Добавил:

oih07968 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Полоцкий Государственный Университет

Предмет:

Дискретная математика

Файл:

1 Множества. Логика Буля - лекции

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

18.02.2023

Размер:

1.3 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 54 5 > Следующая >>>

Если в СДНФ сделать замены

x1 x2 x1 x2 x1 x2 , x1 1 x1 ,

то получим совершенную полиномиальную нормальную форму (СПНФ)

представления булевых функций. Запишем еѐ, учитывая, что конституенты

не пересекаются ( CiC j

): x1

x1 x2

(x1 x2

f (0,0))

(x1 x2 f (1,0))

( x1

x2 f (0,0)x1 x2

f (1,0))

(x1 x2 f (0,1))

(x1 x2 f (1,1))

(x1 x2 f (0,1) x1 x2 f (1,1))

((1

x1 )(1

x2 ) f (0,0))

(x1 (1 x2 ) f (1,0))

((1

x1 )x2 f (0,1))

(x1 x2 f (1,1))

x1 x2

x1 x2 ) f (0,0)

(x1 x1 x2 ) f (1,0)

(x2

x1 x2 ) f (0,1)

(x1 x2 f (1,1))

f (0,0)

x1 ( f (0,0)

f (1,0))

x2 ( f (0,0)

f (0,1))

x1 x2 ( f (0,0)

f (1,0)

f (0,1)

f (1,1)) .

В таблице 1 записаны все три совершенные формы всех элементарных функций двух переменных.

Табл. 1

y f (x1 , x2 )							СДНФ																					СКНФ																							СПНФ

f1		0								–																																									0
f1		0								–								(x			x		2	) (x				x			2	) (x					x		2	) (x					x		2		)		0
																		1					2			1					2			1					2		1						2
f2	x1	x2								–																																									x1 x2
f2	x1	x2								–										(x x					2	) (x							x	2	) (x x							2	)								x1 x2
																				1					2						1			2							1	2
f3	x2 \ x1									–																																									x2	x1 x2
																			x1		x2
																			x1		x2			(x1			x2 ) (x1									x2 ) (x1								x2 )

f4		x1																																																	x2
f4		x1		(x		x		2	) (x				x	2	)									(x				x		2		) (x						x		2	)										x2
				1				2				1		2												1				2				1						2
f5	x1 \ x2									–																																									x1	x1 x2
																			x		x
																			x		x	2		(x			x	2	) (x							x	2		) (x					x		2		)
																		1				2			1			2					1				2				1					2
f6		x2																																																	x1
f6		x2		(x			x	2	) (x				x	2	)									(x				x		2		) (x						x		2	)										x1
				1				2				1		2												1				2				1						2
f7	x1	x2																																																	x1	x2
f7	x1	x2		(x			x	2	) (x				x	2	)									(x			x			2		) (x						x		2	)										x1	x2
				1				2				1		2												1				2				1						2
f8	x1	x2																												x1			x2																	x1	x2	x1 x2
f8	x1	x2	(x x		2	) (x x					2	) (x			x	2	)													x1			x2																	x1	x2	x1 x2
			1		2				1		2		1			2

f			x			x																					–																						x	x																		1 x1 x2	x1x2
f	9		x			x		2																			–																						x	x	2	(x	x	2		) (x			x	2		) (x			x	2	)	1 x1 x2	x1x2
	9		1					2																																								1			2	1		2				1		2				1		2
f10			x1				x2																																																													1 x1	x2
f10			x1				x2									(x					x		2		) (x								x			2	)															(x1			x2 ) (x1						x2 )							1 x1	x2
																			1				2								1					2
																																																																				1 x1
	f	11		x		2										(x					x		2		) (x								x			2	)															(x			x		2	) (x			x		2	)				1 x1
		11				2													1				2								1					2																1					2	1					2
f12			x2				x1																																																			–										1 x1	x1 x2
f12			x2				x1			(x						x		2		) (x									x	2	) (x								x		2		)															–										1 x1	x1 x2
										1								2						1						2							1				2
																																																																				1 x2
	f	13			x											(x					x		2		) (x								x			2	)															(x1			x2 ) (x1						x2 )							1 x2
		13				1													1				2								1					2
f14			x1			x2																																																				–										1 x2	x1 x2
f14			x1			x2			(x		x		2		)				(x					x			2	)		(x						x		2	) x x								2											–										1 x2	x1 x2
									1				2							1							2				1							2				1					2
f15			x1 \| x2																																																							–										1 x1 x2
f15			x1 \| x2							(x							x		2	)	(x								x	2	)	(x							x	2		)																–										1 x1 x2
										1									2					1						2						1				2
	f16			1																																																						–										1
	f16			1					(x		x	2		)				(x				x		2		)			(x			x		2	)				(x					x	2	)												–										1
									1			2								1				2						1				2					1						2

Совершенные формы представления позволяют записать булеву

функцию аналитически по еѐ известной таблице истинности.

►Пример. Записать СДНФ, СКНФ, СПНФ функции трѐх переменных, заданной таблицей истинности (табл. 2).

			Табл. 2

x1	x2	x3	f1 (x1 , x2 , x3 )

0	0	0	0

0	0	1	1

0	1	0	0

0	1	1	1

1	0	0	1

1	0	1	0

1	1	0	0

1	1	1	1

Решение. Выписывая соответствующие конъюнкты против единичных значений f, мы получим СДНФ:

fСДНФ x1 x2 x3 x1 x2 x3 x1 x2 x3 x1 x2 x3 .

Если выпишем дизъюнкты против нулевых значений f, то получим СКНФ:

x3 ) .

fСКНФ

(x1

x3 ) (x1

x2 x3 ) (x1 x2

x »:

СПНФ образуем заменой в СДНФ « » на «

» и « x » на «1

fСПНФ

x1 )(1

x2 )x3

x1 )x2 x3

x1 (1

x2 )(1 x3 )

x1 x2 x3 .

В последнем выражении раскроем скобки и взаимно уничтожим все одинаковые слагаемые, входящие в формулу чѐтное число раз:

fСПНФ x1 x3 x1 x2 . ◄

Полиномиальные представления. Булевы функции с операциями сложения по модулю 2 и конъюнкцией изучал русский математик Жегалкин11. Поэтому многочлен, являющийся суммой по модулю 2 константы и различных одночленов, в которые каждая из переменных входит не выше чем в первой степени, называется многочленом Жегалкина.

Многочлен Жегалкина константы равен самой константе; многочлен Жегалкина булевой функции одной переменной имеет вид

f (x) a0 a1 x ;

многочлен Жегалкина булевой функции двух переменных имеет вид

f (x1 ; x2 )	a0	a1 x1	a2 x2 a12 x1 x2 ;
многочлен Жегалкина булевой функции трѐх переменных имеет вид
f (x1 ; x2 ; x3 ) a0 a1 x1	a2 x2	a3 x3	a12 x1 x2	a13 x1 x3 a23 x2 x3
		a123x1 x2 x3
и так далее.
Коэффициенты a1, 2, ..., i	и свободный член a0			принимают значения 0

или 1, а число слагаемых в формуле равно 2n , где n – число переменных. Используя следующие соотношения

x1		x2		x2	x1 ,
x1 (x2		x3 )		x1 x2	x1 x3 ,
	x		x	0 ,
	x		0	x ,
				x ,
		x	1	x ,

можно записать булеву функцию в виде многочлена Жегалкина и затем упростить эту запись.

►Пример. Известно, что f (0,0,0) f (0,1,1) f (1,0,1) f (1,1,0) 1.

Найти fСПНФ .

Решение. СДНФ данной функции имеет вид:

fСДНФ (x1; x2 ; x3 )

x1 x2 x3

x1 x2 x3 .

Тогда

fСПНФ (x1 ; x2 ; x3 )

x1 x2 x3

(1 x1 )(1 x2 )(1 x3 )

x1 )x2 x3 x1 (1 x2 )x3

x1 x2 (1 x3 )

1 x1

x1 x2

x1 x2 x3 .

11 Иван Иванович Жегалкин (1869, Российская империя – 1947, СССР) – российский и советский математик, логик. Самое известное его открытие – полином Жегалкина. Получил алгоритмическое решение проблемы разрешимости в некоторых важных случаях.

Теорема Жегалкина. Любую булеву функцию f (x1 , x2 , ..., xn ) можно представить в виде многочлена Жегалкина.

Сформулируем два алгоритма построения многочлена Жегалкина. Любую функцию, отличную от константы 0, можно представить в

виде СДНФ. Таблицы истинности дизъюнкции и суммы по модулю 2 отличаются только последней строкой, то есть на наборе 11. Так как в СДНФ на каждом наборе только одна конъюнкция равна 1, то все дизъюнкции можно заменить суммами по модулю 2. Кроме того, известно, что

x x 1. На этом и основан

первый алгоритм построения многочлена Жегалкина:

1.Находим множество тех двоичных наборов, на которых функция принимает значение 1.

2.Составляем СДНФ.

3.В СДНФ каждый знак дизъюнкции меняем на знак суммы по

модулю 2

4.Упрощаем, если можно, полученное выражение, используя тож-

дество xi xi 1.

5. В полученной формуле каждое отрицание xi заменяем на xi 1.

6.Раскрываем скобки в полученной формуле, содержащей только

функции	и и константу 1.
7.	Приводим подобные члены, используя тождество xi	xi	0 .
Используя метод неопределѐнных коэффициентов, получаем
	второй алгоритм определения многочлена Жегалкина:
Составляем систему линейных уравнений относительно		2n	неиз-

вестных коэффициентов, содержащую 2n уравнений, решением которой

являются коэффициенты a0 , a1 , ..., a1, 2, ..., n

многочлена Жегалкина.

►Пример. Для данной булевой функции трѐх переменных

f (x1; x2 ; x3 )

(x1 x3 ) | (x2 | x3 )

а) построить таблицу истинности, найти двоичную форму F булевой

функции и привести функцию к СДНФ и СКНФ;

б) найти двумя способами многочлен Жегалкина.

Решение.

а)

Обозначим

x1 x3

1 ,

x2 | x3

2 ,

(x2 | x3 ) 2

3 ,

(x1 x3 ) | (x2 | x3 ) 4

1 | 3 , x2

(x1

x3 ) | (x2 | x3 )

4 .

	x1	x2	x3					x		f1	f 2	f3	f 4	f5
	x1	x2	x3	x	2			x	3	f1	f 2	f3	f 4	f5
					2				3

	0	0	0	1			1			0	0	1	1	1

	0	0	1	1			0			1	1	0	1	1

	0	1	0	0			1			0	1	0	1	0

	0	1	1	0			0			1	1	0	1	0

	1	0	0	1			1			1	0	1	0	0

	1	0	1	1			0			1	1	0	1	1

	1	1	0	0			1			1	1	0	1	0

	1	1	1	0			0			1	1	0	1	0

Двоичная форма имеет вид:
								F=11000100.
Наборы, на которых f (x1 ; x2 ; x3 )										1, следующие:
						(0;0;0), (0;0;1) , (1;0;1) .

Значит, СДНФ функции имеет вид:

x3 ) .

f (x1; x2 ; x3 ) (x1

x3 ) (x1

Наборы, на которых f (x1 ; x2 ; x3 )

0 , следующие:

(0;1;0) , (0;1;1) , (1;0;0) , (1;1;0) , (1;1;1) .

СКНФ функции имеет вид:

f (x1 ; x2 ; x3 )

(x1

x3 ) (x1

x3 )

(x1

x3 ) (x1

x3 ) .

б) Построим многочлен Жегалкина первым способом:

в СДНФ функции

(x1

x3 ) (x1

x3 ) (x1 x2

x3 )

заменяем знак дизъюнкции знаком суммы Жегалкина:

x3 ) ,

(x1 x2 x3 ) (x1

x3 )

(x1

из первой и второй конъюнкции выносим за скобки выражение x1 x2 :

x3 ) ;

(x1 x2 ) (x3

x3 )

(x1

x3 )

(x1

x2 )

(x1

делаем замены:

Тогда

(( x1

(x2

1))

(( x1

(x2

x3 ) .

Далее раскрываем скобки:

1 x1

x1 x2 x3 x1 x2

Многочлен Жегалкина имеет вид:

f (x1 ; x2 ; x3 ) x1 x2 x3

x1 x2 x1 x3

Построим многочлен Жегалкина методом неопределѐнных коэффи-

циентов. Составляем восемь уравнений:

f (0;0;0)

f (0;0;1)

0 .

f (0;1;0)

0 ,

f (0;1;1)

a23

0 , a23

0 .

f (1;0;0)

0 ,

f (1;0;1)

a13

f (1;1;0)

a12

0 ,

a12

0 ,

a12

f (1;1;1)

a12

a13

a23

a123

0 ,

1 1 1 0 1 1 0

a123

0 ,

a123

Многочлен Жегалкина имеет вид:

f (x1 ; x2 ; x3 ) x1

1.◄

Линейные и

нелинейные

булевы функции.

Многочлен

Жегалкина

называется нелинейным, если он содержит конъюнкции переменных, а если он не содержит конъюнкции переменных, то он называется линейным.

Функция f (x1 , x2 , ..., xn ) называется			линейной, если еѐ многочлен
Жегалкина имеет вид
f (x1 ; x2 ;...; xn )		a0	a1 x1	... an xn ,
и нелинейной в противном случае.
Из определения многочлена Жегалкина следует, что для любой бу-
левой функции коэффициенты при переменных				x1 , x2 , ..., xn и свободный
член вычисляются по формулам:
	a0	f (0;0;...;0) ,
a1	f (0;0;...;0)		f (1;0;...;0) ,
a2	f (0;0;...;0)		f (0;1;0;...;0) ,
		…
an	f (0;0;...;0)		f (0;0;...;0;1) .

На этом основан

алгоритм определения линейности (или нелинейности) булевой функции.

1. По таблицам истинности функции f (x1 , x2 , ..., xn ) и выше указанным формулам находим коэффициенты a0 , a1 , ..., an .

2. Выписываем многочлен (x1 ; x2 ;...; xn ) a0 a1 x1 ... an xn и проверяем, задаѐт ли он эту функцию. Для этого строим таблицу истинности многочлена (x1; x2 ;...; xn ) и сравниваем еѐ с таблицей истинности

функции f (x1 , x2 , ..., xn ) .

Если таблицы истинности совпадают, то функция f (x1 , x2 , ..., xn ) линейная и (x1; x2 ;...; xn ) – еѐ многочлен Жегалкина. Иначе функция не-

линейная.

►Пример. Проверить на линейность функцию f (x1 ; x2 ; x3 ) с двоичным набором

F=11100001.

Решение.

Применяем к функции f (x1 ; x2 ; x3 ) алгоритм проверки на линей-

ность.
Вычислим коэффициенты a0 , a1 , a2 , a3			многочлена Жегалкина для
данной функции:
	a0	f (0;0;0)	1,
a1	f (0;0;0)	f (1;0;0)	1	0	1,
a2	f (0;0;0)	f (0;1;0)	1	1	0 ,
a3	f (0;0;0)	f (0;0;1)	1	1	0 .

Вычисляем многочлен

	(x1; x2 ; x3 ) a0	a1 x1 a2 x2	a3 x3 x1	1.
Очевидно,	что двоичный	набор	F=11110000	многочлена
(x1 ; x2 ; x3 ) x1	1 не совпадает с двоичным набором булевой функции

F=11100001, следовательно, функция f (x1 ; x2 ; x3 ) не линейна. ◄

ЛЕКЦИЯ 6. КЛАССЫ БУЛЕВЫХ ФУНКЦИЙ

Классы булевых функций. Представление функций в СДНФ и СКНФ образовано тремя операциями – дизъюнкцией, конъюнкцией, отрицанием, а в СПНФ – сложением по модулю два, конъюнкцией и единицей как операцией. Возникает вопрос: через какие ещѐ системы логических операций можно выразить произвольную булеву функцию? Чтобы ответить на него, определим пять классов функций.

Булева функция f (x1 , x2 , ..., xn ) сохраняет константу 0, если

f (0, 0, ..., 0)

0 .

Множество всех таких функций образует 0-класс (в частности,

функции f1 ( x1 , x2 ) , …,

f8 ( x1 , x2 ) из табл. 2 лекции 2).

►Пример. Определить, принадлежит ли функция

классу.

Решение. Так как

f (0, 0)

0 ,

то функция

y принад-

лежит 0-классу. ◄

Булева функция

сохраняет константу 1, если

f (1, 1, ...,1)

Множество всех таких функций образует 1-класс (в частности,

функции с чѐтным индексом

f2 ( x1 , x2 ) ,

f4 ( x1 , x2 ) , … из табл. 2 лекции 2).

►Пример. Определить, принадлежит ли функция

классу.

Решение.

Так как

f (1, 1)

1 1

1, то функция

принадле-

жит 1-классу. ◄

Булева функция

называется линейной,

если еѐ можно записать в

следующем виде:

f (x1 , x2 , ..., xn ) a0

a1 x1

a2 x2 ...

an xn ,

где ai

{0, 1}, i

0, 1, 2, ..., n .

Множество всех линейных булевых функций образует 2-класс (в

частности,

функция

эквивалентность

f10 ( x1 , x2 )

линейная,

так

как

f10 ( x1 , x2 ) x1

x2 1

x2 , а стрелка Пирса за счѐт нелинейного сла-

гаемого

нелинейная:

f9 ( x1 , x2 )

1 x1

x2 ).

Функция g(x1 , x2 , ..., xn )

f (x1 , x2 , ..., xn ) называется двойственной к

функции f

и обозначается f * .

Например,	(x	x	2	)*	x	x	2	x	x	2	. То есть, функция	x	x	2	–
	1		2		1		2	1		2		1		2
двойственная к x1	x2 .

Таблицы истинности этих двойственных функций имеют вид:

x1	x2	x1 x2

0	0	0

0	1	0

1	0	0

1	1	1

x1	x2	x		x	2
		1			2
0	0		1

0	1		0

1	0		0

1	1		0

x1	x2
x1	x2	x1		x2 x1 x2
		x1		x2 x1 x2

0	0		0

0	1		1

1	0		1

1	1		1

Легко заметить, что для получения значений двойственной функции нужно «перевернуть» столбец значений исходной функции, а затем заменить в нѐм 0 на 1, а 1 – на 0.


	►Пример. Найти двоичный набор функции f *						двойственной	f , ес-
ли двоичный набор f имеет вид:				F	0010.
					то двоичный набор функции f *
	Решение. Так как F		1101 ,		то двоичный набор функции f *			имеет
вид: F *		1011 . ◄
	Булева функция f называется самодвойственной, если она совпада-
ет с двойственной себе функцией				f * , то есть		f f * .
	Множество всех таких функций образует 3-класс (например, функ-
ции	f3 ( x1 , x2 ) , f4 ( x1 , x2 )		из	табл. 2		лекции	2, функции	f x ,
f	xy	xz yz ).

Для самодвойственных функций необходимо и достаточно, чтобы на любых двух противоположных наборах значений переменных функция принимала разные значения.

►Пример. Определить, является ли функция f , имеющая двоичный

набор

а) F 10101110,

б) F 01110001

самодвойственной.

Решение. а) Так как значения на третьем месте в начале строки и на третьем месте в конце строки одинаковые (1), то функция f – не самодвойственная.

б) На первых местах в начале и в конце строки находятся противоположные числа (0 и 1), на вторых – противоположные числа (1 и 0), на третьих – противоположные числа (1 и 0), на четвѐртых – противополож-

ные числа (1 и 0). Поэтому функция													f – самодвойственная. ◄
		Булева функция					f	называется монотонной, если она удовлетворяет
неравенству				f (x1 , x2 , ..., xn )						f (x1 , x2 , ..., xn							) при				x1		x1 ,		x2	x2 ,	…,
xn	xn .
		Например, пусть x1						0 , x1				0 , x2			1,		x2		1, тогда для дизъюнкции
имеем:
								(x1			x2		1) (x1				x2		1) .
		Какие бы наборы x1 , x1 , x2 ,												x2	мы не брали,							если выполняются
условия x1				x1 ,	x2	x2 ,		то для дизъюнкции всегда													f		f	. Значит, дизъ-
юнкция – функция монотонная.
		Множество всех монотонных функций образует 4-класс.
		►Пример. Определить, является ли монотонной функция, заданная
двоичным набором F							01011001.
		Решение.			Так		как		(1, 0, 0)				(1, 0, 1) ,				а		f (1, 0, 0)					1	f (1, 0, 1)		0 ,
функция не является монотонной. ◄
		Принадлежность элементарной функции к тому или иному классу
отмечена единицей в табл. 1.
																									Табл. 1

	f1		f 2	f3	f 4	f5		f6		f7		f8		f9		f10		f11			f12		f13		f14	f15	f16
0	1		1	1	1	1		1		1		1		0		0		0		0			0		0	0	0

1	0		1	0	1	0		1		0		1		0		1		0		1			0		1	0	1

2	1		0	0	1	0		1		1		0		0		1		1		0			1		0	0	1

3	0		0	0	1	0		1		0		0		0		0		1		0			1		0	0	0

4	1		1	0	1	0		1		0		1		0		0		0		0			0		0	0	1

Базисные системы булевых функций. В логике Буля действует прин-

цип суперпозиции: вместо аргументов любой булевой функции можно подставить другие булевы функции, в частности, аргументы.

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 54 5 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Дискретная математика

#
18.02.20231.3 Mб31 Множества. Логика Буля - лекции.pdf
#
18.02.20231.58 Mб22 Графы - лекции.pdf
#
18.02.2023449.45 Кб43 Элементы комбинаторики - лекции.pdf
#
18.02.2023450 Кб25 Контрольная работа.pdf