р до РК и по г от г до Дк, то
Р = |
P i -Р с |
(36', XII) |
|
in Дк |
|||
|
|
||
|
1пж |
|
Формулы (36, XII) и (37, XII) являются искомыми уравнения ми распределения давления в пласте при радиальной установившейся фильтрации газа.
Поскольку в правой части уравнений (31, XII) и (32, XII) перемен ной величиной является только координата г, при радиальной фильтра ции газов изобары имеют форму концентрических окружностей, а сле довательно, линии тока (всегда перпендикулярные изобарам) направ лены по радиусам.
Представляет существенный интерес сравнить распределение дав ления в пласте в случаях установившейся радиальной фильтрации газа и несжимаемой жидкости при одинаковых граничных условиях.
Примем для простоты величину давления на скважине рс = 0. Тогда при фильтрации газа из формулы (37, XII) имеем:
Р_ |
(38, ХП) |
|
Рк |
||
|
В случае фильтрации несжимаемой жидкости из формулы (23, IX) имеем:
_Р |
|
Л; |
|
|
(39, XII) |
Рк |
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
Д< |
|
|
|
Обозначим |
|
|
|
|
|
х _ |
JL |
100. |
|
|
|
6 |
Рк |
|
|
|
|
Так как мы приняли рс = 0, то величина S = |
Р_ |
ю о = р |
Рс •100 |
||
|
|
|
Рк |
Рк |
Рс |
показывает, какая часть (в процентах) депрессии, или действующего перепада давления (рк — рс)> теряется при движении газа в пласте на расстоянии (г —Дс), т. е. на пути от точки, удаленной от центра сква жины на расстояние г, до стенки скважины1.
j В табл. |
10 приведены значения 6, подсчитанные по форму |
лам (38, XII) |
и (39, XII), когда расстояние до контура питания RK = |
= 7500 •Дс, что при радиусе скважины Дс = 0,1 м дает Дк = 750 м. На
рис. 75 помещены кривые 6 S , построенные по данным табл. 10.
Значения <5 = |
Р-Рс |
Як |
Рк - Рс |
Rc |
в нашей статье [88].
Т а б л и ц а 10
Рс
Сравнение значений 6 = — 100 при установившейся радиальной фильтрации газов и несжимаемой жидкости
гЗначения 5~в % для
Rc |
несжимаемой |
газа |
|
жидкости |
|||
1 |
|
||
0 |
0 |
||
2 |
7,8 |
27,8 |
|
5 |
17,7 |
42,5 |
|
10 |
25,8 |
50,8 |
|
100 |
50,3 |
71,9 |
|
500 |
70,0 |
83,5 |
|
1000 |
77,1 |
87,8 |
|
5000 |
96,0 |
97,7 |
|
7500 |
100 |
100 |
Рис. 75. Сравнение кривых 6 = 6 |
при установившейся радиальной |
фильтрации газов и жидкостей по линейному закону фильтрации.
Рассмотрение табл. 10 и рис. 75 показывает следующее. При |
= |
Нс
= 2, или г —Rc = Яс, 6 = 27,8%, т. е. при радиальной установившейся фильтрации газа на расстоянии всего лишь одного радиуса скважи ны Rc от стенки скважины (при диаметре скважины D = 8" это соот ветствует 10 слс), теряется около 27,8% всего перепада давления, в то
время как на длине пути в 6500 Rc (от контура питания до точки, в которой г = 100 Яс), что соответствует длине пути в 650 м, поте ри давления составляют 28,1%, т. е. примерно столько же, сколько на ближайших к скважине 10 см. Свыше половины (50,8%) потерь дав ления приходится на однометровую призабойную зону пласта и свы ше 70% (71,9%) на десятиметровую призабойную зону.
Таким образом, характерной особенностью установившейся ради альной фильтрации газа является весьма малое падение давления вда ли от скважины и чрезвычайно резкое падение давления в непосред ственной близости от скважины. Из сравнения приведенных в табл. 10
значений 6 и помещенных на рис. 75 кривых 6 = 6 для жидко
сти и газа видно, что в призабойной зоне пласта падение давления при фильтрации газа происходит гораздо более резко, чем при фильтрации жидкости. В то время как падение давления на ближайших к сква жине 10 см пласта при фильтрации газа составляет 27,8% от величины депрессии, при фильтрации жидкости оно равно 7,8%, относительная величина падения давления газа в однометровой призабойной зоне пла ста почти в 2 раза больше, чем при фильтрации жидкости (25,8%), и т.д.
Следствием указанной характер ной особенности радиальной фильтра ции газа является близость величины средневзвешенного по объему пласта давления р к контурному давлению рк.
Для нахождения величины р вы делим на расстоянии г от скважины кольцевой элемент пласта шириною dr (рис. 76). Объем порового простран ства этого элемента равен:
dQ = 2nbmrdr. |
(40, |
XII) |
Объем порового пространства все |
||
го пласта будет: |
|
Рис. 76. К определению среднего |
п = 7Г{Rl - Rl)bm. |
(41, |
давления р в газовой залежи. |
XII) |
||
Подставляя в формулу |
(15, |
XII) значения i?, di7, р из уравне- |
ний (41, XII), (40, XII) и (37, XII), получим: |
|
|||||
|
|
Лк |
|
|
|
|
Р = |
R l - R l |
/ |
р2 + |
Рк |
Ь . in J L гсгг. |
(42, ХП) |
|
|
м |
-I |
|
||
Разделим уравнение (42, XII) на рк и введем безразмерные вели- |
||||||
чины * = |
д* = £ ; |
я ; = § ; |
е = |
g - |
|
|
Тогда уравнение (42, XII) приводится к виду: |
|
|||||
|
|
Як |
|
|
|
|
< = |
к |
1 |
' |
|
**<«* |
<«■ х п > |
|
|
|
|
|||
Проинтегрировав уравнение (43, XII) и задаваясь различными зна чениями Я* и £, получим приведенные в табл. 11 величины £2*.
Т а б л и ц а 11
v
Значения £ = — (отношение среднего давления к контурному)
в случае плоской установившейся радиальной фильтрации газа по линейному закону фильтрации
£
Дк |
|
0 |
0,1 |
0,2 |
0,3 |
0,4 |
0,5 |
0,6 |
0,7 |
0,8 |
0,9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
22025 |
(е10) |
0,9743 |
0,9746 |
0,9754 |
0,9767 |
0,9784 |
0,9808 |
0,9837 |
0,9870 |
0,9909 |
0,9952 |
2981 |
(е8) |
0,9677 |
0,9682 |
0,9690 |
0,9707 |
0,9730 |
0,9760 |
0,9798 |
0,9837 |
0,9887 |
0,9940 |
403 (е6) |
0,9564 |
0,9569 |
0,9582 |
0,9606 |
0,9636 |
0,9677 |
0,9726 |
0,9783 |
0,9848 |
0,9919 |
|
54,6 (в4) |
0,9331 |
0,9338 |
0,9360 |
0,9396 |
0,9446 |
0,9509 |
0,9584 |
0,9672 |
0,9771 |
0,9881 |
|
7,4 (е2) |
0,8683 |
— |
0,8718 |
0,8777 |
0,8899 |
0,9020 |
0,9183 |
0,9366 |
0,9587 |
0,9770 |
|
Величина £ может быть определена приближенно следующим об разом. Введем в формулу (42, XII) вместо давления р, определяемого
2Помещение здесь всех выкладок, связанных с интегрированием уравне ния (43, XII), заняло бы много места. Указанные выкладки приведены в работе Б. Б. Лапука [91].
формулой (37, XII), его значение из формулы (36, XII). Тогда
як
Р R l - R l S |
р г - - rdr- |
Яс |
'"Ж |
|
что дает
Р* R l - R l J |
1 - Р« р2° In £ rdr = |
л |
|
'я . |
\ |
|
я. — |
|
|
r ] rdr_ |
|
1 _ _PL_EL f in |
_ in |
||
= R l - R 2J |
N |
Рк ln p - |
Rc |
Rc |
|
|
|
||
|
|
Itc |
|
|
Вводя в полученное уравнение безразмерные величины £, Я* и Д*, име ем:
як |
|
|
R/ - I / |
1п й ; |
1п-=£ д м д * |
д |
Обозначим
т1 - ^ 2 1пДк
|
|
ь д : |
д * - |
|
Тогда |
|
|
|
|
|
In Д* |
Д* |
|
|
Как известно, i/l — х при |х| < 1 разлагается в ряд: |
||||
^ |
2 Х |
8 х2 |
16 х3 |
128 х4 |
Величина R* изменяется в пределах от 1 до R*. |
||||
При R* = 1 |
х = 1 - е2 < |
1, при R* > 1 |
х < 1 - £2 < 1. Таким |
|
образом во всех случаях |х| < 1, а следовательно, радикал может быть
разложен в указанный ряд. Следуя И. А. Парному3, произведем раз ложение, удержав первые два члена ряда и заменяя х его значением. Тогда:
* = |
|
|
|
1 - е 2~. |
RK \ R*dR* = |
|
||
|
|
|
|
|
21пД* |
Д* ) |
|
|
|
|
|
я ; , |
|
|
|
|
|
|
= |
2 |
[ |
Л |
+ I ± £ i |
Д*<Ш* |
|
|
|
|
Д*2 - |
1 У |
V |
21пД^ |
|
||
|
|
|
|
|||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
Выполнив интегрирование, имеем: |
|
|
||||||
? |
|
|
2 |
|
_________ L _ |
(431, XII) |
||
|
|
1 21пД* |
Д * 2 - 1 |
|
||||
или |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 - £ 2 |
|
|
|
|
(43й, XII) |
|
1 |
- £ |
= |
|
21п Д£ |
Д*2 - 1 |
|||
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
||||
Отметим, |
что величина (1 |
— £) отличается от значения (1 — £ж) |
||||||
в случае радиальной фильтрации сжимаемой жидкости, где £ж = ^ и еж = лишь на множитель, стоящий перед скобкой [см. форму-
лу (46, XI) § 2 главы XI].
На рис. 77 помещены кривые зависимости £ от е при разных вели чинах R*. Указанные кривые построены по данным табл. 11.
При рассмотрении табл. 11 и кривых, приведенных на рис. 77, сле дует иметь в виду, что в практике разработки газовых месторождений обычно R* > 500, а е > 0,5. Для этих значений R* и е величины £ настолько близки к единице, что при решении многих практических задач можно принять, что среднее давление р равно контурному дав лению Рк-
Следует отметить, что при рс = 0 (а значит и е = 0) минимальное значение £ (при Д* = 7,4) равно ~ 0, 8688, т. е. р = 0,868 рк. В случае
линейного (одномерного) движения, согласно формуле (18, XII), вели-
о
чина £ постоянна и равна |. Это указывает на существенное различие
в распределении давления при одномерной и радиальной фильтрации газов.
3 «Известия ОТН АН СССР», W* 3, 1949.
Ш$'ЧРнМ
Рцс. 77. Зависимость отношения f среднего давления р к контурному давле нию рк от величины £ при радиальном движении газа по линейному закону фильтрации.
Вращение пьезометрической кривой, определяемой уравнением (37, XII), вокруг оси скважины образует, как указывалось в § 2 гла вы IX, так называемую воронку депрессии. Назовем условно объемом воронки депрессии i?Bтот приведенный к атмосферному давлению объ ем газа, который надо извлечь из пласта, чтобы в нем установилось распределение давления, соответствующее (в данном случае) устано вившемуся радиальному движению газа. Если бы во всем пласте дав ление было одинаково и равно рк, то запас газа в нем составлял бы величину J?pK. При установившейся радиальной фильтрации запас га за в пласте равен J?p. Следовательно, объем воронки депрессии равен:
i?в = !?рк — = |
~~~Р) = |
~ О- |
(44, XII) |
Поскольку, как отмечалось выше, величина £ обычно близка к еди нице, в условиях радиальной фильтрации объем воронки депрессии весьма мал и при подсчете запасов газа в большинстве случаев им мож но пренебречь.
Взаключение настоящего параграфа отметим, что изложенные
вконце § 3 соображения об аналогии между установившимся движени ем газа в пористой среде и фильтрацией жидкости со свободной поверх ностью полностью справедливы и при радиальной фильтрации газов.