3865

подхода для анализа инвестиционного портфеля.

Пусть рынок ЦБ представлен двумя активами А(0,1;0,1) и В(0,2;0,3) с коэффициентом корреляции взаимных доходностей rАВ =0,5. Функция полезности

портфеля инвестора имеет вид: U(s ,r)=0,6r – r2 -s 2 .

Необходимо найти параметры оптимального инвестиционного портфеля. Параметрические уравнения расчета доходности и риска, допустимых

портфелей П= tA+(1-t)B, с учетом (2.3) и (2.4), будут иметь вид

Если приравнять полученное выражение к выражению для расчетана клона к множеству допустимых портфелей, получим

Так как искомая линия уровня не только имеет наклонk, но и проходит

)

через точку П , то согласно (2.5) r=0,3-0,2t. Если подставить это выражение для r в предыдущую формулу, получим t=3/7. Следовательно, П=3А/7+4В/7,

rП » 0,141, sП » 0,214 .

Алгоритм геометрического определения оптимального портфеля на основе модели Марковица не позволяет определить структуру используемых -фи нансовых ресурсов в портфеле(доли ЦБ, входящие в оптимальный портфель). Для этих целей целесообразно использовать аналитический метод.

61

2.2.1. Постановка задачи определения долей ценных бумаг в оптимальном портфеле Марковица

Пусть vi, i=1,…,n есть доля ЦБ Аi в произвольном портфелеП: П=v1A1+…+vnAn. Основные параметры портфеля определяются в соответствии с выражениями (2.3) и (2.4).

Необходимо выбрать доли v1+…+vn таким образом, чтобы значение функции U для результирующего портфеля П=(sП , rП ) было максимальным:

Условие (2.8) показывает, что доли в сумме должны составлять единицу, а условие (2.9) говорит о том, что ЦБ нельзя брать взаймы и давать в долг. Применительно к безрисковой бумаге условие vi ³ 0 не учитывается.

Данная задача (2.7) – (2.9) определения условного экстремума решается известными методами математического анализа(например, методом множителей Лагранжа, сводящим задачу на условный экстремум к задаче на безуслов-

ный экстремум). Для получения конкретных результатов важно знать вид функции полезности. Наименее сложна задача определения портфеля с заданной доходностью и минимизацией риска. Доли риска в данном случае будут определяться в соответствии с выражением

Рассмотрим демонстрационный пример определения долей облигаций в инвестиционном портфеле.

Дано: сформирован оптимальный портфель, состоящий из облигаций трех эмитентов: Авангард, ВТБ, Газпром. Число временных интервалов наблюдения равно 3. Доходности облигаций в заданных временных интервалах наблюдения распределены следующим образом: Авангард: 0,175; 0,169; 0,178;

ВТБ - 0,189; 0,195; 0,197; Газпром - 0,167; 0,171; 0,163.

Найти: доли облигаций в портфеле.

Решение. Среднее значение доходностей облигаций найдем по формуле

(2.3):

r1 = 0,175 + 0,169 + 0,178 = 0,174 , 3

62

Общая доходность портфеля, рассчитываемая по формуле (2.3), составит:

é41,79ù

mp = [0,174 0,193(6) 0,167] ´ êê 8,96 úú =17,23 % .

ê49,25ú

ë û

2.2.2. Алгоритм определения долей ценных бумаг в оптимальном портфеле Марковица

Блок-схема обобщенного алгоритма реализации модели Марковица представлена на рис. 2.4 [152].

Блоки 1, 10 реализуют начало и конец алгоритма.

Блок 2 используется для ввода ряда исходных данных: типа облигаций; временных интервалов наблюдений; доходности облигаций к погашению.

63

В блоке 3 реализован расчет математического ожидания доходностей облигаций. Расчет ведется по формуле

где rit – эффективная доходность i-й облигации в период времениt; t – номер периода диапазона накопления информации; T – длительность периода накопления информации.

Блок 4 обеспечивает проверку условия определения математического ожидания доходностей для всех типов облигаций. Если условие выполнено, то управление передается в блок 5. В противном случае управление передается в блок 3.

1

Рис. 2.4. Блок-схема обобщенного алгоритма реализации модели Марковица

Блок 5 рассчитывает матрицу ковариаций доходностей облигаций. Ковариация между эффективными доходностями i-й и j-й облигаций (sij)

определяется по формуле

где rit и rjt – эффективные доходности соответственно i-й и j-й облигации в период времени t, %; ri и rj – соответственно математические ожидания эффективных доходностей i-й и j-й облигации.

В блоке 6 проверяется условие перебора всех пар облигаций. Если условие выполнено, то управление передается в блок7. В противном случае управ-

64

ление передается в блок 5.

В блоке 7 определяется обратная ковариационная матрица. В блоке 8 реализовано определение долей облигаций в портфеле по формуле

матрица; e - единичный вектор; e- транспонированный единичный вектор. Кроме того, в данном блоке определяется доходность портфеля по формуле

долей облигаций в портфеле; N - количество облигаций в портфеле; mp - доходность портфеля.

Блок 9 обеспечивает вывод результирующей информации.

2.2.3. Программная реализация определения долей ценных бумаг в оптимальном портфеле Марковица

Реализация задачи определения долей ценных бумаг, входящих в оптимальный портфель Марковица, представлена в виде программного модуля, включенного в состав СППИР [145, 152]. В качестве среды разработки модуля использована объектно–ориентированная среда разработки Delphi 7.0. Обоснование выбора данной среды представлено в [4].

Экранная форма расчета долей ценных бумаг, входящих в оптимальный портфель Марковица, приведена на рис. 2.5.

Рис. 2.5. Вид экранной формы расчета долей ценных бумаг, входящих в оптимальный портфель Марковица

Верхняя часть экранной формы предназначена для ввода исходных данных для расчета. В левой верхней части экранной формы находится окно со списком ценных бумаг (облигаций), которые могут быть включены в состав портфеля. Рядом находится окно, в котором отображаются выбранные облига-

65

ции. В средней части экранной формы находится окно«Доходность к погашению». В правой части формы размещены два окна, в которых задаются количество типов ЦБ (облигаций) и количество рассматриваемых временных интервалов соответственно. Они заполняются на начальном этапе работы с програмным модулем. Затем осуществляется выбор конкретных ЦБ (облигаций). После выбора необходимой облигации пользователь нажимает правую кнопку мыши.

Появляется кнопка «Добавить». Нажатием данной кнопки соответствующая ЦБ перемещается в окно«Выбранные облигации». Далее необходимо ввести требуемые периоды наблюдения за доходностями облигаций. Соответствующие окна ввода размещены снизу окна«Выбранные облигации». Кнопки «Сброс» и «Принять», размещенные справа от этого окна, обеспечивают соответственно удаление или принятие списка выбранных ЦБ. Перечень выбранных (принятых) ЦБ и их доходность за выбранные периоды отобразится в окне «Доходность к погашению», размещенном в правой верхней части экранной формы. Значения доходности облигаций могут корректироваться и вводиться с клавиатуры.

В нижней части экранной формы отображаются результаты расчета. Они появляются после ввода исходных данных (заполнения верхней части экранной формы) и нажатия кнопки «Расчет». В состав результатов расчета включены доходность портфеля и процентные соотношения выбранных ЦБ в виде соответствующих весов.

Кроме того, на данной экранной форме имеются кнопки«Справка» и «Выход». Нажатие кнопки «Выход» обеспечивает возврат на главную форму СППИР. При нажатии на кнопку«Справка» появляется соответствующая экранная форма, в которой отражаются основные сведения об используемой модели. Вид экранной формы «Справка» приведен на рис. 2.6.

Рис. 2.6. Вид экранной формы «Справка» для модели Марковица

66

2.3. Одноиндексная модель Шарпа

Одноиндексная модель Шарпа находит широкое практическое применение среди инвесторов, управляющих портфелями ценных бумаг.

Вотличие от модели Марковица в ней не требуется выполнение сложной процедуры определения взаимной ковариации(и корреляции) выбранной ценной бумаги (ЦБ) со всеми остальными ЦБ. Достаточно определить, как каждая ЦБ соотносится с фондовым индексом(RTSI, RBCC и др.). Поэтому простота проведения инженерных расчетов является одним из безусловных достоинств данной модели [209]. В отличие от мультииндексной модели Марковица, модель Шарпа называют диагональной или одноиндексной моделью.

Врамках модели Шарпа доходность портфеля ЦБ представляется как среднее взвешенное значение показателей доходности ценных бумаг, его составляющих, с учетом b - риска. Она определяется в соответствии с выражением [62, 209]:

где sm - среднее квадратическое отклонение доходности рынка в целом, т. е. показатель риска рынка в целом; bi ,sei - b - риск и остаточный риск i - й ценной бумаги; Wi – вес i - й ценной бумаги.

Постановка задачи определения долей ценных бумаг, в оптимальном портфеле Шарпа может быть сформулирована следующим образом.

2.3.1.Постановка задачи определения долей ценных бумаг

воптимальном портфеле Шарпа

Пусть vi, i=1,…,n есть доля ЦБ Аi в произвольном портфелеП: П=v1A1+…+vnAn. Основные параметры портфеля определяются в соответствии с выражениями (2.15) и (2.16).

Необходимо выбрать доли v1+…+vn таким образом, чтобы значение функции доходности R для результирующего портфеля П=(sП , rП ) было максимальным для значения риска, не превышающего заданное значение, то есть:

При реализации модели Шарпа использованы следующие ограничения и формулы.

1. В качестве безрисковой ставки доходностиR f принята доход-

ность государственных ценных бумаг(облигаций внутреннего государственного займа).

2. В качестве доходности рынка ценных бумаг в целом в период t используются фондовые индексы. Среднее значение доходности ценных бумаг, составляющих рынок, за период t рассчитывается в соответствии с выражением [57]

N årit

где rmt - доходность рынка ценных бумаг в период t; i-й ценной бумаги за период t.

3. b -риск ценной бумаги, рассчитывается по формуле [57]

t; T - рассматриваемое количество периодов времени.

4. Избыточная доходность ценной бумаги рассчитывается по формуле [209]:

Рассмотрим контрольный пример. Исходными данными (табл. 2.2) являются еженедельные котировки ЦБ (акций) шести компаний за периоды.

Доходность рынка в целом принималась на основании экспертных оценок ввиду отсутствия данных из внешних источников.

68

Таблица 2.2

Исходные данные о доходности ценных бумаг

В качестве безрисковой доходности R f принималась приведенная к не-

дельному сроку доходность трехмесячных государственных краткосрочных облигаций. Данные о доходности рынка в целом и о безрисковой доходности представлены в табл. 2.3.

Таблица 2.3 Данные о доходности рынка в целом и о безрисковой доходности

Рассчитанные характеристики ЦБ ( b - риск, избыточная доходность ai и остаточный риск si ) представлены в табл. 2.4.

Таблица 2.4 Значения основных характеристик ценных бумаг

При проведении расчетов учитывалось, что: требуемая доходность портфеля Rpt =4 %, допустимый риск портфеля spt =8 %, прогнозируемая безрисковая доходность R f =1 %, ожидаемая доходность фондового рынка Rp =3,5 %.

При проведении оптимизации решалась прямая задача(обеспечение максимальной доходности при заданном уровне риска) и обратная (обеспечение минимального риска для требуемой доходности).

Модель Шарпа обладает недостатком упреждения, который призвана парировать нейромодифированная одноиндексная модель Шарпа.

Результаты оптимизации структуры фондового портфеля применительно к акциям 6 типов представлены в табл. 2.5.

Таблица 2.5 Результаты оптимизации портфеля на основе модели Шарпа

2.3.2.Алгоритм определения долей ценных бумаг

воптимальном портфеле Шарпа

Врамках алгоритма выполняются следующие действия [53]:

Шаг 1. Выбор М ценных бумаг, из которых формируется портфель, и оп-

70