Группа 1(1–11)

1. Понятие числового ряда и сходимости ряда

Пусть дана бесконечная последовательность U1, U2, U3, …, Un, …

Тогда выражение U1+U2+U3+…+Un+… – называется рядом, а U1, U2, U3, …, Un, … - члены ряда.

Выражение для Un при произвольном n – общий член

Сходимость.

Пусть дан ряд U1+U2+U3+…+Un+…, тогда Sn – частичная сумма ряда Sn=U1+U2+…+Un.

Последовательность сумм S1=U1; S2=U1+U2; Sn=U1+U2+…+Un.

Если при n существует предел последовательности частичных сумм членов , то ряд сходится, а S – сумма ряда.

Если последовательность Sn не стремится к пределу, то ряд расходится:

1. Если Sn

2. Если Sn – колеблющаяся

Разность между суммой ряда S и его n-ой частичной суммой – остаток ряда Rn

2. Простейшие свойства сходящихся рядов. Гармонический ряд

1. Если U1+U2+U3+…+Un+…=S сх-ся, то λU1+λU2+λU3+…+λUn+…=λS, тоже сх-ся

2. Если S’= U1+U2+U3+…+Un+… и S’’=V1+V2+V3+…+Vn+… сх-ся, то (U1+V1) + (U2+V2) + (U3+V3) +…+(Un+Vn) +…=(S’+S’’) сх-ся (так же для ряда с минусом)

3. Если ряд сходится, то сходится и ряд полученный из данного, путём приписывания или отбрасывания конечного числа его членов.

4. ряд – сх-ся, то последовательность Rn = является бесконечно малой.

Гармонический ряд

1+

3. Необходимый признак сх-ти

1. Для сх-ти ряда необходимо, чтобы

Д-во: Sn=U1+U2+…+Un=Sn-1 + Un; если ряд сх-ся, то , тогда

2. Достаточный признак расх-ти. Если , ряд рас-ся

4. Абсолютная и условная сх-ть ряда

Рассмотрим ряд, члены которого могут иметь любой знак

Ряд называется абсолютно сх-мся., если сх-ся ряд

Ряд называется условно сх-мся, если этот сх-ся, а соотв. ряд из модулей – расх-ся.

Примеры:

абсолютно сходящийся при α>1

условно сходящийся при α≤1

5. Бесконечные произведения (БП). Необходимое условие сходимости бесконечного произведения.

Пусть U1, U2, U3, …, Uk, … бесконечная последовательность, тогда выражение вида:

U1*U2*U3*…*Uk*…= – бесконечное числовое произведение, Uk – члены данного произведения.

Частичным произведением ряда называют произведение его k членов: Pk

Бесконечное произведение явл-ся сх-мся, если последовательность частичных произведений Pk имеет конечный предел P, причём

(P значение БП)

Для сходимости бесконечного произведение необходимым условием является, чтобы Uk , при k

Док-во: пусть сх-ся к P, тогда , поскольку , то существует и

6. Связь сходимости бесконечных произведений и рядов.

БП с положительными членами явл-ся сх-мся тогда и только тогда, когда сх-ся числовой ряд:

, при этом сумма ряда S и значение P БП связаны

Док-во:

Sn=

7. Понятие функциональной последовательности и функционального ряда.

Последовательность функций f1(x), f2(x), f3(x), …, fn(x), …, где x ϵ X, т. е. каждому n ϵ N ставится в соответствии по определённому закону функция fn(x).

Множество «занумерованных» функций называется функциональной последовательностью.

Сумма членов функциональной последовательности называется функциональным рядом:

, где fn(x) – фун-ии, опред. на некотором множестве X. X – область сходимости ряда.

8. Понятие степенного ряда (СР). Условие абсолютной сходимости степенного ряда.

Степенным рядом называется функциональный ряд вида

где a0, a1, …, an, … постоянные, коэффициенты степенного ряда.

чаще всего СР рассматривают при

Всякий СР сх-ся в точке x=0

Условие абс. сх-ти:

Если СР сх-ся в точке x = x0 ≠ 0, то он сх-ся абсолютно для любого x, удовлетворяющего условию |x|<|x0|, т.е. в интервале (-|x0|, |x0|)

9. Радиус сходимости, интервал сходимости и область сходимости степенного ряда.

Радиусом сх-ти СР называется такое число R, что для любого x: |x|<R, СР сх-ся, а для всех x, |x|>R рас-ся.

Интервал (-R, R) называется интервалом (областью) сх-ти ряда.

Для области сх-ти возможно три случая

1. Обл. сх-ти – одна точка x=0, ряд рас-ся для любых x, кроме x=0 Пример:

2. Обл. сх-ти состоит из всех точек оси Ox (-∞;+∞). Пример:

3. Обл. сх-ти имеет больше одной точки, но также имеются те, которые не входят в обл. сх-ти. Пример: сх-ся при |x|<1, рас-ся при |x|>1

10. Разложение функции в степенной ряд. Ряд Тейлора. Разложение в ряд Тейлора базисных элементарных функций.

Функция на множестве , где x ϵ (-R, R) может быть разложена в степенной ряд, если существует степенной ряд, сх-ся к на указанном интервале. (по сути, )

Для того, чтобы функция могла быть разложена на этом интервале необходимо (но недостаточно), чтобы эта функция имела на этом интервале непрерывные производные любого порядка.

Коэффициенты степенного ряда, в который может быть разложена функция, однозначно определяются формулой. Такой ряд называют ряд Тейлора.

Если функция f(x) может быть разложена на интервале (-R, R) в степенной ряд, то этот ряд явл-ся рядом Тейлора.

Для этого необходимо и достаточно, чтобы остаточный член в ф-ле Тейлора для этой функции

(формула Тейлора)

элементарные функции при a=0 (ряд Маклорена, частный случай ряда Тейлора:

11. Тригонометрический ряд Фурье. Коэффициенты Фурье.

Рассмотрим некоторую функцию f(x), которая определена по крайне мере на промежутке [-π, π] (а, возможно, и на большем промежутке). Если данная функция интегрируема на отрезке [-π, π], то её можно разложить в тригонометрический ряд Фурье:

, где

разложение чётной функции –

разложение нечётной функции –