!!!_МЕД_ФИЗИКА_2020.pdf
.pdf73
замкнутых контуров, включающих источник ЭДС с внутренним сопротивлением, которым можно пренебречь.
Iabd =Е / (R1+R2), и Iacd = Е / (RПП+RХ).
Подставим эти формулы в формулу для разности потенциалов
между точками в и с: φв – φс = (U2- Uх) = (Iabd * R2) – (Iacd * RX) = (Е* R2) / (R1+R2) – (Е * RX)/ (RПП+RХ) = {Е * R2* (RПП+RХ) - Е * RX
* (R1+R2)} / {(R1+R2) * (RПП+RХ)}. Теперь чтобы убедиться, когда эта разность потенциалов будет равна нулю, достаточно приравнять нулю числитель правой части этого уравнения: {Е * R2* (RПП+RХ) - Е * RX * (R1+R2)} = 0. После соответствующих преобразований получается формула:
.
Трех шариковый вискозиметр
В данной работе Вам предлагается познакомиться с особенностями течения неньютоновских жидкостей в сравнении с ньютоновскими.
Трех шариковый вискозиметр – на рисунке справа заполняется сначала водой. Измеряются времена истечения из каждого из трех шариков. Затем точно также проделывается опыт с неньютоновской жидкость – мыльным раствором.
Проведите эти опыты, заполните таблицу и установите, во сколько раз увеличивается время истечения (в среднем на каждый шарик) для той и другой жидкости.
Время истечения из шарика |
Вода |
Неньютоновская жидкость |
|
|
Верхний (номер 1) |
|
|
|
|
Средний (номер 2) |
|
|
|
|
Нижний |
(номер 3) |
|
|
|
Теория. |
Явления вязкости |
жидкостей и газов проявляется в |
возникновении силы внутреннего трения между слоями текущей
74
жидкости. Формула для величины силы внутреннего трения (формула Ньютона) может быть выведена теоретически. Ее вид:
Fвн.тр = η * ( V/ r)*S.
Здесь η - коэффициент вязкости (буква эта), (ΔV/Δr) - градиент скорости, S –площадь соприкасающихся слоев.
С другой стороны, исходя из условия стационарного течения
(смотри работу по медицинскому вискозиметру) можно вывести формулу, указывающую зависимость скорости слоя от расстояния
до оси трубы: V = (ΔP/4ηL) *( Rсос2 - r2 )
Из этой формулы следует в частности, что градиент скорости в том или ином сечении трубы в среднем будет тем больше, чем под большей разностью давлений вытекает жидкость:
dV/dr = - |
P * r / 2ηL |
или |
dV/dr ~ P !!! |
- градиент |
скорости |
прямо |
пропорционально зависит от |
разности давлений (ΔP). |
|
|
Исходя из этого даже для воды, для которой динамическая вязкость постоянна, время вытекания одинакового объема не должно быть одинокого для 3-х шариков. По формуле Пуазейля
V |
R 4 |
* |
P |
* t , разность давлений |
P с увеличением номера |
|
8 |
L |
|||||
|
|
|
|
|||
шарика |
– |
уменьшается, поэтому t |
- должно увеличиваться. |
Действительно, для самого верхнего шарика величина градиента
давления P соответствует ρ*g*L1/LКАП, для |
второго шарика это |
|
L |
|
|
величина меньше, так как L2 – меньше, для |
третьего шарика это |
|
величина еще меньше, так как L3 – |
еще меньше (смотри рисунок). |
|
Для неньютоновсой жидкости |
в отличие от ньютоновской |
коэффициент вязкости не является постоянным, а зависит от градиента скорости. Это также должно отразиться на временах вытекания жидкости из шариков одинакового объема. Для первого шарика, так как разность давлений максимальна – вытекание происходит с
наибольшим в среднем градиентом скорости. (соотношение dV/dr ~ P). Но для большего градиента скорости вязкость должна быть
75
меньше. Поэтому и для первого шарика время также меньше (вязкость – в знаменателе, а время в числителе). Для третьего шарика – наоборот - разность давлений меньше – градиент скорости в среднем – меньше – вязкость – больше, и в соответствии с формулой Пуазейля (вязкость стоит в знаменателе время в числителе) время должно получаться больше. В итоге от результатов работы следует ожидать такой закономерности:
Для воды – времена истечения с увеличением номера шарика увеличиваются в среднем на 20 процентов / шарик,
Для неньютоновской жидкости - на 30 процентов / шарик - за
счет и того и другого факторов, время t - должно увеличиваться
сильнее, чем для воды.
76
Дифференциалы функции одной и нескольких переменных.
Значение производной Y'(x) функции Y(x) позволяет указать,
……………………. ……………………………………………………..
Если производная Y'(x) принимает большое значение (вблизи
какой либо точки), - то …………………………………… |
|
Строгое определение производной для функции Y(X) |
|
Y' = Lim (ΔY / ΔX ), (при X стремящимся к нулю) |
|
Прочитайте данную формулу |
|
Укажите последовательность действий для |
вычисления |
производной "по определению" для функции Y=x2 Укажите производные основных элементарных функции
……………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………
Укажите производные элементарных функции
(U + V) ' = …………… (U - V)' = ………………………..
(U * V)' = …………... (U / V)' = ……………………….
Сложной функцией называют функцию не от независимого аргумента х, а функцию Y1 от некоторой другой функции Y2. Производная сложной функции { Y = Y1(Y2(х) } равна произведению производных от каждой функции:
Y' = Y'1(Y2) * Y'1(x) Y'1(Y2) - это производная внешней функции, Y'1(x) – это производная внутренней функции..
Дифференциал функции это произведение производной функции на приращение аргумента dY = Y’ * Δx = Y’ *dx.
Для приближенного вычисления значения функции в некоторой точке приращение функции можно заменить дифференциалом функции:
Y( Xo + ΔX) ≈ Y(Xo) + Y'(Xo) * ΔX.
Это формула будет тем точнее, чем меньше приращение аргумента.
Функции нескольких переменных
Многие величины зависят не от одной, а сразу от нескольких величин. Так сила тока по закону Ома зависит и от напряжения, и от сопротивления: I= U/R. - при этом можно использовать запись
I= I(U,R))
Вобщем случае приняты обозначения U = U(X,Y,Z).
77
Такая запись и отражает тот факт, что величина U является функцией сразу трех независимых переменных - X,Y,Z.
Частные производные находят по тем же правилам, что и производные для функции одной переменной.
Если берут производную по аргументу "x", на другие |
|
||
переменные y и z |
смотрят как на постоянные числа! |
|
|
Например, |
|
|
|
U = x + xy2 - xyz4. |
Тогда U'x = 1 + y2 - yz4 , |
|
|
U'y = 0 + x(2y) - xz4 , U'z = xy4z3… |
|
||
Частный дифференциал, например, по переменной Х |
это |
||
произведение |
частной производной по этой переменной |
на |
|
приращение |
этой же переменной: |
|
|
dUx = U'x * |
x. (аналогично для других переменных) |
|
Полный дифференциал это сумма частных дифференциалов: dU = dUx + dUy + dUz.
Графически функции двух переменных отображается поверхностью. Каждой паре значений Х и У соответствует одно значение U. Если фиксировать значение У, то можно получить срез – плоскость ХОU. Частной производной по аргументу Х будет соответствовать тангенс угла наклона касательной ОА. Если фиксировать значение X, то можно получить срез – плоскость УОU.
Частные дифференциалы используют для вычисления
погрешностей измерений !
Задание 1. Указать внешнюю и внутреннюю функцию
Задание 2. Укажите по рисунку численные значения приращения аргумента, приращения функции производной в точке А, дифференциала
78
Интегрирование – действие обратное нахождению производных
Понятие первообразной функции для функции f(x).
Функция F(x) называется первообразной для функции f(x), если
F ' (x) = f(x).
Если вы знаете, что производная от функции y = Sin(x) равна функция Cos(x), то первообразной для функции Cos(x) является функция Sin(x).
Неопределенным интегралом от функции f(x) называется множество всех ее первообразных, отличающихся на постоянную величину С. Принято записывать
∫ f(x)dx = F(x) + C
Таблица неопределенных интегралов в силу определения первообразной функции вытекает непосредственно из таблицы
производных.
Пример. Если (х3)' = 3x2, то ∫ 3x2dx = x3 + C или ∫ x2dx = x3/ 3 + C
Сущность любого метода интегрирования состоит в сведении заданного интеграла к табличному виду.
Метод замены переменной можно применить, если в подынтегральном выражении встречается сложная функция.
Пример: Требуется найти интеграл ∫ Sin4(x)* Cos(x)*dx. В под интегральном выражении видим сложную функцию Sin4(x). (степенная от тригонометрической):
1. Обозначим за новую переменную внутреннюю функция
Z = Sinx.
2. Найдем дифференциал новой переменной dZ = Z' * dx = Cosx * dx,
3. Выразим дифференциал старой переменной dx = dZ/Cosx ,
4. Подставим все в исходный интеграл:
∫ z4* Cosx*dz/Cosx.
Cos(x) - сократились, и получился табличный интеграл
∫ z4* dz = z5/5 +C.
Замечание. Ввиду того, что действие интегрирования является обратным нахождению производных под интегральное выражение f(x)dx должно представлять собой дифференциал (!) некоторой функции! Тогда ∫dZ = Z+C - какая бы при этом функция Z не была Выполните задания (на первообразную, интеграл, производную)
79
Понятие определенного интеграла.
Определенным интегралом от функции f(x) на интервале от a до b называют число - равное площади под графиком функции f(x) на отрезке ab: Эту площадь находят по формуле Ньютона-Лейбница, т.е. сначала находят первообразную, а затем берут их разность в
точках b и a: |
К нахождению площади под |
||
некоторым графиком сводятся многие задачи в физике. |
|||
Площадь под графиком 1 |
|
совершенному |
|
|
перемещению, |
||
|
|
||
Площадь под графиком 2 |
|
изменению скорости |
|
|
тела |
||
|
|
||
Площадь под графиком 3 |
|
изменению импульса |
|
соответствует |
тела, |
||
|
|||
Площадь под графиком 4 |
|
совершенной над телом |
|
|
работы, |
||
|
|
||
|
|
электрическому заряду, |
|
Площадь под графиком 5 |
|
прошедшему по |
|
|
|
проводнику при токе I |
80
Дифференциальные уравнения.
Основным критерием, является ли некоторое уравнение дифференциальным или нет – это вхождение в уравнение производной (Y’) или дифференциалов (dy и dx).
В простейшем случае дифференциальное уравнение содержит только саму производную Y’ = 10.
Более сложный случай это вхождение в уравнение еще и аргумента х. Например, Y’ = 10х +2.
Еще более сложный случай это вхождение в уравнение и производной Y’, и аргумента х, и самой функции у. Например,
х + уу' = 4, или xyy' = 3.
Принято записывать дифференциальное уравнение в общем виде f{х,у(х),y'(х)} = 0. или f{х,у(х),y'(х), ... y n(х)} = 0.
Замечание: y n(х) – так обозначена производная не n-го порядка.
Искомой в дифференциальном уравнении считается сама функция y. Функция Y(x)должна обращать исходное уравнение в тождество. Уравнение Y’ = 10 можно решить - простым интегрированием - иными словами необходимо записать первообразную функцию для постоянной величины. Это будет функция Y = 10x + С. Действительно производная от (10x + С)’= 10.
Аналогично решается простым интегрированием уравнение Y’ = 10х +2. Это будет функция Y = 10x2 +2х + С
|
Основной закон механики в физике по своей математической |
|
сути |
является дифференциальным уравнением |
относительно |
перемещения тела S(t). Так как ускорение а(t) = |
V'(t) = S''(t) - |
является первой производной от скорости и второй производной от
перемещения, то имеем: S''(t) |
=ΣF/m = mg/ m = 10. Поэтому и |
||
получаются формулы для скорости V = x'(t) = 10t+Vo, |
|||
И для перемещения S S0 V0 |
* t |
a * t2 |
|
|
|||
|
2 |
|
Для колебания груза на пружине дифференциальное уравнение имеет более сложный вид: m*x''(t) = - k*x(t).
Могут быть два вида решений: общее и частное решение. Общее решение содержит произвольную постоянную С (число произвольных постоянных соответствует порядку дифференциального уравнения).
81
Частное решение находят из общего решения путем подстановки в общее решение НАЧАЛЬНЫХ УСЛОВИЙ типа y(x0) = y0.
Общее решение дифференциального уравнения геометрически соответствует множеству функций F(x), в
которые входит произвольная постоянная С. Частное решение - это какая то одна функция, график которой проходит через точку на плоскости XY, заданную начальными условиями.
Решим более сложный пример методом
разделения переменных: xyy' = 3. Приведем его к такому виду, чтобы можно было проинтегрировать и левую и правую части!
g(y)dy = f(x)dx,
Так как уравнение явно содержит производную y' необходимо умножить обе части уравнения на dx и учесть, что y'dx это дифференциал функции dy (y'dx = dy). Тогда получим: xydy = 3dx. Теперь следует разделить правую и левую части на x:
ydy = 3dx/х. |
Получились |
выражения, которые можно |
интегрировать: ∫y*dy = ∫3* dx/х. |
Общее решение будет: |
|
|
y = (6Lnx + C )1/2. |
|
Решите аналогично уравнение y’ |
= 1/xy при начальном условии |
y0(x0=2) = 3. Убедитесь, что частное решение будет следующим: y = (9 - 2Ln2 + lnx )1/2.
Ниже приводится способ приближенного решения этого же дифференциального уравнения. Для этого используется формула пошагового вычисления Y(x) с помощью дифференциала dy= dx/xy.
82
Нахождение характеристик дискретных случайных величин
Случайным событием называют событие, которое может произойти или нет в зависимости от множества факторов, учесть которые практически невозможно.
Прежде чем приводить пример введем понятие метода статистических испытаний. Положим в мешок несколько черных и несколько синих фломастеров, перемешаем их и дадим вытаскивать
их по одному, каждый раз помещая его обратно. |
|
|||
Может |
получиться |
такая |
последовательность |
событий: |
С;Ч;С;С;Ч;Ч;С;С;С;C. То есть черных вытащили 3 раза, синих - 7 раз. В зависимости от результатов такого испытания можно сделать заключение о соотношении тех и иных фломастеров в наборе.
В данном примере число 3 следует понимать как число испытаний, в которых произошло событие А, а число 7 - как число испытаний, в которых произошло событие Б. Общее число испытаний n = 10.
Аналогично дается понятие случайной величины – это величина, которая может принимать то или иное значение, в зависимости от множества факторов, учесть которые практически невозможно. В приведенном примере событию А можно поставить в соответствие НОЛЬ, а событию Б – ЕДИНИЦУ.
За вероятность события А - РА принимают отношение числа испытаний (наблюдений), в которых это событие А произошло (m=3) к общему числу испытаний (n = 10): PА = mА/n. Число испытаний при этом должно быть достаточно большим.
В строгой теории следует давать определение вероятности с использованием предела отношения mА/n, а само отношение mА/n следует называть ОЦЕНКОЙ ВЕРОЯТНОСТИ. По сути это число является относительной частотой проявления события А, в то время как число m – абсолютная частота события А.
Свойством вероятности РА - является то, что вероятности любого события заключается в интервале 0 ≤ P ≤ 1 (так как ни n, ни m в определяющей вероятность формуле не могут быть отрицательными, причем всегда n > m). Вероятность невозможного события равна 0, достоверного события равна 1.
Если события составляют полную группу попарно несовместимых равновероятных событий. Например вероятность движения молекулы газа в направлении по оси ОХ (Р=1/6).В общем случае Р = 1/К, где К - число возможных исходов.