219-2 No.1-Р

Рейтинговое задание No.1-Р

Задача 1.

1. Обозначим механизмы A, B и С как p, q и s соответственно.

2. Приведём посылки к формализованному виду:

2.1. ¬(p&q)

2.2. p→s

2.3. q⊻s

3. Построим общую таблицу истинности:

Табл. 1. Общая таблица истинности

№	p	q	s	¬p	p&q	¬(p&q)	p→s	q⊻s
1	1	1	1	0	1	0	1	0
2	0	1	1	1	0	1	1	0
3	1	0	1	0	0	1	1	1
4	0	0	1	1	0	1	1	1
5	1	1	0	0	1	0	0	1
6	0	1	0	1	0	1	1	1
7	1	0	0	0	0	1	0	0
8	0	0	0	1	0	1	1	0

4. Ответим на вопросы задания.

4.1. Возможно ли существование устройства, обладающего всеми тремя свойствами?

Для существования такого устройства необходимо, чтобы все три высказывания одновременно принимали значение 1 (быть совместимыми по истине). Это верно для строк 3, 4 и 6 табл.1. Следовательно, существование такого устройства возможно.

4.2. Возможно ли существование устройства, не обладающего ни одним из свойств?

Для того, чтобы такое устройство существовало, все посылки должны одновременно принимать значение 0 (быть совместимыми по ложности). Такое условие в табл.1 не соблюдается. Следовательно, существование такого устройства невозможно.

4.3. Имеется ли среди перечисленных свойств такое, наличие которого обусловлено наличием двух других свойств?

а) Для того, чтобы одно наличие одного свойства было обусловлено наличием двух других, между соответствующими им формулами должны существовать отношения подчинения, причём, отношения следования должны существовать сразу с двумя посылками, то есть - (A&B)⊢С, или эквивалентности. Таким образом, для ответа на вопрос необходимо провести выявление типов логических отношений между высказываниями.

б) Определим основные типы логических отношений между высказываниями в следующей таблице:

Табл.2.1. Основные типы логических отношений

№	Соотношение формул	Ответ	Пример
¬(p&q) // p→s
1	Обе формулы истинны	ДА	2, 3, 4, 6, 8
2	Обе формулы ложны	ДА	5
3	¬(p&q) – ложная, p→s – истинная	ДА	1
4	¬(p&q) – истинная, p→s – ложная	ДА	7
¬(p&q) // q⊻s
1	Обе формулы истинны	ДА	3, 4, 6
2	Обе формулы ложны	ДА	1
3	¬(p&q) – ложная, q⊻s – истинная	ДА	5
4	¬(p&q) – истинная, q⊻s – ложная	ДА	2, 7, 8
p→s // q⊻s
1	Обе формулы истинны	ДА	3, 4, 6
2	Обе формулы ложны	ДА	7
3	p→s – ложная, q⊻s – истинная	ДА	5
4	p→s – истинная, q⊻s – ложная	ДА	1, 2, 8

г) Из таблицы очевидно, что высказывания находятся в отношениях независимости между собой. Следовательно, такого свойства среди перечисленных нет.

Задача 2.

Есть ли формулы, которые находятся сразу в нескольких логических отношениях друг с другом? Ответ обосновать.

Нет, две формулы не могут находиться друг с другом в нескольких логических отношениях.

Рассмотрим возможность наличия тех или иных логических отношений через использование четырех тестов основных логических отношений.

(отрицания в таблице ниже обозначены восклицательным знаком)

No	Соотношение формул
1	Обе формулы истинны
2	Обе формулы ложны
3	Первая формула ложная, вторая – истинная
4	Первая формула истинная, вторая – ложная
1, !2 – субконтрарность. !1, 2 – контрарность !1, !2 — противоречие !3, !4 – эквивалентность 3 – подчинение 4 – подчинение 2, 5 — независимость

Наличие одновременных отношений субконтрарности, контрарности и противоречия в любой из комбинаций является невозможным ­, так как ответ на один вопрос всегда будет различаться (субконтрарность запрещает одновременную ложность, которая нужна для контрарности, противоречие запрещает одновременную истинность и т.д.).

Невозможность сочетания нескольких логических отношений обуславливается их свойствами. Так, общеутвердительному суждению можно построить контрарное (противоположное) – «Все S это P – Ни одно S это не P». Оба суждения, при всем при этом, будут являться общими, различие между ними будет проистекать в свойстве утвердительности/отрицательности суждений. Таким образом можно вывести правило – Если некоторое A является общим суждением, то к нему можно построить контрарное высказывание, которое также будет общим, но будет отличаться по предмету утвердительности.

«Все Пети врут» – «Ни один Петя не врет».

То же справедливо и для субконтрарности – к частному суждению можно построить субконтрарное (частично совместимое), которое также будет являться частным. Из этого следует, что невозможно совместить отношения субконтрарности и контрарности в силу того, что контрарные высказывания всегда являются общими.

Отношения противоречия (контрадиктности) строятся сходим образом. Контрадиктное суждение – такое, которое является отрицанием другого. Соответственно, чтобы построить отрицание к общеутвердительному суждению (Все Пети врут) нам достаточно сказать, что «Некоторые Пети (хотя бы один Петя) врут». При этом, для отрицания частного суждения необходимо, чтобы все множество элементов было отрицаемо, потому что даже один истинный элемент множества будет означать, что частное высказывание истинно. Следовательно, отрицанием к «Некоторые Пети лгут» будет «Ни один Петя не лжет».

Отношения подчинения строятся между общим и частным суждениями, причем, частное всегда следует из общего. Важным элементом здесь является общее свойство утвердительности (или отрицательности) суждений. К примеру, из суждения «Все Пети лгут» всегда следует, что «Некоторые Пети точно лгут».

Последнее отношение среди сравнимых суждений — это (эквивалентность) тождественность. Тождественность предполагают, что суждения имеют одинаковое смысловое значение. Из этого следует, что они будут совпадать и по общности/частности, и по утвердительности/отрицательности. При этом, важно отметить, что эквивалентность также характеризуется отношениями подчинения, которые, однако, направлены на суждение, совпадающее с начальным по свойствам утвердительности и общности.

Каждое из отношений предполагает свой набор свойств общности и утвердительности. Если обозначить общность как A, а утвердительность как B, то можно построить следующую схематическую таблицу (отрицание обозначено как воскл.знак):

Контрарность	A и !B / только общие
Субконтрарность	A и !B / только частные
Подчинение	!A и B
Противоречие	!A и !B
Тождественность	A и B

Более наглядно это может быть продемонстрировано в рамках логического квадрата, где каждая из линий выражает тип логических отношений. Наличие сразу двух видов отношений требовало бы наличия двух разноименных линий между двумя высказываниями.

Особняком стоят логические отношения независимости. Они сходны с эквивалентностью в совместимости суждений по истинности и по ложности, однако, отличаются от них тем, что отношения следования (т.е. подчинения) между ними не возникают, а следовательно они могут сочетаться с другими логическими отношениями не более, чем эквивалентность, а с эквивалентностью не могут сочетаться в силу отсутствия отношений следования.

Таким образом остается лишь в заключении повторить, что одновременное наличие двух логических отношений между парой суждений является невозможным.