2394

считать равномерно распределѐнной с интенсивностью q. В

левом сечении действует поперечная сила Q и изгибающий момент Mu. Поскольку в общем случае и поперечная сила, и

изгибающий момент могут изменяться вдоль оси балки, в пра-

вом сечении показаны поперечная сила Q + dQ и изгибающий момент Mu+ dMu .

Проектируя все силы, приложенные к элементу балки, на

ось y, получаем:

Q qdz Q dQ 0 ,

откуда находим

Таким образом, интенсивность распределѐнной нагрузки равна производной от поперечной силы по координате z в рас-

сматриваемом сечении.

Рис. 5.3

Приравняем далее нулю сумму моментов всех сил относи-

тельно центра тяжести правого сечения, получаем

Пренебрегая величиной второго порядка малости, находим

Следовательно, поперечная сила в некотором сечении балки равна производной от изгибающего момента по координате z.

Доказанные утверждения называют теоремами Журавско-

го.

Из этих теорем можно сделать ряд выводов о характере эпюр поперечных сил и изгибающих моментов.

Если на некотором участке балка свободна от распреде-

лѐнной нагрузки, то на этом участке поперечная сила постоян-

ная (следует из 5.1), а изгибающий момент – линейная функ-

ция координаты z, что следует из (5.2).

Если на некотором участке балка нагружена равномерно распределѐнной нагрузкой, то на этом участке поперечная сила является линейной функцией координаты z, а изгибающий момент – квадратичной функцией этой координаты. Если эпю-

ра изгибающих моментов положительна, моменты откладыва-

ются вверх от сечения, и эпюра изгибающих моментов обра-

щена своей выпуклостью в направлении, обратном направле-

нию распределѐнной нагрузки. Это следует из равенства:

qd 2 M , dz2

получаемого из (5.1), (5.2).

В точках приложения сосредоточенных сил эпюра Q пре-

терпевает скачок (разрыв) на величину этих сил, а эпюра М – перелом.

В точках приложения пар сил эпюра М претерпевает ска-

чок на величину моментов этих пар.

5.1.3. Пример Построим эпюры поперечных сил и изгибающих моментов

для балки, изображенной на рис. 5.4. Из уравнений равновесия балки находим реакции опор. Они равны Р. Пусть ось z имеет своим началом точку А и направлена вправо. На первом участ-

ке балки, т.е. при 0 z a , слева от любого сечения действует

только направленная вверх реакция опоры, равная Р, и поэто-

му на этом участке Q P, Mu P z . На втором участке балки

при a z a b слева от сечения действует направленная вверх реакция опоры и направленная вниз нагрузка Р. В силу этого получаем:

Q P P 0, Mu Pz P z a Pa.

При рассмотрении третьего участка целесообразно вы-

брать новую систему координат с осью z1, имеющей начало в точке B и направленной влево. Тогда на этом участке при

0 z1 a, Q P, Mu Pz1 . На рис. 5.4 построены графики по-

лученных уравнений. Легко увидеть соответствие построен-

ных эпюр свойствам таких эпюр, отмеченных в предыдущем параграфе.

Рис. 5.4

5.1.4. Напряжения при чистом изгибе

Как уже указывалось при чистом изгибе в поперечных се-

чениях балки возникают только изгибающие моменты. Чисто-

му изгибу подвержена рассмотренная балка на участке 2.

Легко убедиться в том, что при чистом изгибе поперечные сечения остаются плоскими (т.е. частицы, лежащие до дефор-

мации в плоскости поперечного сечения, и после деформации лежат в плоскости поперечного сечения изогнутой балки).

Действительно, среднее сечение АА (рис. 5.5) в силу симмет-

Рассмотрим элемент балки длинной (рис.5.6). При его

изгибе верхние слои материала растягиваются, а нижние сжи-

маются. Следовательно, существует слой, который при этом не удлиняется. Этот слой называется нейтральным. В дальней-

шем будем отсчитывать координату Y от нейтрального слоя.

Как следует из рис. 5.6, относительное удлинение волокна AB

равно

где - радиус кривизны оси изогнутой балки.

Поскольку поперечные сечения не искривляются, на них не действуют касательные напряжения. Если пренебречь, как это обычно делают, давлением между продольными слоями,

можно определить нормальные напряжения в поперечных се-

чениях по закону Гука, записанному для линейного напряжѐн-

ного состояния

Рис. 5.6

Поскольку в поперечных сечениях не действует нормальная сила, равнодействующая этих напряжений равна нулю

Таким образом, если ось x совмещена со следом нейтрального слоя в поперечном сечении, называемым нейтральной осью, то