Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Воронежский государственный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

2954

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

15.11.2022

Размер:

2.67 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 135 6 7 8 9 10 11 12 13 > Следующая >>>

действует сила


F	qE	q , B .	(1.83)

Эту силу называют силой Лоренца.

Выражение для магнитной составляющей силы Лоренца может быть использовано для установления физического смысла и единицы измерения магнитной индукции. Из формулы

Fì q Bsi n

следует, что индукция B равна силе, которая действует

на единичный положительный заряд, движущийся перпен-

дикулярно вектору B со скоростью, равной единице:

B	F	;	B	Í		Òë .
B		;	B		ì	Òë .
	qυx			Êë	ì

					ñ
					ñ

Единица измерения магнитной индукции называется

Тесла (Тл).

1.3.2.Закон Био-Савара-Лапласа и его применение к расчѐту магнитного поля прямого и кругового

токов

Используя выражение (1.79) для индукции поля движущегося заряда, выведем формулу для индукции поля элемента тока.

Пусть магнитное поле создается произвольным тонким проводником, по которому течет ток (рис.1.31). Выделим

элемент проводника dl. Число носителей тока в данном элементе равно

dN nSdl ,

(1.84)

где n – концентрация носителей, а S – площадь сечения проводника.

Рис.1.31

Рис.1.32

Каждый носитель тока создает в некоторой точке А,

положение которой относительно элемента dl определяется

радиус – вектором r , поле с индукцией

μ 0

(1.85)

4 π

где

- средняя скорость упорядоченного движения носи-

телей тока.

Поле, создаваемое элементом тока dl, будет равно

μ0

qnSdl

, r

(1.86)

dB BqdN

4 π

Приняв во внимание, что

jS ,

jdl

jdl,

получим закон Био - Савара - Лапласа

μ0

0Ιdlsinα

Ι d l , r

(1.87)

или dB

4π

4 πr2

где

- угол между векторами d l

r .

Вектор dB перпендикулярен плоскости, проходящей через dl и точку P, а его направление определяется правилом

правого винта.

, текущим по тонкому

Результирующее поле, созданное проводником с током , в соответствии с принципом суперпозиции находится путем

интегрирования по всем элементам тока.

Воспользуемся формулой (1.87) для расчета индукции магнитного поля прямого и кругового токов. Пусть поле в не-

которой точке А создается током

прямому проводнику длинной l (рис.1.32). Все dB в данной

точке имеют одинаковое

направление (за чертеж), поэтому

сложение векторов

dB можно заменить сложением модулей

μ 0 Ι

dlsinα

(1.88)

4 π

r 2

Учитывая, что rdα

dlsinα

и r

приведем (1.88) к

sinα

виду, удобному для интегрирования

0Ι

α 2

sinα dα .

4 πb

α1

Интегрируя в пределах от

до

2 ,

получим

μ0Ι

cosα1

cosα2 .

(1.89)

2 πb

В частности, для прямого тока бесконечной длины

( α1 0, α2 π ), получим

μ0Ι

(1.90)

2 πb

Вычислим теперь магнитное поле на оси кругового то-

ка. Вектор dB , создаваемый элементом тока Ιdl в произ-

вольной точке А, лежащей на оси OX, показан на рис.1.33.

Векторы dB от всех элементов контура буду образовывать

симметричный конический веер, поэтому результирующий

вектор B направлен вдоль оси OX.

Рис.1.33

Так как

dBx

dB sin

μ 0

Ιdl

sin

(1.91)

4 π

то

μ0 Ι

2 π R

0 2 πRΙ

dBx

sinβ

sinβ .

(1.92)

4 πr

4 π

Если учесть,

что

sinβ

то получим

окончательно индукцию B магнитного поля на оси круго-

вого тока

2 πR2Ι

(1.93)

4 π

В центре витка (x=0)

μ0

(1.94)

2 R

а для x

0 2 πR2 Ι

(1.95)

4 π

Введя понятие магнитного момента контура с током

ΙSn ,

(1.96)

где S – площадь контура, n - положительная нормаль к кон-

туру, направление которой связано с направлением тока правилом правого винта, выражение (1.95) приводится к виду

	μ	0
	μ	0	2 Pм	.	(1.97)

B
B	4 π		x 3
	4 π		x 3

Эта формула подобна формуле для напряженности поля электрического диполя на его оси, что дает основание контурный ток называть магнитным диполем. Таким образом, контур

с током в магнетизме играет ту же роль, что и электрический

диполь в электростатике, а дипольный магнитный момент Pм

является аналогом электрического момента PE .

1.3.3.Теорема Гаусса и теорема о циркуляции для магнитного поля. Поле соленоида и тороида

По аналогии с полем электростатическим, введем такие важнейшие характеристики магнитного поля, как магнитный

поток и циркуляция вектора B .

Магнитный поток сквозь произвольную поверхность S представляет собой число линий магнитной индукции, пронизывающих данную поверхность, и определяется выражением


				Φ B	B, dS			Bn dS ,	(1.98)
				0				0

где dS	ndS ,	n - единичный вектор нормали к площадке dS,

Bn - проекция вектора B на направление нормали.
В СИ магнитный поток измеряется в веберах (Вб):
		Φ	B	BS		Φ	B	1Тл м 2	1Вб
			B				B

В силу того, что линии индукции магнитного поля явля-

ются замкнутыми, число линий B , выходящих из любого объема, ограниченного замкнутой поверхностью, всегда равно числу линий, входящих в этот объем.

Следовательно, магнитный поток сквозь произвольную

замкнутую поверхность равен нулю

Φ B		Bn dS 0 .	(1.99)
	S
Данное выражение представляет собой			теорему Гаусса

для вектора B .

Перейдем теперь к определению циркуляции вектора B
	C	Bl dl ,	(1.100)
		L

где Bl - проекция вектора	на направление d l , L- произволь-

ный замкнутый контур.

Сначала вычислим циркуляцию вектора B по контуру, охватывающему прямолинейный проводник с током (рис 1.34).

Рис.1.34

Разобьем контур на элементы dl. В каждой точке контура век-

тор B направлен по касательной к окружности с центром на оси проводника и численно равен:

B			μ 0 2I
							.	(1.101)
			4π			b	.	(1.101)
Произведя замену Bl dl				Bdl B , dl B				bdα , получим
Bl dl		μ 0		2I dα .				(1.102)
Bl dl		4π		2I dα .				(1.102)
L		4π
L
При обходе контура угол α				изменяется от 0 до 2π , по-
этому
Bl dl					μ 0 I .			(1.103)
L
	45

Если ток создается системой произвольных проводников с токами Ii , то в соответствии с принципом суперпозиции, получим

	n
Bl dl	μ 0 Ii .	(1.104)
L	i 1

Таким образом, циркуляция вектора магнитной ин-

дукции поля в вакууме вдоль произвольного замкнутого контура равна произведению магнитной постоянной на алгебраическую сумму токов, охватываемых контуром.

Ток считается положительным, если его направление связано с направлением обхода контура правилом правого

винта, ток противоположного направления – отрицательным.

Тот факт, что циркуляция вектора B не равна нулю, оз-

начает, что магнитное поле не потенциально. Ему нельзя приписать скалярный потенциал, поскольку он был бы неод-

нозначным. Такое поле называют вихревым или соленои-

дальным.

Теорема о циркуляции вектора B играет в магнитостатике туже роль, что и теорема Гаусса в электростатике. При наличие определенной симметрии в распределении токов

теорема о циркуляции B оказывается весьма эффективной для расчета индукции магнитного поля. Покажем это на примере расчета магнитного поля соленоида.

Соленоид представляет собой цилиндрическую катушку, длина которой значительно больше ее диаметра. Поле внутри соленоида является однородным, а вне соленоида – неодно-

родным и очень слабым. Чем длиннее соленоид, тем меньше значение магнитной индукции вне соленоида. Для бесконечно длинного соленоида магнитное поле снаружи отсутствует

вообще.

Найдем магнитную индукцию B внутри длинного соленоида, на единицу длины которого приходиться n витков про-

водника, и по которому течет ток I . С этой целью, рассмотрим прямоугольный замкнутый контур, одна из сторон которого параллельна оси соленоида и равняется l (рис.1.35). Циркуля-


цию вектора B	по данному контору можно представить сле-
дующим образом
	2	3		4	1
Bl dl		Bl dl	Bl dl	Bl dl	Bl dl .		.
L	1	2		3	4
				Так как поле вне соленоида
			практически отсутствует и вектор
				перпендикулярен к участкам 2-
			B	перпендикулярен к участкам 2-
			3 и 4-1, то все слагаемые, кроме
			первого равны нулю. Позтому
					2
B = 0				Bl dl	Bl dl	Bl .	(1.105)
B = 0				L	1
Рис.1.35			С другой стороны,			по теореме о
			циркуляции можно написать
		Bl dl	0 I		0 nlI ,		(1.106)
Из формул (2.27) и (2.28) следует
			B	μ0 nI .			(1.107)

Полученная формула и определяет магнитное поле соленоида в вакууме.

1.3.4.Проводник и контур с током в магнитном поле. Работа по перемещению проводника и контура

стоком в магнитном поле

На движущиеся в проводнике носители тока со стороны магнитного поля действуют магнитные силы. Геометрическая сумма этих сил и обуславливает воздействие магнитного поля на проводник с током. Найдем эту силу.

Рассмотрим элемент повода длинной dl и площадью по-

перечного сечения S, находящийся в магнитном поле с индук-

цией B . Если концентрация носителей тока в проводнике n, а
их средняя скорость упорядоченного движения	, то сила

действующая на элемент тока dl определяется следующим об-

разом:

dF	Fμ dN	q υ	, B n Sdl .	(1.108)


Учитывая, что	nq	υ	j, а	jdl	jdl , получим

dF		I d l , B ,			(1.109)
где dl – вектор, направленный по току.

Направление силы	dF можно определить по правилу

векторного произведения, либо по правилу левой руки. Данная формула выражает закон Ампера, а силы, дейст-

вующие на токи в магнитном поле, называют силами Ампера. Интегрируя (1.109) по линии тока, можно найти магнитную силу, действующую на тот или иной проводник в целом. В ча-


стности, для однородного поля B и прямолинейного провод-
ника длинной l с током I, сила Ампера равна
F IBlsinα ,	(1.110)

где α - угол между направлением тока и вектора B .

Выражение (1.110) позволяет установить физический смысл и единицу измерения силовой характеристики магнит-

ного поля. Если α = π/2 , то
		B	F	B	Н	Тл	, (Тесла) (1.111)
		B	Il	B	А м	Тл	, (Тесла) (1.111)
			Il		А м
т.е. индукция
т.е. индукция	B	численно равна силе,					действующей на

единицу длинны проводника, по которому течет единичный ток и который расположен перпендикулярно направлению однородного магнитного поля.

Магнитное поле оказывает ориентирующее действие на замкнутый проводящий контур, по которому идет постоянный

ток. Найдем выражение для момента сил, действующих в однородном магнитном поле на плоский прямоугольный контур

стоком (рис.1.36). Силы F1 и F2 , приложенные к проводникам

1-2 и 3-4, численно равны и направлены в противоположные стороны, поэтому они создают пару сил, вращательный момент которой

M Fl IaBbsinα ISBsinα,

(1.112)

где S = ab - площадь контура.

Рис.1.36

Учитывая, что IS = Pм , получим

M Pм Bsinα ,

(1.113)

или в векторной форме

M	Pм , B .	(1.114)
Таким образом, магнитное поле стремится повернуть кон-

тур с током так, чтобы его магнитный момент Pм		сориентиро-

вался в направление вектора B .

Контур с током в магнитном поле обладает определенным запасом потенциальной энергии, связанной с действием вра-

щательного момента. Так, для того, чтобы угол α между век-


торами Pм и	B увеличился на dα, нужно совершить работу
против сил поля, равную
	dA Mdα Pм Bsinα dα .	(1.115)
	49

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 135 6 7 8 9 10 11 12 13 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
15.11.20222.67 Mб12947.pdf
#
15.11.20222.67 Mб02949.pdf
#
15.11.20222.67 Mб02950.pdf
#
15.11.20222.67 Mб32951.pdf
#
15.11.20222.67 Mб02952.pdf
#
15.11.20222.67 Mб62954.pdf
#
15.11.20222.68 Mб12956.pdf
#
15.11.20222.68 Mб22960.pdf
#
15.11.20222.68 Mб32961.pdf
#
15.11.20222.69 Mб32962.pdf
#
15.11.20222.69 Mб22963.pdf