2799.Теория механизмов и механика систем машин в задачах и решениях учебно
..pdfЕсли Fik получится неравной нулю, |
то из (4.72) |
найдем величину |
||
( СС′ ): |
|
|
|
|
(СС′) = |
aiy X i − aixYi |
− M zi |
. |
(4.78) |
Fik |
|
|||
|
|
|
|
|
Если же Fik получилась равной нулю, найдем из (4.72) момент в по- |
||||
ступательной паре: |
|
|
|
|
Fik (CC′) = aiy X i − aixYi − M zi . |
(4.79) |
|||
4.10.2.4. Группа второго класса четвертого вида
На рис. 4.31 В и D – внешние поступательные кинематические пары. Внутренняя пара С является в этой группе вращательной, ее реакция обозначена Fik или в проекциях на оси Fxik , Fyik . Отрезки ai , ak отсчитываются от точек В и D, которые являются проекциями точки С на оси поступательных пар.
Рассмотрим равновесие звена i:
Fxik |
+ X i + FB cos(ϕ |
i + 90°) = 0, |
(4.80) |
|
Fyik |
+ Yi + FB sin(ϕ |
i + 90°) = 0, |
(4.81) |
|
aixYi |
− aiy X i + M zi + FB (BB′) = 0. |
(4.82) |
||
Равновесие звена К: |
|
|
|
|
−Fxik + X k + FD cos(ϕ |
k + 90°) = 0 , |
(4.83) |
||
−Fyik |
+ Yk + FD sin(ϕ |
k |
+ 90°) = 0, |
(4.84) |
akxYk |
− aky X k + M zk |
+ FD (DD′) = 0. |
(4.85) |
|
Из (4.80), (4.81) выразим Fxik , Fyik и подставим в (4.83), (4.84), получим:
X k − FB sin ϕ |
i + X i − FD sin ϕ |
k = 0, |
|
(4.86) |
||
Yk + FB cos ϕ i |
+ Yi + FD cos ϕ k |
= 0. |
|
(4.87) |
||
Обозначим: |
|
|
|
|
|
|
a11 = −sin ϕ i , |
a12 |
= −sin ϕ k , |
a21 |
= cos ϕ i |
, |
|
a22 = cos ϕ k , |
b1 = − X i − X k , |
|
= −Yi |
|
(4.88) |
|
b2 |
− Yk . |
|||||
151
Рис. 4.31. Расчет группы 24
Решаем полученную систему уравнений с двумя неизвестными:
∆ = a |
a |
− |
a |
a |
21 |
, ∆ |
F= |
b |
a − |
b |
|
a , |
||
11 |
|
22 |
21 |
|
|
B |
1 |
22 |
2 |
12 |
|
|||
∆ F = a b − a b , F = |
∆ FB , F = |
∆ FD . |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(4.89) |
||
D |
11 |
2 |
|
21 |
1 |
B |
|
|
|
D |
|
|
||
|
∆ |
|
|
|
∆ |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Далее найдем
Fxik = FB sin ϕ i − X i , Fyik = −FB cos ϕ i − Yi . |
(4.90) |
Если FB и FD получаются неравными нулю, то найдем точки их приложения:
(BB′) = |
aiy X i − aixYi − M zi |
, |
|
(4.91) |
|
|
|
||||
|
|
FB |
|
||
(DD′) = |
aky X k − akxYk − M zk |
. |
(4.92) |
||
|
|||||
|
|
FD |
|
||
Если же какая-либо из реакций FB или FD получится равной нулю, то надо искать момент в поступательной паре:
FB (BB′) = aiy X i − aixYi − M zi , |
(4.93) |
FD (DD′) = aky X k − akxYk − M zk . |
(4.94) |
152
4.10.2.5.Группа второго класса пятого вида
Вэтой группе (рис. 4.32) тоже две поступательные пары: одна внешняя D и одна внутренняя С.
Рассмотрим равновесие звена i:
FBx |
+ X i + Fik cos(ϕ i + 90°) = 0, |
(4.95) |
|
FBy + Yi + Fik sin(ϕ |
i + 90°) = 0, |
(4.96) |
|
aixYi |
− aiy X i + M zi |
+ Fik (CC′) = 0. |
(4.97) |
Рис. 4.32. Расчет группы 25
Равновесие звена К:
X k |
+ Fik cos(ϕ |
i + 270°) + FD cos(ϕ k |
+ 90°) = 0, |
(4.98) |
|||
X |
k |
+ F sin(ϕ + 270° )+ |
F sin(ϕ |
+ |
90° =) 0, |
(4.99) |
|
|
ik |
i |
D |
k |
|
|
|
akxYk − aky X k |
+ M zk + FD (DD′) − Fik (DC′) = 0. |
(4.100) |
|||||
Решаем (4.98), (4.99) как систему двух уравнений с двумя неизвестными. Обозначим:
a11 = sin ϕ i , a12 = −sin ϕ k , a21 = − cos ϕ i ,
(4.101)
a22 = cos ϕ k , b1= − X k , b2= − Yk .
153
Далее находим:
∆ = a |
a |
− a |
a |
21 |
, ∆ |
F= |
|
b |
a − |
b |
|
a , |
|
|||
11 |
22 |
21 |
|
|
ik |
1 |
22 |
2 |
12 |
|
|
|||||
∆ F = a b − a b , F = ∆ Fik , F = |
|
∆ FD . |
(4.102) |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
D |
11 |
2 |
|
21 1 |
ik |
|
|
|
|
D |
|
|
|
|
||
|
|
∆ |
|
|
|
∆ |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Найдем FBx , FBy : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
FBx = Fik sin ϕ |
i |
− X i , |
FBy |
= −Fik cos ϕ i |
− Yi . |
(4.103) |
||||||||||
Если реакция Fik получилась неравной нулю, то найдем точку ее приложения:
(СС′) = |
aiy X i − aixYi − M zi |
. |
(4.104) |
|
|||
|
Fik |
|
|
Если Fik получилась равной нулю, найдем момент в поступательной паре:
|
Fik (CC′) = aiy X i − aixYi |
− M zi . |
(4.105) |
|
Аналогично для поступательной пары D: |
|
|||
(DD′) = |
Fik Sc + Fik (CC′) + aky X k |
− akxYk − M zk |
, |
(4.106) |
FD |
|
|||
|
|
|
|
|
FD (DD′) = Fik Sc + Fik (CC′) + aky X k − akxYk − M zk . |
(4.107) |
|||
4.10.2.6. Расчет начальных звеньев
Рассмотрим начальное звено первого типа (рис. 4.33). Со стороны стойки к нему приложена реакция FA (или в проекциях FAx , FAy ). Инерци-
онная нагрузка известна, так как закон движения начального звена или задан, или найден из решения уравнения движения. Уравновешивающий момент M y тоже известен, он находится перед началом расчета из (4.46).
Нагрузка от всех групп Ассура, образующих механизм, выражена проекциями FHx , FHy . Для проверки расчета находим уравновешивающий мо-
мент M y , составляя сумму моментов относительно точки А:
M y = ay X − axY − M z − l cos ϕ FHy + l sin ϕ FHx . |
(4.108) |
154
Рис. 4.33. Расчет начальных звеньев
Если расчет реакций сделан правильно, то этот момент будет равен моменту, найденному из (4.46). Найдем реакцию со стороны стойки на начальное звено:
FAx = − X − FHx , FAy = −Y − FHy . |
(4.109) |
Рассмотрим начальное звено второго типа (см. рис. 4.33). Структурная группа присоединяется внешней поступательной парой. Реакция в этой поступательной паре может быть выражена либо силой, либо парой сил. Точку приложения реакций обозначим через Н. Для проверки расчета найдем уравновешивающий момент M y :
M y = ay X − axY − M z − FH ( AH ). |
(4.110) |
|
Реакция со стороны стойки: |
|
|
FAx |
= − X + FH sin ϕ , |
(4.111) |
FAy |
= −Y − FH cos ϕ . |
(4.112) |
4.10.2.7. Применение вспомогательных задач в силовом расчете
Изложенные алгоритмы расчета групп Ассура учитывают только собственную нагрузку на звенья этих групп и справедливы, если механизм состоит из одной группы и начального звена. Если же механизм содержит две группы Ассура и более (способ наслоения), то для каждой последующей группы необходимо учитывать еще нагрузку предыдущих групп. Покажем применение вспомогательных задач на примерах. Пусть
155
предыдущая группа присоединена вращательной парой к звену i группы второго класса первого вида (рис. 4.34). Действие отброшенной группы на звено i заменяем реакцией FH или в проекциях FHx , FHy . Собственную
нагрузку на звенья группы в этом случае не учитываем. Рассмотрим равновесие звена i:
FBx |
+ FHx |
+ Fxik |
= 0 |
(4.113) |
FBy |
+ FHy |
+ Fyik |
= 0 |
(4.114) |
ax FHy − ay FHx + li cos ϕ i Fyik − li sin ϕ i Fxik = 0. |
(4.115) |
|||
Рис. 4.34. Применение вспомогательной задачи первого типа к звену i или к звену k группы 21
Равновесие звена k: |
|
|
|
|
|
|
|
|
FDx − Fxik |
= 0 |
|
|
|
|
(4.116) |
||
FDy − Fyik |
= 0 |
|
|
|
|
(4.117) |
||
−lk cos ϕ k Fyik+ lk sinϕ k Fxik 0. |
|
|
(4.118) |
|||||
Решаем совместно (4.115), (4.118). Обозначим: |
|
|
||||||
a11 = −li |
sin ϕ i , a12 |
= li cos ϕ i , a21 = lk |
sin ϕ |
k |
, |
|||
a22 = −lk cos ϕ k , |
b1 = ay FHx − ax FHy , |
b2 = |
|
(4.119) |
||||
0. |
||||||||
В выражении (4.115) |
|
|
|
|
|
|
|
|
ax |
= a(cos ϕ |
i |
cos α − |
sin ϕ i |
sin α ); |
|
(4.120) |
|
ay |
= a(sin ϕ i |
cos α + |
cos ϕ i |
sin α |
). |
|
||
|
|
|||||||
156
Перепишем (4.115), (4.118):
a11Fxik + a12 Fyik = b1 ,
(4.121)
a21Fxik + a22 Fyik = b2 .
Сравнивая (4.59) и (4.121), заключаем, что определитель ∆ не изменился, так как коэффициенты системы остались прежними.
Свободные члены изменились, так как собственная нагрузка не учитывается.
Найдем реакции Fxik , Fyik :
∆ F = |
|
b , ∆ |
F = − |
|
F = |
∆ F |
F = |
Fyik |
|
|
a |
a b , |
xik |
, |
|
. |
|||||
|
∆ |
|||||||||
xik |
22 |
1 |
yik |
21 1 |
xik |
∆ |
yik |
|
||
|
|
|
|
|||||||
Далее найдем: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
FBx = −FHx − Fxik , FBy = −Fyik − FHy ,
(4.122)
FDx = Fxik , FDy = Fyik .
Полученные реакции будут добавочными для группы, и их нужно складывать с реакциями от собственной нагрузки. Если предыдущая группа была присоединена вращательной парой к звену К, то добавочные реакции для группы второго класса первого вида находим аналогично, но в этом случае свободные члены будут иметь вид
|
b1 = 0; b2 |
= ay FHx − ax FHy , |
(4.123) |
||
где |
|
|
|
|
|
ax |
= a(cos ϕ k |
cos α − |
sin ϕ k cos α ), |
(4.124) |
|
ay |
= a(sin ϕ k cos α + |
cos ϕ k sin α ). |
|||
|
|||||
Пусть предыдущая группа |
присоединена поступательной |
парой |
|||
к звену i группы второго класса первого вида (рис. 4.35). Действие от-
брошенной группы на звено i |
заменяем реакцией FH , точка приложения |
|
Н которой известна. |
|
|
Находим проекции силы FH на оси координат: |
|
|
FHx = FH cos(ϕ i + α + |
90° ), FHy= FH sin(ϕ i + α + 90° ). |
(4.125) |
Находим проекции отрезка ВН на оси координат:
ax |
= BH (cos ϕ k cos α − |
sin ϕ k |
cos α ), |
|
ay |
= BH (sin ϕ k cos α + |
cos ϕ |
|
(4.126) |
k sin α ). |
||||
157
Рис. 4.35. Применение вспомогательной задачи второго типа к звену i или к звену k группы 21
В дальнейшем расчет добавочных реакций не будет отличаться от только что рассмотренного. Если поступательная пара предыдущей группы присоединяется к звену К группы первого вида, то найдем проекции силы FH на оси координат:
FHx = FH cos(ϕ k + α + 90° ); FHy= FH sin(ϕ k + α + 90° ) . |
(4.127) |
Найдем проекции отрезка DH:
ax |
= DH (cos ϕ k cos α − |
sin ϕ |
k |
cos α ), |
ay |
= DH (sin ϕ k cos α + |
cos ϕ |
|
(4.128) |
k sin α ). |
||||
Расчет добавочных реакций производим так же, как и в случае присоединения вращательной кинематической пары.
Применение вспомогательных задач для других групп не отличается особой сложностью, и мы опускаем дальнейшее рассмотрение.
4.11. Последовательность силового расчета аналитическим методом
1.Вычисляем внешнею нагрузку на звенья механизма, включая инерционную нагрузку.
2.Пользуясь результатами решения задачи о скоростях и полученной внешней нагрузкой, находим недостающую внешнюю нагрузку в виде уравновешивающего момента My.
3.Разбиваем механизм на группы Ассура.
4.Рассчитываем реакции в кинематических парах групп от собственной нагрузки в произвольной последовательности.
5.Применяя вспомогательные задачи первого и второго типов, находим добавочные реакции в кинематических парах групп, начиная с предпоследней группы (учитывая порядок наслоения).
158
6.Получаем окончательные значения реакций путем суммирования добавочных реакций с реакциями от собственной нагрузки групп.
7.Рассчитываем начальное звено. В целях проверки расчета вновь подсчитываем уравновешивающий момент My.
4.11.1. Пример силового расчета
Проведем силовой расчет механизма шарнирного четырехзвенника (рис. 4.36) при следующих данных:
l = 0,929 м, |
l |
k |
= 0, 236 м, a |
i |
= 0,353 м, a |
k |
= 0,12 м, α = 0,α |
= 0, |
||||
i |
|
|
|
|
|
|
|
i |
k |
|||
m = 9, 215 кг, |
|
m = 4,130 кг, |
|
J |
si |
= 0,768 кгм2 , J |
sk |
= 0,07233 кгм2 . |
||||
i |
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
||
В результате кинематического расчета получено:
cos ϕ |
i = 0,95749, |
sin ϕ |
i = 0, 28845, cos ϕ k |
= −0,36224, |
|
sin ϕ |
k |
= 0,93209, |
ω = − |
0,83782 c−1,ω = − |
1,0206 c–1. |
|
|
i |
k |
|
|
Проекции скоростей центров масс звеньев (мс–1):
xsi 1 = 0,08631, |
ysi 1 = 0,54932, |
xsk 1 = 0,11417, |
ysk 1 = 0,04437. |
Инерционная нагрузка на звенья:
X i = 206, 2911 H, Yi = 29,7983 H, X k = 44,5603 H,
Yk = 17,8713 H, M zi = −2,8545 Hм, M zk = −3,0544 Hм.
Массой начального звена пренебрегаем, поэтому инерционная нагрузка на это звено отсутствует. Длина начального звена l = 0,03 м. Обобщенная угловая скорость ω 1= 27,75 с−1 .
Расчет механизма проведем для одного значения обобщенной координаты ϕ 1 = 0 . Найдем уравновешивающий момент M y :
M y |
= − X i |
X si 1 |
− |
|
|||
|
ω 1 |
||
|
X sk 1 |
|
|
|
Ysi 1 |
|
|
Ysk 1 |
|
|
|
ω |
i |
|
|
ω k |
X k |
|
|
− Yi |
|
− Yk |
|
− M zi |
|
− M zk |
|||||||
ω 1 |
|
|
|
|
ω 1 |
|||||||||||
|
|
ω |
1 |
ω |
1 |
ω |
|
|
1 |
|
||||||
=
= −206, 2915 |
0,08531 |
|
− 44,5603 |
0,11415 |
|
− 29,7983 |
0,54932 |
|
− 17,87134 × |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
27,75 |
|
|
|
27,75 |
|
|
27,75 |
|
|
|||
× |
0,04437 |
+ |
2,8548 −0,83782 |
− |
3,054 −1,0206 |
= − |
1, 409. |
|||||||
|
|
|||||||||||||
|
27,75 |
|
|
27,75 |
|
|
27,75 |
|
|
|
||||
Уравновешивающий момент получился со знаком минус, стало быть он направлен по часовой стрелке, т.е. против угловой скорости ω 1 .
159
Рис. 4.36. Силовой расчет механизма шарнирного четырехзвенника:
а– силовое нагружение механизма; б – силовое нагружение группы 21;
в– силовое нагружение начального звена
Под действием этого момента и внешних сил, приложенных к звеньям, механизм находится в равновесии. Выделяем группу Ассура второго класса первого вида и проводим ее расчет по алгоритму. Сначала найдем:
aix = ai cos ϕ i = 0,353 0,95749 = 0,33799; aiy = ai sin ϕ i = 0,353 0, 28845 = 0,101829;
160