3364

u u I ;

2) известен фиксированный поток 0 через поверхность (линию) разреза, т.е. ставится интегральное условие

0( u n)d 0 ,

при одновременном выполнении условия скачка u u const (точное значение этого скачка заранее неиз-

вестно; оно определится после решения задачи).

Разрез проводится так, чтобы из двусвязной область превратилась в односвязную. В двумерных задачах он, как правило, соединяет сверхпроводник и внешнюю границу расчетной области (рис. 4.12). В осесимметричных задачах наиболее естественным представляется проведение линии разреза от сверхпроводника к оси z (в этом случае разрез будет закрывать отверстие сверхпроводящего кольца).

Приведенная постановка задачи обобщается на любое число токонесущих сверхпроводников, при этом к каждому из них проводится свой разрез с соответствующим значением ли-

бо Ii, либо 0i.

Замечание. При решении рассматриваемых здесь задач необходимо помнить, что при наличии граничных условий только Неймана (а это наиболее частый случай) все ограничения на потенциал формулируются относительно разности его значений (проверьте!). Это означает, что скалярный магнитный потенциал определяется с точностью до константы. Метод конечных элементов не приемлет такой неоднозначности, поэтому, чтобы ее исключить, необходимо задать вполне кон-

141

(см. рис. 4.13). Положить R2/R1 =3.

Рис. 4.13

Порядок решения:

1)Запустить pre2d.exe. Ввести новый номер задачи.

2)Ввод четвертой части геометрии области:

–ввести узлы с координатами (0,0), (1,0), (0,1), (3,0), (0,3);

–ввести линию как дугу окружности, соединяя узлы 2 и 3, относительно центра 1; аналогично ввести линию, соединяющую узлы 4 и 5 по окружности с тем же центром;

–ввести четырехугольную зону по линиям 1 и 2.

3)Получить всю область, дважды применяя операцию зеркального отображения: первый раз отобразить зону 1 относительно оси 1–3, а второй раз – зоны 1 и 2 относительно оси 7–4.

4)Ввести разрез и скачок потенциала на нем. Линией разреза может быть любая линия, «разрезающая» область в радиальном направлении, например, линия 4.

«Файл» «Граничные условия» «Разрез» [4,1,9] <Enter>

5)Произвести разбиение зон, определяя числа деления в любой зоне как 45 и 30.

6)Проверить,что задано действительно уравнение Лапласа.

7)Задать условие u=0 в каком-либо узле сети, не лежащем на разрезе (таким узлом, например, является узел 2000):

«Файл» «Граничные условия» «Условие в узле сети»[2000,0].

8)Выйти из программы pre2d и, следуя стандартной схеме, запустить последовательно программы appl_fem, difeqt, post2d.

9)Как обычно, отобразив в программе post2d картину поля, вывести затем значения напряженности поля в радиальном

142

направлении, определить энергию поля. Сравнить результаты с аналитическими формулами:

10) Вычислить силу, действующую на провод. Для этого следует предварительно пометить линии, лежащие на границе провода (F7), а затем войти в меню «Вычислить» и выбрать «Найти силу».

Модификации. На основе введенной геометрии путем несложных изменений легко получить решения следующих задач.

а) Смещенный круглый провод внутри цилиндрической полости (рис. 4.14).

Примерные шаги: загрузив предыдущую задачу в режиме «Данные для автоматического разбиения», выбрать операцию «Параллельный перенос» «Линии»[список линий:] <Enter> [вектор переноса: 0.8,0] <Enter>, удалить лишние узлы/лини и, затем разбить на конечные элементы по типу предыдущей задачи и далее – по стандартной схеме (внимание: условие в узле сети не сохраняется, его необходимо снова вводить!).

Загрузка задачи в режиме «Только геометрия» предполагает после выполнения операции сдвига или параллельного переноса линий, составляющих границу провода, проведения нового разбиения зон (что при большом смещении может оказаться оправданным).

б) Провод в виде кольца круглого сечения (тор) внутри тороидальной полости (рис. 4.15).

ОО

z

Рис. 4.14 Рис. 4.15

143

Предположим, что радиус тора равен R (очевидно, R>R2). Если центр сечения O рассмотренной в примере задачи совпадает с началом координат, то, смещая всю область вверх на R единиц, получим требуемую геометрию задачи. Под координатами (x, y) при этом соответственно понимаем (z, r) цилиндрической системы. Задача теперь формулируется как осесимметричная: вращая область вокруг оси z, получим нужные пространственные объекты.

Пусть R=4,5. Примерные действия: загрузить одну из рассмотренных здесь плоских задач (смещенный или несмещенный провод внутри полости) в режиме «Данные для автоматического разбиения»; выбрать операцию «Сдвиг» «Зо-

ны» [список зон; перечислить все зоны:1,2,3,4] <Enter> [век-

тор сдвига: 4.5,0] <Enter>; разбить на конечные элементы по типу предыдущей задачи <Ctrl+F8>. Далее – по стандартной схеме (внимание: условие в узле сети не сохраняется, его необходимо снова вводить!).

Задания

23. Плоские задачи.

Бесконечный провод внутри бесконечной полости. Расчеты провести в зависимости от расстояния .

144

z

145

3) Кольцо над плоскостью

25. Найти стационарное распределение магнитного поля в двумернойобласти,представленнойна рис.15, если через сверхпроводники (подобласти 1 и 2) протекают токи I1 и I2. На внешней границе области использовать однородное условие Неймана.

26. Для представленных ниже конфигураций найти распределение магнитостатического поля, построить эквипотенциальные кривые и графики изменения напряженности поля вдоль нескольких линий. Использовать формулировку задачи как с заданными токами, задавая на линиях разреза соответствующие скачки скалярного потенциала, так и с заданными потоками. Вычислить энергию, индуктивности и взаимоиндуктивности. Определить силы, действующие на сверхпроводники.

Моделирование указанных токонесущих сверхпроводников провести как для открытого, так и для и закрытого объема.

Указание. Размеры сверхпроводников задавать приближенно, сохраняя конфигурацию и масштаб рисунка. В случае затруднений обращаться к преподавателю.

146

4.7. Краевые задачи для уравнения Лондонов

Для описания проникновения магнитного поля в сверхпроводник воспользуемся моделью Ф. и Г. Лондонов, согласно которой магнитное поле внутри сверхпроводящего образца описывается уравнением

B 2LrotrotB 0,

где L – так называемая лондоновская глубина проникновения

– имеет размерность длины. В случае трансляционной симметрии (плоскопараллельное поле B 0, 0, B(x, y) ) данное уравнение приобретает скалярную форму

Для некоторых задач уравнение Лондонов удобно переформулировать относительно векторного магнитного потен-

циала A (B rot A). Тогда для плоскопараллельного поля

A 0, 0, A(x, y) внутри сверхпроводника требуется решить уравнение

2 A 2 A 1 A 0.x2 y2 2L

В осесимметричных задачах векторный потенциал направлен вдоль азимутального направления , компоненты Ar и Az равны нулю. Для расчета поля целесообразно ввести новую переменную – функцию потока – 2 rA , которая удовле-

творяет уравнению

Пример 10. Найти распределение магнитного поля внутри бесконечного сверхпроводящего цилиндра, помещенного в однородное внешнее поле Вe, параллельное его оси.

149

Задания

27. Для следующих сверхпроводниковых областей найти распределение поля B с учетом лондоновского проникновения.

Указание. В заданиях 4) и 5) использовать следующую формулировку:

2B= (1/ 2)B в сверхпроводнике,2B= 0 в воздухе;

В = Ве на внешней границе сверхпроводника.

150