2330

W1 dV .

2 v

Энергия заряженного конденсатора

Объемная плотность энергии электрического

поля

w0 E2 /2.

3.3.2.Основные типы задач и методы их решения

Тип 1. Определение емкости уединенного проводника и емкости конденсатора.

Метод решения. Использование соотношений, определяющих емкость уединенного проводника и конденсатора. При этом первоначально определяется с использованием теоремы Гаусса напряженность поля уединенного проводника или конденсатора, при сообщении им некоторого заряда q, а затем путем интегрирования

выражения El dl находится приобретаемая разность потенциалов.

Тип 2. Определение емкости системы конденсаторов, нахождение зарядов и напряжений в представленных системах.

Метод решения. Использование эквивалентных схем соединения конденсаторов. Учет потенциальности электростатического поля. Применение закона сохранения заряда и условия независимости циркуляции вектора E

2

между двумя точками поля ( E d const ).

1

161

Тип 3. Определение энергии взаимодействия точечных зарядов, энергии заряженного проводника и конденсатора, энергии поля, локализованного в заданном объеме.

Метод решения. Использование формул для энергии взаимодействия точечных зарядов, энергии заряженного конденсатора.

Интегрирование выражения для объемной плотности энергии электрического поля:

W0 E2 dV .

v2

Применение уравнения энергетического баланса.

3.3.3. Примеры решения задач Задача 1. Найти емкость шарового проводника радиусом R1 ,

окруженного примыкающим к нему слоем однородного диэлектрика с

С q/ надо мысленно зарядить данный проводник зарядом

Зная зависимость E r можно непосредственно приступить к нахождению потенциала шара. В силу различной зависимости E r интеграл разбивается на два:

б) диэлектриком, проницаемость которого зависит от расстояния r до центра конденсатора как /r, где

const.

Решение Предположим, что внутренняя обкладка конденсатора

заряжена с линейной плотностью . Используя теорему Гаусса, найдем первоначально вектор электрического смещения

D , 2 r

а затем, и напряженность электрического поля между обкладками

2 0 r

При этом разность потенциалов на конденсаторе в случае однородного диэлектрика ( const )

163

Емкость единицы длины цилиндрического конденсатора в случае а) равна

Для диэлектрика, проницаемость которого зависит от расстояния r до центра конденсатора как /r, напряженность поля между обкладками будет величиной постоянной

E . 2 0

Тогда разность потенциалов на обкладках конденсатора

равна

Задача 3. Имеется плоский конденсатор, заполненный диэлектриком, проницаемость которого линейно растет в перпендикулярном обкладкам направлении от 1 до 2 . Площадь каждой обкладки S , расстояние между ними d . Найти емкость конденсатора.

Решение У левой обкладки согласно граничному условию

Dn D ,

где q - поверхностная плотность стороннего заряда.

S

164

2

а) б) Рис.75

В первом случае конденсаторы соединены между собой параллельно (рис.74а), поэтому емкость этой системы

C C1 C2 C3 .

Во втором случае представленная эквивалентная схема (рис.74б) является симметричной, поскольку емкости всех конденсаторов одинаковы. Из симметрии следует, что потенциалы узлов 1 и 2 равны и, следовательно, узлы можно объединить. Тогда емкость системы легко определяется

Решение Введем соответствующие обозначения зарядов на

конденсаторах и узловых точек цепи (рис.76).

При решении данной задачи воспользуемся условием потенциальности электростатического поля, согласно

166

которому циркуляция вектора E между двумя точками поля не зависит от пути

2

E d const .

1

Для участка E-1-4

E= q1 q2 ;

C1 C2

для участка E-2-3

E= q1 q2 q4 . C1 C2

В то же время, согласно условию электрической нейтральности участков цепи и закона сохранения заряда в узловых точках, можно записать

q2 q3 ;

q1 q2 q4 .

Решая данную систему уравнений, найдем

Напряжение между точками А и В определим из соотношения

В завершение, поделим числитель и знаменатель этой дроби на C12 и учтем, что C2 /C1 2. В результате, получим

110

UAB 1 6 4 10(В).

167

часовой стрелке. В соответствии с теоремой о циркуляции для двух контуров, включающих ЭДС, получим

Задача 7. Вычислить энергию взаимодействия четырех одинаковых точечных зарядов q, расположенных в вершинах квадрата со стороной а.

Решение Воспользуемся формулой

W1 n qi i .

2 i 1

В данном случае qi q, i const, где -

потенциал в месте нахождения одного из зарядов, обусловленный полем всех остальных зарядов.

В соответствии с формулой для потенциала точечного заряда и принципа суперпозиции, найдем

всюду равной единице, найти собственную электрическую энергию шара и отношение энергии W1 , локализованной внутри шара, к энергии W2 в окружающем пространстве.

Решение Прежде всего, найдем с помощью теоремы Гаусса

напряженность поля внутри и вне шара

Объемная плотность энергии будет также являться функцией расстояния:

169

пространства внутри и вне шара, то нахождение полной энергии электрического поля разбивается на два интеграла

W w1dV w2dV

v1 v2

где V1 - объем пространства, занимаемый зарядом; V2 - объем остального пространства.

Объем dV следует выбрать в виде тонкого шарового слоя толщиной dr (в пределах такого объема E и w постоянны):

Задача 9. Плоский воздушный конденсатор (S=200см2 , d1=0,3см) заряжен до разности потенциалов U0 = 600

В. Определить работу, которую надо совершить, чтобы увеличить расстояние между обкладками до d2 =0,5см. Расчет произвести для двух случаев: 1) конденсатор отключен от источника; 2) конденсатор соединен с источником.

Решение Рассмотрим первый случай.

При отключении конденсатора от источника сохраняется заряд на обкладках конденсатора

170